邏輯學筆記 全考點知識點總結全

邏輯學筆記全考點知識點總結1緒論1.1詞項、命題和推論1.1.1詞項邏輯是一門以推論為主要研究對象的學科推論是由命題組成的而命題又是由詞項組成的現代邏輯所說的“詞項”、“命題”和“推論”分別對應于傳統(tǒng)邏輯所說的“概念”、“判斷”和“推理”詞項就是具有意義的語詞例如：這幾個有意義的是詞項：“電車”、“飛”、“紅”這幾個沒意義的不是詞項：“啊”、“嗎”、“的”前一組的三個語詞都是有意義的，因而它們都是詞項。后一組的三個語詞雖然具有某種語言的功能但它們本身都不具有意義，因而它們都不是詞項。詞項的意義可被區(qū)分為兩個不同的方面：（1）外延（2）內涵一個同項的外延就是該詞項所指稱的一類對象例如：“電車”的外延就是各個具體的電車包括電動摩托車、電動汽車、電動三輪車、電動滑板車等等其實就是各個具體的電車實例“飛”的外延就是各種具體的飛行包括飛機的飛行、鳥的飛行等等其實就是各種具體的飛行運動實例一個詞項的內涵就是該詞項所指謂的一種屬性并且這種屬性能夠把一類對象與他類對象區(qū)別開來“電車”的內涵是“利用電力行駛的車輛”其實就是“電車”的定義“飛”的內涵是“一種在空中進行的來往運動”其實就是“飛”的定義并非任何詞項都同時具有外延和內涵這兩個方面有些詞項雖然指謂某種屬性，但與該屬性相對應的事物并不存在例如：“光速火車”、“方的圓”、“神仙”等這幾個詞只有內涵沒有外延有“光速火車”的定義世界上卻沒有真實的光速火車實例從外延方面詞項可以分為：單獨詞項（或專有名詞）普遍詞項（或普通名詞）單獨詞項就是其外延只有一個成員的詞項例如：“魯迅”、“太陽”、“中國的首都”等世界上只有一個魯迅和一個太陽遍詞項就是其外延不只有一個成員的詞項例如“人”、“行星”、“中國的城市”等世界上有許多人和行星從作用方面詞項可分為：個體詞項屬性詞項（即謂詞）邏輯詞項個體詞項的例子有：“這張桌子”、“那張椅子”、“天安門”等屬性詞項的例子有：“紅的”、“人”、“大于”等邏輯詞項的例子有：“并非”、“或者”、“并且”、“如果···那么···”、“所有”、“有些”等詞項的意義也叫做“概念”詞項意義的兩個方面即內涵和外延也是概念的兩個方面因此，詞項也就是表達概念的語詞1.1.2定義定義的作用在于規(guī)定或說明一個詞項的意義詞項的定義有兩種內涵定義外延定義通常所用的定義大都是內涵定義內涵定義的作用在于規(guī)定或說明一個詞項的內涵例如：下面兩個定義都是內涵定義：（1）行星就是沿橢圓軌道環(huán)繞太陽運行并且本身不發(fā)光的天體（2）矩形就是直角的平行四邊形（1）和（2）中的定義項分別表達了“行星”和“矩形”的內涵最常用的一種定義方法是屬加種差的方法種和屬是相對于兩類事物之間的關系而言的：當一類事物包含于另一類事物時那個大的類叫“屬”那個小的類叫“種”種差就是同一個屬之內的兩個種之間的差別定義中的屬和種分別指表達這兩類事物的詞項例如：對行星的定義首先找到行星的屬是“天體”然后找到行星和其它天體的不同點也就是是行星與其他天體之間的種差：“沿橢圓軌道環(huán)繞太陽運行并且本身不發(fā)光”再例如：對矩形的定義首先找到矩形的屬是“平行四邊形”然后找到矩形和其它平行四邊形的不同點：“是直角”外延定義的作用在于規(guī)定或說明一個詞項的外延下面兩個定義都是外延定義：（1）行星包括水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星和冥王星（2）矩形包括長方形和正方形（1）中例舉了“行星”的外延的所有成員這種列舉一個詞項的外延的所有成員的定義叫做“枚舉定義”枚舉定義不適用于其外延包括無窮或大量成員的詞項對于“矩形”我們就不可能給出它的枚舉定義我們卻可以將屬于“矩形”的外延的那類事物分為幾個小類然后把這幾個小類列舉出來這種外延定義叫做“劃分定義”（2）就是關于“矩形”的劃分定義還有一種特殊的外延定義即實指定義實指定義就是通過直接顯示一個詞項的外延的一個或一些成員來說明該詞項的意義例如：當一個人指著一片顏色對他的孩子說：“這是紅色”他正在給出關于“紅色”的實指定義實指定義是一種非語言的定義1.1.3命題命題就是具有真假性質的語句命題的三個特點：（1）命題都是陳述句（2）命題是可以被肯定或否定（3）命題是或真或假的東西例如：小明是人類北京在中國你吃過飯了嗎？分析：在上面的三個例子中因為（1）前兩個例子都是陳述句符合條件“你吃過飯了嗎？”不是陳述句不符合條件所以它不是命題（2）前兩個例子都可以被肯定或否定如：小明不是人類北京不在中國符合條件（3）前兩個例子可以是真的或者假的如：小明是人類就是真的小明不是人類就是假的所以“小明是人類”和“北京在中國”都是命題1.1.4推論一個推論是一個至少由兩個命題組成的序列其中一個命題是根據其他命題推出的例如：①如果小張考上大學，那么，小張離開他的家鄉(xiāng)②小張考上大學③因此，小張離開他的家鄉(xiāng)分析：這個例子就是一個推論這個例子包含了4個命題命題③是根據命題①和②得出的我們把命題①和②叫做前提把推出的命題③叫做結論推論由前提和結論組成而結論是從前提“推出”的出現在推論中命題的次序不能作為辨識其結論或前提的依據那么用什么來辨識呢？有一些被叫做“結論指示詞”的詞或短語有助于這樣的辨識因為它們典型地適合引導出一個論證的結論一些詞或短語典型地適合作為論證結論的標志因而被叫做結論指示詞通常，跟在任一結論指示詞之后的命題就是某個論證的結論下面所列的就是部分結論指示詞：所以基于這些理由因此可推得因而我們可推出故而另一些詞或短語典型地適合作為論證前提的標志因而被叫做前提指示詞通常，跟在任一前提指示詞之后的命題就是某個論證的前提下面所列的是部分前提指示謂：因為正如······所示由于理由是因理由在于根據1.1.5演繹推論與歸納推論一個結論是從一些前提推出的就是說，當所有這些前提真時這個結論必然是真的換句話說，當所有這些前提真時這個結論不可能是假的在前提和結論之間具有這種推出關系的推論就是演繹推論例如：所有貓都會死喵喵老花貓是貓所以，喵喵老花貓會死分析：前提是所有貓都會死喵喵老花貓是貓當這兩個前提為真時這個結論喵喵老花貓會死絕對不可能是假的所以這個推論是演繹推論例如：S中學前年的升學率高S中學去年的升學率高S中學今年的升學率高S中學明年的升學率也高分析：前提是“S中學前年的升學率高”“S中學去年的升學率高”“S中學今年的升學率高”當我們知道這三個前提都為真時我們自然會估計到結論即“S中學明年的升學率也高”但是，我們不能由此肯定這個結論是真的因為我們不能排除S中學的升學率明年降低的可能性所以這個推論不是演繹推論這個推論是歸納推論總之，演繹推論與歸納推論的區(qū)別在于：演繹推論的結論是從前提中必然地推出的而歸納推論的結論并非從前提中必然地推出而只是或然地推出的1.2推論的有效性和可靠性1.2.1推論形式、變項和常項任何具體推論都有內容和形式兩個方面推論的內容就是推論所涉及的具體對象推論所具有的共同結構就是推論的形式例如：如果天上下雨，那么地上潮濕天上下雨所以，地上潮濕分析：這個推論的內容是：“天上下雨”和“地上潮濕”我們用“p”代表命題“天上下雨”用“q”代表命題“地上潮濕”這個推論的結構就是：如果p，那么qp所以，q我們可以用任何一個具體命題代換p和q我們把p和q叫做變項變項的變化范圍叫做“變域”因為p和q分別代表的是兩個命題所以p和q屬于命題變項如果p和q代表的是詞項的集合p和q就是詞項變項如果p和q代表的是個體的集合p和q就是個體變項“如果···那么·..”