河南省洛陽市第二外國語學校高三高考數(shù)學闖關(guān)密練特訓《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)新》試題含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2-4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1。函數(shù)f（x)＝（a2－1）x在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．|a|>1 B．｜a|<2C．｜a｜<eq\r(2） D．1<｜a｜〈eq\r（2)［答案]D[解析]由題意知，0〈a2－1<1，∴1<a2〈2,∴1〈|a|〈eq\r(2)。2．(文)若指數(shù)函數(shù)y＝ax的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,－1）,則a等于()A.eq\f(1，2）B．2C．3D．10［答案]A［解析］運用原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則函數(shù)y＝ax過點(－1,2），故選A。(理)(2011·山東文,3）若點(a,9）在函數(shù)y＝3x的圖象上，則taneq\f（aπ，6)的值為(）A．0 B.eq\f(\r(3)，3）C．1 D.eq\r（3)[答案］D[解析］由點(a,9）在函數(shù)y＝3x圖象上知3a即a＝2，所以taneq\f(aπ,6)＝taneq\f(π,3)＝eq\r（3）。3．(2012·北京文，5)函數(shù)f（x）＝xeq\s\up15（\f(1,2）)－（eq\f（1，2）)x的零點個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3［答案］B[解析］函數(shù)f(x）＝xeq\s\up15（\f（1,2))－(eq\f(1，2))x的零點個數(shù)即為方程xeq\s\up15(\f(1,2))＝(eq\f(1，2))x的實根個數(shù)，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)y＝xeq\s\up15（\f（1，2))和y＝（eq\f(1，2））x的圖象，易得交點個數(shù)為1個．[點評］本題考查函數(shù)零點問題和指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的圖象．4．(文）在同一平面直角坐標系中,函數(shù)f(x)＝2x＋1與g（x）＝21－x的圖象關(guān)于(）A．原點對稱 B．x軸對稱C．y軸對稱 D．直線y＝x對稱［答案]C［解析］y＝2x＋1的圖象關(guān)于y軸對稱的曲線對應函數(shù)為y＝21－x，故選C.（理)（2011·聊城模擬）若函數(shù)y＝2|1－x｜＋m的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是（)A．m≤－1 B．－1≤m<0C．m≥1 D．0〈m≤1［答案]A[解析]∵|1－x｜∈［0，＋∞）,∴2|1－x｜∈[1，＋∞),欲