這個聯(lián)結詞有著確定的含義因此，我們不能用其他語詞來替換它我們把具有確定意義的詞項或符號叫做“常項”“如果……那么……”就是一個常項具體地說，是一個聯(lián)結詞常項1.2.2推論的有效性有效性是演繹推論的性質當一個演繹推論的所有前提為真時其結論必然為真如果任何一個推論具有這種性質那么，這個推論就是有效的例如：所有鳥是有羽毛的所有麻雀是鳥所以，所有麻雀是有羽毛的分析：這是一個有效推論它的前提的真實性能夠保證它的結論的真實性而這一保證取決于推論形式：所有M是P所有S是M所以，所有S是P推論形式中的S、M和P都是詞項變項因而我們可以用任何詞項來替換它們例如：我們還可以用“整數”、“正數”和“大于零的”分別替換S、M和P于是，我們就得到另一個推論：所有正數是大于零的所有整數是正數所以，所有整數是大于零的雖然這個推論的第二個前提和結論都是假的但它仍然是一個有效推論這是因為它所具有的推論形式保證了：如果這個推論的所有前提都是真的那么，它的結論不可能是假的由此可見，一個推論的有效性取決于它的推論形式而不取決于它的具體內容我們把通過對一個推論形式中的變項作替換而得到的一個具體推論叫做該推論形式的一個替換例子推論形式有效性的定義：一個推論形式是有效的當且僅當該推論形式的所有替換例子并非所有前提真而結論假定義推論的有效性：一個推論是有效的當且僅當它是一個有效推論形式的替換例子1.2.3反例要確定某一推論形式是無效的這只需要我們找出該推論形式的一個替換例子該替換例子的所有前提是真的而結論是假的這種所有前提真而結論假的替換例子叫做該推論形式的“反例”根據推論形式的有效性定義任何有效的推論形式都不會有反例因此，我們一旦找出某一推論形式的一個反例便能證明該推論形式是無效的這種用反例來確定某推論形式無效的方法叫做構造反例的方法例如：如果p，那么qq所以，p分析：我們用“漢城在日本”和“漢城在亞洲”分別替換推論形式3中的變項p和q便得到這個推論形式的一個替換例子：例如：如果漢城在日本，那么漢城在亞洲漢城在亞洲所以，漢城在日本分析：推論的兩個前提都是真的而其結論卻是假的總之一個推論的有效性取決于它的形式而不取決于它的內容1.2.4推論的可靠性就推論的前提和結論的真假組合而言不外乎以下四種方式：（1）所有前提真并且結論真（2）所有前提真并且結論假（3）至少有一前提假并且結論真（4）至少有一前提假并且結論假【定義】：一個推論是可靠的當且僅當該推論是有效的并且它的所有前提都是真的1.3論證1.3.1證明與反駁論證是推論的實際應用論證包括兩種：證明反駁證明就是確定一個命題的真實性的推論例如：為了確定“月球上沒有生命”這個命題的真實性可以進行如下推論：①如果月球上沒有水，那么月球上沒有生命②月球上沒有水③所以，月球上沒有生命分析：這個推論就是一個證明一個證明包括三個因素：論題、論據和論證方式論題就是其真實性需要加以確認的那個命題在例子中“月球上沒有生命”就是論題論題既是證明的開端，也是證明的終結論據就是確認論題的真實性所依據的命題例子中的前兩個命題①和②就是論據論證方式就是由論據到論題的推論形式這個例子的推論形式為：如果p，那么qp所以，q反駁是確定對方的證明不成立的推論要確定一個證明是不成立的也可以從這三個方面著手：駁對方的論題反駁對方的論據反駁對方的論證方式反駁對方的論證方式就是指明對方的推論形式是不正確的對于演繹證明來說就是要指出該證明的推論形式是無效的例如：如果月球上沒有生命，那么月球上沒有水月球上沒有水所以，月球上沒有生命分析：這個論題的論證形式為：如果p，那么qq所以，p為了反駁這個證明的論證方式你可以指出這個推論形式是無效的如果必要你可以構造該推論形式的一個反例例如：如果小明在跑步，那么小明在移動小明在移動所以，小明在跑步分析：小明在移動不代表小明一定在跑步小明有可能在坐車說明這個推論形式是無效的反駁對方的論題或論據就是要確定對方的論題或論據的虛假性最常用的方法是歸謬法例如：目的：反駁命題A假設：A真證明：如果A真則B真但推倒出的B不為真所以，A并非真歸謬法的基本思想是：以被反駁的命題作為前提推出荒謬的結論這荒謬的結論或者與已知為真的知識相違或者自相矛盾所以該結論都是假的1.3.2論證的基本規(guī)則論證的基本規(guī)則：矛盾律排中律同一律充足理由律論證是用于辯論的推論而辯論的出發(fā)點是分歧最基本的分歧是由一對相互矛盾的命題構成的我們把一對矛盾命題記為：A和非A1．矛盾律矛盾律可以表示為A和非A必有一假例如：命題“月球上沒有生命”和命題“月球上有生命”必有一假如果你證明了“月球上沒有生命”就是在間接反駁它的矛盾命題“月球上有生命”2．排中律排中律可以表示為：A和非A必有一真排中律要求辯論雙方對于作為分歧點的A和非A必須肯定其中一個根據排中律任何一個對A的直接反駁都是對非A的間接證明任何一個對非A的直接反駁都是對A的間接證明3．同一律同一律可以表示為：A等于A也可以表示為：A和A同真或者同假同一律要求辯論雙方在整個辯論過程中對A的態(tài)度要始終如一如果一處肯定A那么應當處處肯定A如果一處否定A那么應當處處否定A4．充足理由律充足理由律可以表示為：A真是因為B真并且由B可以推出A充足理由律包括兩個方面：一是論據要真二是論證方式是有效的在論據上違反充足理由律的錯誤有三種：虛假論據預期理由循環(huán)論證所謂虛假論據就是以已知為假的命題作為論據所謂預期理由就是以真假尚未確定的命題作為論據所謂循環(huán)論證就是論據的真實性依賴于論題的真實性1.3.3二難推論二難推論是指：辯論的一方常常提出一個斷定兩種可能性的前提再由這兩種可能性分別引伸出對方難以接受的結論從而使對方處于進退兩難的境地例如：我國古代流傳著這樣一個故事：有個賣矛和盾的人聲稱他的矛能戳穿任何一個盾他的盾能擋住任何一個矛當一個顧客提議用他的矛去戳他的盾時他立刻目瞪口呆了分析：這是因為他面臨一個二難推論：①如果你的矛能戳穿你的盾那么你的盾沒有你夸得那么好②如果你的矛不能戳穿你的盾那么你的矛沒有你夸得那么好③你的矛能戳穿你的盾或者你的矛不能戳穿你的盾④所以，你的盾沒有你夸得那么好或者你的矛沒有你夸得那么好上面這個二難推論形式是：如果p，那么q如果r，那么sp或者r所以，q或者s再例如：中世紀的神學家們宜稱“上帝是全能的”有一個人向神學家提出挑戰(zhàn)他問道：上帝能不能創(chuàng)造一塊連他自己也舉不起來的石頭？神學家們立刻無言以對了分析：神學家們面臨這樣一個二難推論：①如果上帝能夠創(chuàng)造一塊連他自己也舉不起來的石頭那么上帝不是全能的（因為有一塊石頭他舉不起來）②如果上帝不能創(chuàng)造一塊連他自己也舉不起來的石頭那么上帝也不是全能的（因為有一塊石頭他不能創(chuàng)造）③上帝能夠創(chuàng)造這樣一塊石頭或者上帝不能創(chuàng)造這樣一塊石頭所以，上帝不是全能的上面這個二難推論的形式是：如果p，那么q如果r，那么qp或者r所以，q1.3.4幾種不正當的辯論手法（1）人身攻擊在反駁對方觀點的時候不去揭露對方論或論據的虛假性也不去指出對方論證方式上的錯誤而是對對方的人格進行污辱（2）濫用權威不適當地引用權威人士的話并作為不可置疑的論據來支持自己的觀點（3）強詞奪理明知無理硬拿一些與論題無關的事實作為論據來為自己的觀點進行強辯（4）復雜問語復雜問語是這樣一種問語對它無論是肯定的回答還是否定的回答都意味著承認問話中預設的某個命題2命題達輯：符號化和真值表2.1一些基本槪念2.1.1真值函項復合命題和真值函項琴結詞命題邏輯是以命題為最小單位的簡單命題就是不包含其他命題的命題復合命題就是包含其他命題的命題例如：“羅索是一位哲學家”這個命理不包含其他命題因此它是一個簡單命題“羅素是一個哲學家并且羅素是一個數學家"就是一個復合命題因為它是以“羅素是一個哲學家”和“羅索是一個數學家”這兩個簡單命題為其組成部分的一個復合命題所包含的其他命題叫做“復合命題的支命題”上面那兩個簡單命題就是那個復合命題的支命題在一個復合命題中把各個支命題聯(lián)結起來的那個詞項叫做“聯(lián)結詞”上面那個復合命題中的“并且”就是一個聯(lián)結詞常用的聯(lián)結詞還有"或者”、“如果…那么…”、“當且僅當”等一個聯(lián)結詞被真值函項地使用，當且僅當，由該聯(lián)結詞構成的復合命題的真值完全地決定于它的支命題的真值例如：（1）明天刮風并且明天下雨（2）明天刮風在明天下雨之前分析：（1）是由“明天刮風”和“明天下雨”通過聯(lián)結詞“并且”而構成的一個復合命題如果這兩個支命題都是真的（1）命題就是真的這表明（1）的真值完全決定于它的兩個支命題的真值因而(1)中的聯(lián)結詞“并且”是被真值函項地使用的(2)的兩個支命題也是“明天刮風”和“明天下雨”它的聯(lián)結詞是“…在…之前”(2)的真值不完全決定于它的支命題的真值(2)中的聯(lián)結詞“…在…之前”不是被真值函項地使用的再例如：“張三相信明天下雨”的聯(lián)結詞是“…相信…”這句話的真或假并不由其支命題“明天下雨”的真或假來決定所以“…相信…”不是一個真值函項聯(lián)結詞被真值函項地使用的聯(lián)結詞叫做“真值函項聯(lián)結詞”由真值函項聯(lián)結詞構成的復合命題叫做“值函項復合命題”(1)中的“并且”是一個真值函項聯(lián)結詞因而(1)是一個真值函項復合命題(2)中的“.在…之前”不是一個真值函項聯(lián)結詞因而(2)不是一個真值函項復合命題2.1.2合取詞和合取命題例如：羅素是一個哲學家并且羅素是一個數學家分析：在這個命題是一個合取命題聯(lián)結詞“并且”是被真值函項地使用的由于這個復合命題的兩個支命題即“羅素是一個哲學家”和“羅素是個數學家”都是真的這就決定了這個復合命題是真的我們用符號“∧”作為一個真值函項聯(lián)結詞它的作用相當于被真值函項地使用的聯(lián)結詞“并且”再用命題變項“P”和“Q”分別表示任何兩個命題該復合命題可以符號化為:P

∧

Q“∧”叫做“合取詞”“P∧Q”叫做“合取式”,由“P∧Q”表達的命題叫做“合取命題”在傳統(tǒng)邏輯中又叫做“聯(lián)言命題”合取命題的支命題叫做“合取支”一個合取命題為真當且僅當它的合取支都為真合取命題的真值與它的合取支的真值之間的這種函項關系可以由真值表完全地反映出來:這個表叫做“∧”的“特征真值表”它精確地定義了“∧”的用法這里“T”和“F”分別表示“真”和“假”表的左邊列出了P和Q的全部可能的真值組合即TT、TF、FT和FF表的右邊列出了P∧Q在其合取支的每一真值情況下的相應的真值我們從此表中看到僅當P和Q均為真時P∧Q為真在其他三種情況下P∧Q為假2.1.3析取詞和析取命題下面這個復合命題是一個析取命題例如：深圳位于廣東省或者深圳在廣州與香港之間分析：這個復合命題的支命題是兩個簡單命題即“深圳位于廣東省”和“深圳在廣州與香港之間”它的真值完全決定于它的這兩個支命題的真值只要它的兩個支命題中至少有一個是真的它就是真的如果它的兩個支命題都是假的那么它就是假的既然“深圳在廣州與香港之間”是真的我們可以肯定這個復合命題是真的而無論“深圳位于廣東省”是真的還是假的這里的聯(lián)結詞“或者”是被真值函項地使用的我們用符號“Ⅴ”作為一個真值函項聯(lián)結詞它的作用相當于被真值函項地使用的“或者”再用命題變項“P”和“Q”分別表示任何兩個命題上面的命題可以符號化為:PVQ“V”叫做“析取詞”,“PVQ”叫做“析取式”,由“PVQ”表達的命題叫做“析取命題”在傳統(tǒng)邏輯中又叫做“選言命題析取命題的支命題叫做“析取支”一個析取命題為假當且僅當它的析取支都為假析取命題的真值與它的析取支的真值之間的這種函項關系可以由真值表來刻畫：2.1.4否定詞和否定命題在一個命題之前加上“并非”就構成了那個命題的否定命題例如：在“所有人都是哲學家”之前加上“并非”就構成了這個命題的否定命題即“并非所有人都是哲學家”當前一個命題為真時它的否定命題是假的當前一個命題為假時它的否定命題就是真的我們引人一個真值函項聯(lián)結詞“?”即“否定詞”用以表達被真值函項地使用的“并非”“?P”叫做“否定式”由“?P”表達的命題叫“否定命題”“?”的特征真值表2.1.5蘊涵詞和蘊涵命題“如果……那么……”構成的復合命題叫蘊涵命題例如：如果夏季到來,那么天氣變熱分析：現在我們引入符號“→”作為一個真值函項聯(lián)結詞它的作用相當于被真值函項地使用的“如果…那么…”上面命題形式的任何命題可以符號化為:P→Q“→”叫做“蘊涵詞”,“P→Q”叫做“蘊涵式”由“P→Q”表達的命題叫做“蘊涵命題”在“P→Q”中,“P”所表達的支命題叫做“前件”“Q”所表達的支命題叫做“后件”“→”的特征真值表是:由此表我們看到僅當P真面Q假時P→Q是假的在其他三種情況下P-Q都是真的這也就是說,P-Q是真的當且僅當并非P真而Q假具有“P→Q”形式的命題和具有“?PVQ”形式的命題是完全相等的為證明這一點,我們只需比較這兩個公式的真值表：2.1.6等值詞和等值命題例如:一個數是偶數,當且僅當，它能被2整除分析：這個命題是等值命題我們再引人一個真值函項聯(lián)結詞“?”其作用相當于被真值函項地使用的“..當且僅當…”于是具有上面命題形式的任何命題可以符號化為:P?Q“?”叫做“等值詞”“P?Q”叫做“等值式”由“P?Q”表達的命題叫做“等值命題”在“P?Q”中“P”和“Q”所表達的命題分別叫做等值命題的“左支”和“右支”“?”的特征真值表是:如同其他聯(lián)結詞“當且僅當”在日常語言中也往往不被真值函項地使用例如:（A）孔子死了，當且僅當，北京是中國首都在通常情況下(A)這個命題被看作是假的甚至是無意義的因為它的左支和右支之間沒有任何意義上的聯(lián)系但是當我們把(A)中的“當且僅當”看作一個等值詞從而把(A)看作一個等值命題即：(B)(孔子死了)→(北京是中國首都)根據真值表我們可以確定(B)是真的既然它的左支“孔子死了”和右支“北京是中國首都”都是真的由此可見（A）和（B）是有所不同的在邏輯學中把由“?”表達的等值關系叫做“實質等值”用以區(qū)別“當且僅當”在通常情況下所表達的那種更強的等值關系2.2命題的符號化2.2.1什么是命題的符號化用人為規(guī)定的符號來表達一個命題就是對一個命題的符號化例如：如果天上下雨,那么地上潮濕分析：T→D就是對這個命題的符號化在T→D中T代表“天上下雨”D代表“地上潮濕”T和D屬于命題常項“→”代表“如果…那么…”屬于邏輯常項命題變項與命題常項的區(qū)別是：命題常項代表某個具體命題而命題變項代表任何一個命題但從現在起我們對符號化的討論要更深一步涉及三層語言：自然語言命題符號語言命題表達符號語言命題的符號我們要區(qū)分兩種語言符號：對象語言符號元語言符號在現代邏輯中對象語言不是自然語言而是表達自然語言的符號語言元語言則是表達這種對象語言的語言2.2.2一些常見的復合命題的符號化出現在日常語言中的聯(lián)結詞其用法是多種多樣的有些聯(lián)結詞甚至不能被真值函項地使用如“…在…之前”、“…相信…”等我們只有對它們作出真值函項的釋義之后才能用真值函項聯(lián)結詞加以表達對一個復合命題進行符號化例如：雖然老王有病，但是他堅持工作。這個復合命題的聯(lián)結詞是“雖然…但是…”它的支命題是“老王有病”和“老王堅持工作”為了對它進行真值函項的釋義不難看出“雖然…但是…”與“并且”是完全相同的因此可以被真值函項地釋義為：老王有病并且老王堅持工作我們用命題常項B和G分別表示“老王有病”和“老王堅持工作”于是，這個命題可被符號化為：B∧G2.2.3包含多個聯(lián)結詞的復合命題的符號化當一個公式所含的真值函項聯(lián)結詞不止一個時就需要對其中的符號進行分組否則,它的含義往往是不確定的例如:如果明天放假并且天好那么小王劃船或者游泳分析：這個復合命題含有三個聯(lián)結詞：“如果…那么…”、“并且”、“或者”根據這些聯(lián)結詞我們很自然地將命題的支命題這樣歸組用四個命題常項分別替換四個簡單命題：F：“明天放假”T：“明天天好”H：“小王劃船”Y：“小王游泳”這個復合命題可被符號化為:(F∧T)→(HVY)當一個復合命題含有不止一個聯(lián)結詞時其中必有一個聯(lián)結詞決定該復合命題的主要邏輯性質這個聯(lián)結詞叫做復合命題的主聯(lián)結詞在對這樣的命題進行符號化時主聯(lián)結詞處于括號的外邊例如：上面的復合命題的主聯(lián)結詞是“如果…那么…”因而在符號化中“→”處于括號的外邊我們把由主聯(lián)結詞聯(lián)結的支命題叫做“復合命題的直接支命題”如：上面公式中的“F∧T”和“HVY”是它的直接支命題,命題常項是復合命題的最小元素因而可以叫做復合命題的“基本支命題”或“原子支命題”2.3命題的真值表及其邏輯性質2.3.1真值表的構造一個符號化了的真值函項復合命題無論多么復雜不外乎是由五個真值函項聯(lián)結詞和命題常項組合而成的一個真值函項復合命題的真值取決于它所含的命題常項的真值命題常項的真值一旦確定真值函項復合命題的真值也就相應地確定了對于任何一個命題常項我們可以進行兩種真值賦值即：真和假對于兩個命題常項我們可以進行四種真值賦值：真真、真假、假真、假假總之，個復合命題所含的命題常項越多對其命題常項可能進行的真值賦值的數目就越大我們把對一個復合命題的所有命題常項的真值賦值稱為對該命題的“真值指派”用“K”表示真值指派的數目用“n”表示一個復合命題所含命題常項的數目二者之間的關系為：K=2^n據此,一個含有一個命題常項的復合命題的真值指派的數目為21，即2含有兩個命題常項的復合命題的真值指派的數目為22，即4含有三個命題常項的復合命題的真值指派的數目為23,即8……下面我們以含有三個命題常項的復合命題“F→GVH”為例來說明如何列舉一個復合命題的全部真值指派這個真值表顯示了“F→GVH”在其任何真值指派下的相應的真值例如：當真值指派為:F=T,G=F,H=T時,我們通過查看上表“→”之下第三行的真值,便可知道“F→GVH”是真的在上面構造真值表的過程中我們根據特征真值表首先確定那些以命題常項為直接支命題的復合命題在每一行的真值然后確定那些以這些復合命題為其直接支命題的復合命題的真值以此類推直到確定所討論的那個復合命題在每一行的真值可見，構造真值表的過程是一個能行的過程即我們可以用機械的方法在有窮的步驟內構造出任何一個復合命題的真值表而無論這個復合命題多么復雜2.3.2重言式、矛盾式和偶然式根據真值函項關系的不同我們可以把命題分為三類：重言式矛盾式偶然式請比較以下三個命題及其真值表一個命題是重言式當且僅當該命題在所有的真值指派下都是真的重言式又叫做“真值函項的真命題”,(1)總是真的一個命題是矛盾式當且僅當該命題在所有的真值指派下都是假的矛盾式又叫做“真值函項的假命題”(2)總是假的一個命題是偶然式當且僅當該命題在有些真值指派下是真的在另一些真值指派下是假的偶然式又叫做“真值函項的不定命題”(3)有真有假2.3.3重言等值和重言蘊涵我們說任何兩個命題P和Q是重言等值的就是說P和Q在所有的真值指派下都是真值相同的為確定兩個命題是否重言等值我們只需構造和比較兩個命題的真值表為確定命題“?(E∧N)”和“?EV?N”是否重言等值的我們構造如下的真值表:在上表中這兩個命題的主聯(lián)結詞下方的真值完全相同這表明，這兩個命題是重言等值的命題P和Q是重言等值的當且僅當P?Q是一個重言式命題P重言蘊涵命題Q就是說，在所有的真值指派下都不會出現P真而Q假的情形為了確定P是否重言蘊涵Q我們可以通過真值表來實現在每一種真值指派下都未出現L∧D真而LⅤD假的情形因而，L∧

D重言蘊涵LVD在此表的第二行和第三行中出現LⅤD真而L∧D假的情形這表明,并非LⅤD重言蘊涵L∧D由此可見,重言蘊涵是不對稱的如果用“→”將重言蘊涵的兩個命題P和Q聯(lián)結起來那么,由此構成的命題就是一個重言式用“→”聯(lián)結LAD和LVD而形成的命題L∧D→LVD就是一個重言式其真值表如下:現在,我們給出“重言蘊涵”的另一個定義:P重言蘊涵Q當且僅當，P→Q是一個重言式重言等值和重言蘊涵是兩個命題之間基于真值函項的邏輯關系因此，重言等值和重言蘊涵又分別叫做“真值函項地等值”“真值函項地蘊涵”2.4用真值表檢驗推論的有效性2.4.1真值表方法在命題邏輯中一個推論是有效的當且僅當，在任何真值指派下它都不會出現所有前提真而結論假的情形在命題的邏輯中一個推論是有效的當且僅當它的所有前提的合取式重言蘊涵它的結論【模式1】P1P2……∴C【模式2】P1∧

P2∧……

→C在命題邏輯中一個模式1的推論是有效的當且僅當相應的模式2的蘊涵式是一個重言式一個蘊涵式是否是一個重言式可以通過真值表來判定例如：【例1】P→QQ∴P例1是一個無效的推論形式現在按照模式2將此推論形式重寫為：(1)(P→Q)

∧

Q→P相應的真值表是：在此真值表中主聯(lián)結詞“→”下面的第三行為F可見（1）不是一個重言式由此可以判定例（1）是無效的例如：如果他獲得冠軍，那么他得到獎金如果他得到獎金，那么他資助業(yè)余體校所以，如果他獲得冠軍，那么他資助業(yè)余體校令：G：他獲得冠軍D：他獲得獎金Z：他資助業(yè)余體校以上推論被符號化為：G→DD→Z∴G→Z相應的蘊涵式是：(G→D)∧(D→Z)→(G→Z)其真值表是：在這個真值表中主聯(lián)結詞下方的每一行都是T因此，這是一個有效的推論一個具體推論是否有效不取決于它的內容而取決于它的推論形式是否有效用來檢驗具體推論的有效性的真值表只與該推論的符號結構有關而與符號所表示的內容無關我們把那些僅僅依據命題間的真值函項關系僅僅依據真值函項聯(lián)結詞所進行的推論叫做“命題推論”用真值表方法只能檢驗命題推論的有效性2.4.2短真值表方法如果找到使蘊涵命題為假的真值指派那么，所討論的推論就是無效的如果不可能找到這樣一種真值指派那么所討論的推論就是有效的這就是短真值表方法的基本思想實現這一思想的手段是間接證明和歸謬法例如P→QP∴Q與此推論形式相應的蘊涵式是：檢查（v）中各個命題變項下邊的賦值發(fā)現P既是F又是T這就是說，當我們假定（P→Q）APQ為假時便導致P既真又假的邏輯矛盾根據歸謬法可以得出結論：我們關于該蘊涵式為假的假定不能成立也就是說，該蘊涵式不可能為假這樣就間接證明了該蘊涵式是一個重言式短真值表方法的一般程序可以歸結如下：步驟1：寫出與所討論的推論相應的蘊涵式步驟2：假定蘊涵式是假的即假定它的前件為真而后件為假步驟3：在這種假定下根據真值函項聯(lián)結詞的特征真值表推導出命題常項（或命題變項）的真值步驟4：檢查每一個命題常項（或命題變項）的真值如果所有相同的命題常項（或命題變項）都被賦予相同的真值那么所討論的推論是無效的如果至少有一個命題常項（或命題變項）既真又假那么所討論的推論是有效的當對一個蘊涵式應用短真值表方法的賦值多于一種可能時只要在其中一種可能的賦值下沒有導致矛盾就表明這個蘊涵式不是重言式從而可以斷定相應的推論是無效的但是，在其中一種可能的賦值下導致矛盾并不能由此斷定這個蘊涵式是重言式因而也不斷定相應的推論是有效的要斷定所討論的推論是有效的必須在所有可能的賦值下都導致矛盾3命題邏輯：推演真值表方法是一種判定命題推論的有效性的方法推演也可以判定命題推論的有效性的方法這種方法的實質是將一個復雜推論分解為若干簡單推論由于這些簡單推論的有效性是明顯的所以，那個復雜推論的有效性也就被確立起來如果我們把某些簡單推論作為推演規(guī)則那么，我們就可以根據這些規(guī)則從給定的前提一步一步地推出所要的結論這種方法被稱為“自然演繹”或“自然推論”“自然演繹系統(tǒng)”是以一組推演規(guī)則為基礎的對于任何一個推論如果我們能夠依據這組推演規(guī)則從它的前提推出它的結論那么這個推論就是有效的3.1八條整推規(guī)則3.1.1八條整推規(guī)則的表述一些簡單的有效推論形式就是我們制定自然演繹的推演規(guī)則的依據1．肯定前件在前一章中我們已用真值表方法證明推論形式P→QP∴Q是有效的由此我們得到相應的推論規(guī)則：從P-Q和P可以推得QP和Q作為命題變項可以代表簡單命題也可以代表復合命題例如：P和Q分別代表（A∧B）和（B→C）根據肯定前件規(guī)則我們可以進行如下推論：A∧B→(B→C)A∧BB→C2．否定后件根據真值表方法可知P→Q?Q∴?P是有效的我們由此得到相應的推論規(guī)則：從P→Q和?Q可以推得?P3．否定析取支根據真值表方法可知，推論形式PVQ?P∴Q是有效的據此我們有規(guī)則：從PVQ和?P可以推得Q4．化簡根據真值表方法P∧Q∴P和P∧Q∴Q都是有效的于是我們有規(guī)則：從P∧Q可以推得P從P∧Q可以推得Q5．合取根據真值表方法PQ∴P∧Q是有效的相應的規(guī)則是：從P和Q可以推得P∧Q6．假言三段論由真值表方法可以判定P→QQ→R∴P→R是有效的相應的規(guī)則是：從P→Q和Q→R可以推得P→R7．二難推論由真值表方法可以判定P→QR→SPVR∴QVS是有效的于是我們得到如下規(guī)則：從P→Q、R→S和PVR可以推得QVS8．附加由真值表方法可以判定P∴PVQ和Q∴PVQ是有效的于是我們有規(guī)則：從P可以推得PVQ從Q可以推得PVQ這八條規(guī)則必須應用于整個命題而不能應用于命題的某一個部分或者說，這八條規(guī)則必須應用于主聯(lián)結詞而不能應用于非主聯(lián)結詞這八條規(guī)則被稱之為“整推規(guī)則”3.1.2八條整推規(guī)則的應用依據八條整推規(guī)則我們可以證明許多推論的有效性例如：如果小王研究科學方法論，那么小王學習科學史和邏輯學小王研究科學方法論所以，小王學習邏輯學對該推論進行符號化：L：小王研究科學方法論S：小王學習科學史X：小王學習邏輯學推論可被符號化為；L→S∧XL∴X揭示推論的結論是怎樣從前提一步一步地得出來的證明如下：(1)L→S∧X前提(2)L前提(3)S∧X（1）（2），肯定前件(4)X（3），化簡以上就是對推論1的證明現在我們給出“證明”的定義：一個證明是這樣一個命題序列在其中，每一個命題或者是前提或者是根據推演規(guī)則從序列中在前的命題推得的序列的最后一個命題是結論證明的一般模式是：3.2.1什么是置換規(guī)則在命題邏輯中置換規(guī)則的一般表述如下：對于任何命題P無論它是以整個命題出現還是作為一個命題的一部分出現都可用與它重言等值的命題Q來替換例如：由前提K∧K→O不能通過化簡規(guī)則推出K→O但卻可以通過置換規(guī)則推出這個結論如果我們知道K∧K和K是重言等值的由于任何一個重言等值式的左右兩支是重言等值的根據置換規(guī)則任何重言等值式的左右兩支都是可以互相置換的十條比較常用的置換規(guī)下面就逐一介紹這十條規(guī)則3.2.2交換根據重言式PVQ?QVP和P∧Q?Q∧P我們有規(guī)則：PVQ和QVP可以相互置換P∧Q和Q∧P可以相互置換這條規(guī)則包括兩個部分前一部分叫做“析取交換”后一部分叫做“合取交換”例如：【推論1】AV(B→C)(B→C)VA【推論2】(K→L)∧(M∧L)(K→L)∧(L∧M)3.2.3雙重否定根據重言式：P→??P我們有如下置換規(guī)則：P和??P可以相互置換例如：DV(F∧G)∴??DV(F∧G)3.2.4德摩根律德摩根重言式?(PVQ)??P∧?Q和?(P∧Q)??P∨?Q我們有規(guī)則：?(PVQ)??P∧?Q可以互相置換?(P∧Q)??P∨?Q可以互相置換前一部分叫做“否定析取的德摩根律”后一部分叫做“否定合取的德摩根律”3.2.5假言易位根據真值表我們有重言式：(P→Q)?(?Q→?P)我們有置換規(guī)則:(P→Q)和(?Q→?P)可以相互置換3.2.6蘊涵根據真值表，我們有重言式：(P→Q)?(?PVQ)于是，我們有置換規(guī)則：（P→Q）和（?PVQ）可以相互置換3.2.7重言根據真值表，我們有重言式：P?P∨P和P?P∧P我們有如下置換規(guī)則；P和PVP可以相互置換P和P∧P可以相互置換前一部分叫做“析取重言”后一部分叫做“合取重言”3.2.8結合有重言式：PV(QVR)→(PVQ)VR和P∧(Q∧R)→(P∧Q)∧R于是，我們有如下置換規(guī)則：PV（QVR）與（PVQ）VR可以相互置換P∧（Q∧R）與（P∧Q）∧R可以相互置換第一部分叫做“析取結合”第二部分叫做“合取結合”3.2.9分配根據真值表PV(Q∧R)?(PVQ)∧(PVR)P∧(QVR)?(P∧Q)V(P∧R)我們有如下置換規(guī)則:PV(Q∧R)和(PVQ)∧(PVR)可以相互置換P∧(QVR)和(P∧Q)V(P∧R)可以相置換前一部分叫做“析取對合取的分配”后一部分叫做“合取對析取的分配”3.2.10移出根據真值表：(P∧Q→R)?(P→(Q→R))于是，我們有置換規(guī)則：(P∧Q→R)和(P→(Q→R))可以相互置換3.2.11等值根據真值表，我們有重言式：(P?Q)?(P→Q)∧(Q→P)我們有如下置換規(guī)則：(P?Q)和(P→Q)∧(Q→P)可以相互置換。3.3條件證明規(guī)則3.3.1什么是條件證明規(guī)則僅用這十八條規(guī)則還不能給出所有有效命題推論的證明例如：?JVK∴J→J∧K分析：推論是有效的十八條規(guī)則不能證明它的有效性為了證明推論的有效性我們可以這樣來考慮：推論是有效的當且僅當，它的前提真時結論不可能假它的結論是一個蘊涵式一個蘊涵式不可能假我們把結論中的前件J作為假設給出在原來的前提之下當J真時，J∧K不可能假這也就表明，當原有前提為真時原結論J→JAK不可能是假的根據以上道理我們引入一條新的推演規(guī)則條件證明規(guī)則：如果從前提Pr或假設P推出Q，那么，僅從前提Pr可以推得P→Q條件證明規(guī)則也可表達為如下模式：Pr表示所有前提的合取從假設P開始到Q為止的直線標示出假設的范圍即假設域假設域的第一行是假設亦即結論的前件假設域的最后一行是結論的后件假設域中的任何一行或者是假設，或者是由假設或前提推出的作為結論的蘊涵式P→Q在假設域之外這表明，此結論不依賴于假設P而僅僅依賴于前提Pr或者說，對于該結論來說，假設P是被撤除的現在我們就用條件證明規(guī)則證明推論的有效性證明：3.3.2條件證明規(guī)則的應用例如：如果一個人自信，那么他有闖勁但不易保持謙虛如果一個人怯懦，那么他容易保持謙虛所以，如果一個人自信，那么他不怯懦將此推論符號化：Z：一人自信C：他有闖勁B：他易保持謙虛Q：他怯懦此推論被符號化為：Z→C∧?BQ→B∴Z→?Q證明如下：3.4間接證明規(guī)則3.4.1什么是間接證明規(guī)則間接證明的一般程序是：為要從給定的前提推出結論P我們先假設?P如果能從前提和?P推出一對矛盾命題Q和?Q這便證明了?P是假的從而證明P是真的間接證明規(guī)則：如果從前提Pr和假設～P推出Q∧?Q那么，僅從前提Pr可以推出P間接證明規(guī)則也可表達為如下模式：3.4.2間接證明規(guī)則的應用我們知道條件證明規(guī)則較適用于證明其結論為蘊涵式的推論，與此不同，間接證明規(guī)則常常用來證明其結論不是蘊涵式的推論。例如：【推論1】FVNN→B∧JBVF→D∴D分析：3.5重言式的證明3.5.1重言式的無前提證明我們知道，重言式是常真的重言式的真不依賴于任何前提因此，我們可以構造任何重言式的無前提證明無前提證明是通過使用條件證明規(guī)則或間接證明規(guī)則來實現的具體地說無前提證明是以假設為出發(fā)點并通過撤除所有假設來得出結論的結論就是所要證明的重言式例如：對于P→P這個重言式可以構造如下的無前提證明在命題邏輯中如果我們能夠構造出一個公式的無前提證明那么，該公式就被證明是一個重言式請看下面兩個推論：【推論1】Q∴P→P【推論2】?Q∴P→P注意，推論1和推論2的前提正好相互否定而它們的結論卻完全相同3.5.2自然演繹與真值表方法現在，我們已經有兩種方法可以檢驗一個命題推論的有效性真值表方法自然演繹方法4三段論邏輯三段論邏輯是由古希臘的大哲學家亞里士多德最初建立的三段論邏輯只處理三段論推論4.1直言命題4.1.1直言命題的形式出現在一個三段論中的命題都是直言命題直言命題有以下四種形式：所有S是P所有S不是P有S是P有S不是PS和P是詞項變項它表示任何一個詞項由S表示的詞項叫做“主項”由P表示的詞項叫做“謂項”例如：所有哲學家都是善于抽象思維的；有人不是善于抽象思維的；所以，有人不是哲學家。分析：“哲學家”是主項“善于抽象思維的”是謂項把主項和謂項聯(lián)結起來的詞項叫“聯(lián)項”聯(lián)項有兩種，即“是”和“不是”“是”叫做“肯定聯(lián)項”“不是”叫做“否定聯(lián)項”“S”前邊的“所有”或“有”叫做“量項”量項是用來表示主項在外延方面的數量的“所有”叫做“全稱量項”它表示了主項的全部外延“有”叫做“特稱量項”它沒有表示主項的全部外延任何一個直言命題都具有以上四種形式之一任何一個直言命題都是由主項、謂項、聯(lián)項和量項這四個部分組成的人們把“所有S是P”縮寫為“A”，并稱之為“全稱肯定命題”把“所有S不是P”縮寫為“E”，并稱之為“全稱否定命題”把“有S是P”縮寫為“I”，并稱之為“特稱肯定命題”把“有S不是P”縮寫為“O”，并稱之為“特稱否定命題”4.1.2直言命題的圖釋我們把特稱量詞解釋為“至少有一”把I命題解釋為“至少有一S是P”，把O命題解釋為“至少有一S不是P”I和O用文恩圖表達：首先畫兩個相交的圓它們分別表示S和P的外延亦即它們分別表示S和P所指稱的兩類事物這兩個相交的圓構成三個不同的區(qū)域中間相交的區(qū)域表示既是S又是P的那類事物最左邊區(qū)域表示是S而不是P的那類事物最右邊的區(qū)城表示是P而不是S的那類事物如果已知哪一類事物存在我們就在相應的區(qū)域寫上“X”如果已知哪一類事物不存在我們就在相應的區(qū)域畫上影線如果一個區(qū)域既未寫上“X”，也未畫上影線那就意味著我們對相應的那類事物一無所知也是說我們既不知道那類事物存在也不知道它們不存在I表示“至少有一S是P”這就是說“既是S又是P的那類事物是存在的”為表示I我們應該在圖中間的相交區(qū)域寫上“X”這樣，I就被解釋為：我們把O解釋為“至少有一S不是P”這就是說，“是S而不是P的那類事物是存在的”為表示O，我們應在圖中最左邊的區(qū)域寫上“X”這樣，O就被解釋為：把“所有S是P”解釋為“沒有S不是P”或“是S而不是P的事物是沒有的”為表示A命題，我們應當在圖4中最左邊的區(qū)域畫上影線于是，A被解釋為：E命題即“所有S不是P”的含義是“沒有S是P”或“既是S又是P的事物是沒有的”為表示E，我們應當在圖中間的相交區(qū)域畫上影線這樣，E就被解釋為請注意，在圖中有“X”的這表明I和O這兩個特稱命題有主項存在的含義但在圖中沒有“X”的這表明A和E這兩個全稱命題沒有主項存在的含義正因為這樣，當主項為一個空詞項時特稱命題都是假的而全稱命題都是真的下圖是當主項S為空詞項時的圖釋由于全稱命題沒有主項存在的含義而特稱命題有主項存在含所以，由“所有S是P”推不出“有S是P”由“所有S不是P”推不出“有S不是P”4.1.3直言命題之間的關系A和O之間具有矛盾關系因而，其中之一與另一個的否定命題是等值的即：“所有S是P”等值于“并非有S不是P”“有S不是P”等值于“并非所有S是P”E和I之間也具有矛盾關系因而，以下等值關系成立：“所有S不是P”等值于“并非有S是P”“有S是P”等值于“并非所有S不是P”根據以上四種等值關系我們可以進行一些置換推演例如：從“所有蛇是爬行的”可以推出“并非有蛇不是爬行的”從“并非所有液體比鐵輕”可以推出“有液體不比鐵輕”，等等一個詞項的補指稱所有不被該詞項指稱的對象任何一個詞項“P”的補記為“非P”例如：“紅的”的補為“非紅的”“非紅的”的外延包括一切不為紅色的個體其中有黑板、綠草、白雪等等說一個體是P，等于說該個體不是非P說一個個體不是P，等于說該個體是非P根據一個詞項和該詞項的補之間的這種關系我們得到如下等值關系：“所有S是P”等值于“所有S不是非P”“所有S不是P”等值于“所有S是非P”“有S是P”等值于“有S不是非P”“有S不是P”等值于“有S是非P”兩個具有相同主項的直言命題可以相互置換：它們的聯(lián)項相反謂項互為補詞項這個置換規(guī)則通常叫做換質法例如：所有的哺乳動物是熱血的；所以，所有的哺乳動物不是非熱血的。有些行星是沒有衛(wèi)星的；所以，有些行星不是有衛(wèi)星的。交換E和I中S和P的位置并不改變命題的含義因此，我們又有如下等值關系：“所有S不是P”等值于“所有P不是S”“有S是P”等值于“有P是S”相應地，我們有如下置換規(guī)則：主項和謂項交換位置的兩個E命題可以相互置換主項和謂項交換位置的兩個I命題可以相互置換這個置換規(guī)則通常叫做換位法下面兩個推論是對換位法的應用：有的釣魚者是有耐心的；所以，有的有耐心的是釣魚者。所有的天主教徒不是無神論者；所以，所有的無神論者不是天主教徒。十對相互等值的命題集中列舉如下：（1）根據矛盾關系：“所有S是P”等值于“并非有S不是P”“有S不是P”等值于“并非所有S是P”“所有S不是P”等值于“并非有S是P”“有S是P”等值于“并非所有S不是P”（2）根據調項及其補詞項之間的關系（即換質法）；“所有S是P”等值于“所有S不是非P”“所有S不是P”等值于“所有S是非P”“有S是P”等值于“有S不是非P”“有S不是P”等值于“有S是非P”（3）根據主項和謂項的對稱性（即換位法）：“所有S不是P”等值于“所有P不是S”“有S是P”等值于“有P是S”4.2三段論4.2.1什么是三段論三段論是這樣一種推論它由三個直言命題組成其中兩個直言命題是前提另一直言命題是結論就主項和謂項而言它包含三個不同的詞項每個詞項在兩個命題中各出現一次例如：所有有機物都是含碳化合物糖是有機物所以，糖是含碳化合物分析：這是一個三段論它由三個直言命題組成就主項和謂項而言它只包含三個不同的詞項即“有機物”、“含碳化合物”和“糖”其中每個詞項在兩個命題中各出現一次三段論所包含的三個不同的詞項分別叫做“大項”、“小項”和“中項”大項就是作為結論的謂項的那個詞項小項就是作為結論的主項的那個詞項中項就是在兩個前提中都出現的那個詞項在這個例子中大項是“含碳化合物”小項是“糖”中項是“有機物”只要中項的位置確定了大項與小項的位置也就跟著確定了由于中項位置不同而形成的各種三段論形式叫做“三段論的格”習慣上用“P”、“M”和“S”分別表示大項、中項和小項現將三段論所有的四個格列舉如下：三段論的兩個前提和一個結論可以在A、E、I、0這四種不同形式的命題中加以選擇由于以不同形式的命題作為前提或結論而形成的各種不同的三段論形式叫做“三段論的式”例如上面的推論屬于第一格它的式可以表示為：AAA當三段論的格和式都確定以后三段論的形式也就完全確定了例如：如果告訴我們一個三段論的形式是EIO一Ⅲ我們便知道這個三段論具有如下的形式：所有M不是P有M是S所以，有S不是P就三段論的任何一格而言它的兩個前提和一個結論各有四種可能的形式即A、E、I或O因此，三段論的任何一格都有43即64個式四個格一共有256個式然而，并非每一個三段論形式是有效的4.2.2用文恩圖檢驗三段論的有效性為了用文恩圖檢驗一個三段論的有效性我們首先畫三個彼此相交的圓讓它們分別代表大項、中項和小項如圖所示其次，把作為前提的兩個直言命題分別在圖中表示出來不妨以AAA-I為例AAA-I的形式是：所有M是P所有S是M所以，所有S是P下圖中加以表示的結果最后，根據上圖來檢驗AAA-1是否有效看它是否包含了表示AAA-I的結論文恩圖：若包含，AAA-I是有效的若不包含，則表明AAA-I是無效的AAA-I的結論是“所有S是P”表示該結論的文恩圖是：圖中畫影線的部分完全包含影線區(qū)域由此可見，AAA-I是有效的當一個三段論有一個全稱前提和一個特稱前提時最好先畫出全稱前提然后畫出特稱前提4.2.3用規(guī)則檢驗三段論的有效性一個命題中的一個詞項是周延的當且僅當，這個命題斷定了這個詞項的全部外延根據這個定義，我們可以確定：（1）全稱命題的主項是周延的。全稱命題“所有S是P”和“所有S不是P”中的量詞“所有”斷定了S的全部外延（2）特稱命題的主項是不周延的特稱命題“有S是P”和“有S不是P”中的量詞“有”沒有斷定S的全部外延（3）肯定命題的謂項是不周延的肯定命題“所有S是P”和“有S是P”并沒有斷定S是所有的P故沒有斷定P的全部外延（4）否定命題的謂項是周延的否定命題“所有S不是P”和“有S不是P”斷定了S不是任何一個P故斷定了P的全部外延三段論規(guī)則列舉如下：規(guī)則1：中項至少在一個前提中周延。規(guī)則2：如果一個詞項在結論中是周延的那么，它必須在前提中周延規(guī)則3：至少一個前提是肯定的。規(guī)則4：如果有一個前提是否定的那么，結論是否定的如果結論是否定的那么，有一前提是否定的規(guī)則5：如果兩個前提都是全稱的那么，結論不能是特稱的一個三段論如果滿足以上每一條規(guī)則那么它是有效的反之，如果它違反其中任何一條則那么，它是無效的4.3強化三段論4.3.1強化直言命題與強化三段論一個三段論如果暗含著一個前提即“由前提中的主項所表示的事物是存在的”這樣的三段論比起我們在前一節(jié)所討論的三段論可以說是強化了前提的三段論因而，我們把這樣的三段論叫做“強化三段論”把組成強化三段論的直言命題叫做“強化直言命題”相應地，把非強化三段論和非強化直言命題叫做“基本三段論”和“基本直言命題”強化三段論邏輯中強化直言命題之間的邏輯關系被歸結為一個“邏輯方陣”4.3.2對強化三段論的有效性的檢驗強化三段論的有效性不同于基本三段論的有效性文恩圖檢驗強化三段論的一般程序：步驟1：畫出兩個前提的文恩圖步驟2：在各個前提以及結論的主項的圓內寫上“X”步驟3：檢查圖中是否已把結論畫出若畫出，則該推論有效若未畫出，則該推論無效下面我們就用文恩圖檢驗一個強化三段論的有效性。例如：所有M是P所有S是M所以，有S是P首先畫出兩個前提的文恩圖其次，我們在兩個前提以及結論的主項S和M的圓內寫上“X”強化三段論的有效形式多于基本三段論的有效形式強化三段論的有效形式除了這15個以外，還有9個4.3.3處理三段論的兩種方案如何確定一個三段論是強化三段論還是基本三段論？例如：維也納學派的成員都懂邏輯學維也納學派的成員都是經驗主義者所以，有些經驗主義者是懂邏輯學的分析：如果這個推論出于一個哲學工作者之口我們最好把這個推論看作一個強化三段論即假定前提的主項“維也納學派的成員”不是一個空詞項因為哲學工作者一般都知道維也納學派是一個真實存在的哲學派別然而，如果這個推論出于一個小學生或中學生之口我們最好把它看作一個基本三段論即不假定“維也納學派的成員”不是一個空詞項因為在中小學生中知道實際存在的作為哲學派別的維也納學派的人畢竟是不多的避開這個問題的方案主要有二：其一是傳統(tǒng)邏輯所采取的方案另一是現代邏輯所采取的方案傳統(tǒng)邏輯通常把三段論作為強化的三段論把直言命題作為強化的直言命題在現代邏輯中通常把直言命題作為基本直言命題把三段論作為基本三段論這種作法的優(yōu)點是能夠處理不假定主項存在的三段論和直言命題其缺點是對于那些主項明顯存在的三段論和直言命題處理得比較遷回不夠直截了當在文中所出現的三段論和直言命題除非特別聲明都是作為基本三段論和基本直言命題的5謂詞邏輯：基本概念和符號化5.1基本概念5.1.1謂詞邏輯和謂詞推論本章的目的在于發(fā)展這樣一個邏輯系統(tǒng)：我們既能處理那些依據真值函項聯(lián)結詞的推論又能處理那些依據量詞的推論而且還能處理那些既依據量詞又依據真值函項聯(lián)結詞的推論這樣的邏輯理論叫做“謂詞邏輯”謂詞邏輯是對命題邏輯的擴展它在命題邏輯的基礎上又增添了一些新的推演規(guī)則因此所有在命題邏輯中能夠被證明為有效的推論在謂詞邏輯中都能被證明許多在命題邏輯中不能被證明的有效推論在謂詞邏輯中也能夠被證明我們把謂詞邏輯所處理的推論叫做“謂詞推論”命題推論是謂詞推論的一部分5.1.2個體詞和謂詞我們首先考察幾個命題：（1）武漢大學是綜合性大學。（2）武漢大學依山傍水。（3）泰山是雄偉的。（4）廬山是雄偉的。這四個命題都斷定了某個個別事物具有某種屬性在謂詞邏輯中把表示個別事物的名稱或短語叫做“個體詞”把表示事物的性質或關系的短語叫“謂詞”上面四個命題中的“武漢大學”、“泰山”、“廬山”是個體詞“···是綜合性大學”、“···依山傍水”、“···是雄偉的”是謂詞現在，我們規(guī)定，小寫字母a至w為個體常項它們用來表示自然語言中的個體詞亦即專名（專有名詞）其后緊跟一對括號的大寫字母A至Z為謂詞常項它們用來表示自然語言中的謂詞在將命題符號化時先寫謂詞常項然后將個體詞填寫在謂詞常項后邊的一對括號里據此，我們可以對上面四個命題進行如下的符號化：首先給出謂詞常項和個體常項：Z（）：“·是綜合性大學S（）：···依山傍水X（）：···是雄偉的w：武漢大學t：泰山l：廬山然后寫出命題的符號表達式：(1')Z(w)(2')S(w)(3')X(t)(4')X(l)（1＇）、（2＇）、（3＇）和（4＇）分別是（1）、（2）、（3）和（4）的符號化有些謂詞則表示兩個或更多個體之間的關系例如：（5）梁山伯愛祝英臺。（6）武漢在南京和重慶之間。（7）武漢與南京之間的距離小于重慶與上海之間的距離。分析：（5）的謂詞“……愛……”表示兩個個體之間的關系（6）中的謂詞“···在···和···之間”表示三個個體之間的關系（7）中的謂詞“···與···之間的距離小于··與··之間的距離”表示四個個體之間的關系一般地，我們把表示n個個體的屬性或關系的調詞叫做“n目謂詞”這里的“目”也就是空位的意思命題（1）至（4）中的謂詞都是一目謂詞命題（5）中的謂詞是二目謂詞命題（6）中的謂詞是三目謂詞命題（7）中的謂詞是四目謂詞為了把謂詞的目數表示出來我們進一步規(guī)定謂詞符號是被一對包含或不包含逗號的括號緊跟其后的大寫字母例如：A（）、···M?（）、····B?（，）、···、W（，，）、···、Z（，，，）···其中不含逗號的謂詞是一目謂詞含有一個逗號的謂詞是二目謂詞總之，含有n個逗號的謂詞是n＋1目謂詞個體詞必須填在謂詞的括號中若有逗號必須在逗號兩邊各填一個個體詞為簡便起見，在規(guī)定謂詞常項時我們可以把謂詞常項后邊的括號省去例如：現對命題（5）、（6）、（7）進行符號化E：···愛···B：·在···和···之間R：···與····之間的距離小于···與···之間的距離b：梁山伯t：祝英臺h：武漢j：南京q：重慶s：上海(5')E(b,t)(6')B(h,j,q)(7')R(h,j,g,s)以上所討論的命題都可以用一個n目謂詞常項和填寫在其后一對括號中的n個個體常項加以符號化這樣的命題及其符號化都是關于某些個別事物的因而叫做“單稱命題”所有單稱命題都屬于謂詞邏輯的基本命題此外，所有的命題常項也屬于謂詞邏輯的基本命題習慣上，把基本命題叫做“原子命題”所有單稱命題和所有命題常項就是謂詞邏輯的全部原子命題由原子命題構成的復合命題又叫做“分子命題”5.1.3量詞請看下面兩個命題。（8）所有事物都是方形的。（9）有的事物是紅色的。（8）中所談的“事物”泛指任何對象而不指稱某一個別對象因而，對于（8）中的“事物”我們不能用個體常項來代表只能用個體變項來代表個體變項是小寫字母x、y和z個體變項的變域是宇宙間的任何個體我們還引入一個常項“?”?叫做“全稱量詞”它的含義相當于日常語言中的：“每一”、“任何”、“所有”、“一切”等等現在，我們用個體變項“x”表示（8）中的“事物”用調詞常項“F”表示（8）中的謂詞“···是方形的”（8）可以符號化為：(8')?xF(x)讀作：（8''）對每一x而言，x是方形的（8''）和（8）的意思完全一樣只是表達方式略有不同（8''）被一個逗號分為兩部分前一部分“對于每一x而言”是對“?x”的解釋后一部分“x是方形的”是對“F（x）”的解釋命題（9）中的“事物”也不能用個體常項來表示只能用個體變項來表示“ヨ”叫做“存在量詞”它的含義相當于自然語言中的：“有”、“有的”、“至少有一”等等現在我們用個體變項x表示（9）中的“事物”用謂詞常項H表示（9）中的謂詞“···是紅色的”（9）可以被符號化為：（9）ヨxH(x)讀作：（9＂）至少有一x使得，x是紅色的（9＂）和（9）雖然表達方式略為不同但它們的意思是完全一樣的（9”）也被一個逗號分為兩部分前一部分“至少有一x使得”是對（9＇）中的“ヨx”的解釋后一部分“x是紅色的”是對（9＇）中的“H（x）”的解釋一個量詞后邊總是緊跟一個個體變項用以表明這個量詞是針對什么而言的量詞和緊跟其后的一個個體變項一起稱作量詞例如：“?x”、“?y”、“?z”等是全稱量詞“ヨx”、“ヨy”、“ヨz”等是存在量詞5.1.4量詞的轄域、普遍命題和復合命題量詞的作用范圍叫做“量詞的轄城”對于量詞的轄域可以分三種情況加以判別：其一，量詞后邊緊接一個左括號在這種情況下量詞的轄域從量詞開始延續(xù)到與該左括號配對的右括號其二，量詞后邊沒有緊跟一個左括號也沒有緊跟一個量詞在這種情況下量詞的轄域從量詞開始延續(xù)到該量詞之后的第一個二項真值函項聯(lián)結詞之前其三，量詞后邊緊接一個量詞在這種情況下該量詞的轄域就是它本身加上它后邊的量詞的轄域例如：(10)?x(F(x)→F(e))(11)?xF(x)→F(e)(12)?xヨyR(x,y)分析：在（10）中量詞“?x”之后緊接一個左括號因此，量詞的轄域一直延續(xù)到與該左括號配對的右括號也就是說，量詞的轄城包括整個命題在（11）中量詞“?x”之后沒有緊接一個左括號也沒有緊接一個量詞因此，量詞的轄域只包括“→”之前的部分即“?xF（x）”在（12）中量詞“?x”之后緊接量詞“ヨy”因此，“?x”的轄域包括它本身和“ヨy”的轄域就是包括整個公式量詞和真值函項聯(lián)結詞統(tǒng)稱為“邏輯詞”如果一個量詞的轄域包括整個命題那么我們就稱該量詞是該命題的“主邏輯詞”以量詞為主邏輯詞的命題稱作“普通命題”普遍命題又可分為全稱命題和存在命題全稱命題的主邏輯詞是全稱量詞存在命題的主邏輯詞是存在量詞如果一個命題中至少有一個真值函項聯(lián)結詞未包含于量詞的轄域內那么該命題的主邏輯詞就是量詞轄域之外的某個真值函項聯(lián)結詞以真值函項聯(lián)結詞為主邏輯詞的命題稱做“復合命題”（10）和（12）是普遍命題具體地說，是全稱命題（11）是一個復合命題具體地說，是一個蘊涵命題命題可以分為三類普遍命題復合命題基本命題5.1.5自由變項和約束變項一個變項在一個公式中的一次出現是約束的當且僅當，這次出現是在含有該變項的量詞的轄域內一個變項在一個公式中的一次出現是自由的當且僅當，該變項的這次出現不是約束的例如：(21)ヨy(F(y)∧G(y))(22)ヨyF(y)∧G(y)分析：直線標出量詞的轄域根據這個定義在（21）中，y的三次出現都是約束的在（22）中，y的前兩次出現是約束的第三次出現是自由的約束變項和自由變項的定義：一個變項在一個公式中是一個約束變項當且僅當，該變項至少有一次出現是約束的一個變項在一個公式中是一個自由變項當且僅當，該變項至少有一次出現是自由的5.1.6開語句、開語句的例示和概括開語句就是至少含有一個自由變項的公式例如：(26)G(x)在（26）中G代表謂詞“……在中國”故（26）可以讀作：“x在中國”用個體常項b和c分別代表“北京”和“東京”并通過用b或c分別替換（26）中的自由個體變項x從而得到G（b）或G（c）。G（b）表達一個真命題G（c）表達一個假命題用一個個體常項替換開語句中的一個個體變項的每一次自由出現稱為對這個開語句的一次例示由一次例示得到的結果叫做開語句的一個“替換例子”用以替換的個體常項叫做“例示常項”G（b）和G（c）就是開語句G（x）的兩個替換例子它們分別是用b或c對G（x）進行例示所得的結果對一個開語句進行一次概括，就是在這個開語句前邊加上一個量詞該量詞所含的變項與這個開語句所含的十個自由變項相同并且該量詞的轄域包括整個公式。用全稱量詞對開語句進行概括稱作“全稱概括”用存在量詞對開語句進行概括稱作“存在概括”從一個開語句得到一個命題有兩種并且只有兩種方法即例示和概括開語句和符號化了的命題統(tǒng)稱為“公式”5.1.7重復約束和空約束所謂重復約束就是一個量詞出現在另一個含有相同變項的量詞的轄域內所謂空約束

?xヨ就是在一個量詞的轄域內沒有第二次出現該量詞所含的個體變項例如：(28)?xヨxK(x,x)(29)ヨy(I(y)∧?yJ(y))(30)ヨx?y(I(x)→L(x))在（28）和（29）中都出現了重復約束在（30）中出現了空約束5.2命題的符號化5.2.1直言命題的符號化全稱命題和存在命題的一般形式分別是?xP（x）ヨxP（x）P（）是一個元變項表示任何一個一目謂詞x是一個個體變項的元變項表示任何一個個體變項，如P（x）表示任何一個由一目謂詞構成的開語句A命題符號化例如：（1）所有魚是用鰓呼吸的（1）的主項“魚”所表示的就不是最大的類因此，我們不能把（1）解釋為：?x（x是用鰓呼吸的）因為這種解釋等于說所有事物都是用鰓呼吸的對（1）的正確解釋應當是：?x（如果x是魚，那么x是用鰓呼吸的）用Y代表謂詞“···是魚”用S代表謂詞“···是用鰓呼吸的”（1）可被符號化為：(1')?x(Y(x)→S(x))I命題的符號化（3）有些金屬是液體。命題（3）是一個I命題把它重新表述為：至少有一事物使得，它是金屬并且它是液體我們用K代表“···是金屬”L代表“···是液體”（3）可以被符號化為：ヨx（K(x)∧L(x)）5.2.2論域我們把在特定場合下所談論的某一類對象的集合叫做在那個場合下的“論域”在此之前我們規(guī)定個體變項的變域是宇宙間一切事物的集合這就規(guī)定了我們的論城是全集相應于全集的論城叫做“全域”并非在任何場合下我們都得使論城為全域在謂詞邏輯中通過限制論域可以使命題的符號化得以簡化例如：我們把論域限制為“魚”的集合記為：UD：｛魚｝命題“所有魚都是用鰓呼吸的”可被符號化為：?xS(x)對論域的限制需要給予明確的標示即，“UD：｛……｝”或“論域：｛……｝”如果對論域沒有標示那么論域就被看作是全域在適當限制論域之后A、E、I和O這四種命題可以被分別符號化為:A:?xP(x)E:?x?P(x)I:ヨxP(×)0:ヨx?P(×)可以把P（x）推廣為Ψ（x）二者的不同在于：P（x）表示由一目謂詞構成的開語句因而x只能在其中出現一次而重Ψ（x）表示由任何目謂詞構成的開語句因而x可以在其中出現任意多次5.2.3一般命題的符號化全稱命題的一般結構是：?xP(x)→(……))存在命題的一般結構是：ヨxP((x)∧(……))例如：所有狗身上長毛并且嗅覺靈敏重新表述為：對于每一x而言，如果x是狗，那么x身上長毛并且嗅覺靈敏G：···是狗M：···身上長毛X：···嗅覺靈敏符號化為：?x(G(x)→M(x)∧X(x))5.2.4命題的多重量化如果在一個命題中至少有一個量詞處于另一個量詞的轄城內那么，我們稱這個命題是多重量化的例如：?xP(x)→ヨyQ(y)不是多重量化的?x(P(x)→ヨyQ(y))是多重量化的多重量化不同于重復約束二者的區(qū)別是：前者所涉及的是含有不同個體變項的量詞而后者所涉及的是含有相同個體變項的量詞把處于括號內的“ヨx”移至括號外叫做“量詞移置”在謂詞邏輯中以下十二個等值式叫做“量詞移置律”6謂詞邏輯：解釋與推演6.1解釋6.1.1命題的解釋及其真假一個符號化的命題的真值取決于對它的解釋它的解釋一旦確定它的真值就相應地確定了對一個命題作出一個解釋當且僅當，對該命題：a.規(guī)定一個非空論域UD；b.給每一個謂詞常項指定一個屬性；c.給每一個體常項指定論域中的一個成員；d.給每一個命題常項指定真值。例如：命題“ヨxR（x，b）∧B”的解釋UD：｛江河｝R：···比···長b：黃河B：T（即：真）分析：“B”是真的“ヨxR（x，b）”也是真的因為它的意思是：有些江河比黃河長這個斷定是符合事實的既然“ヨxR（x，b）∧B”的兩個合取支都是真因此，該命題相對于這個解釋是真的對于全稱命題來說論域中只要有一個反例它就是假的否則它是真的對于存在命題來說論域中只要有一個正例它就是真的否則，它是假的6.1.2普遍有效式和不可滿足式一個命題是普遍有效式當且僅當，該命題相對于每一個解釋都是真的一個命題是不可滿足式當且僅當，該命題相對于每一個解釋都是假的例如：ヨx（L（x）V?L（x））是一個普遍有效式因為該命題相對于每一個解釋都是真的?yJ（y）∧ヨy?J（y）是一個不可滿足式因為該命題相對于每一個解釋都是假的一個不是普遍有效式的命題叫做“非普遍有效式”一個不是不可滿足的命題叫做“可滿足式”要確定一個命題是一個非普遍有效式我們只需構造一個解釋使該命題相對于這個解釋是假的要確定一個命題是一個可滿足式我們只需構造一個解釋使該命題相對于這個解釋是真的例如：?x（M（x）→ヨyH（x，y））的一個解釋是：UD：｛正整數｝H：···小于···M：···等于1開語句“M（x）→3yH（x，y）”所確定的條件是：如果x等于1，那么x小于有些正整數該命題至少相對于一個解釋是真的所以，該命題是一個可滿足式相對于有些解釋為真而相對于另一些解釋為假的命題叫做“可滿足而非普遍有效式”普遍有效式包括重言式不可滿足式包括矛盾式重言式和矛盾式分別是普遍有效式和不可滿足式的特殊情形6.1.3邏輯等值和邏輯蘊涵命題P和Q是邏輯等值的當且僅當，相對于每一個解釋P和Q均為真或者均為假例如：?x(A(x)→B(x))和?x(?A(x)VB(x))是邏輯等值的因為相對于任何解釋?x(A(x)→B(x))和?x(?A(x)VB(x))或者同真或者同假既然邏輯等值的兩個命題P和Q相對于每一個解釋都具有相同的真值因而，如果P邏輯等值Q那么，等值式P?Q相對于每一個解釋都是真的并且，如果P?Q相對于每一個解釋都是真的那么，P和Q是邏輯等值的于是，命題P和Q是邏輯等值的當且僅當，P?Q是一個普遍有效式P邏輯蘊涵Q當且僅當相對于每一個解釋并非P真而Q假例如：命題“F（a）”邏輯蘊涵命題“ヨxF（x）”P邏輯蘊涵Q當且僅當P→Q是一個普遍有效式6.1.4謂詞推論的解釋及其有效性一個謂詞推論是有效的當且僅當它相對于每一個解釋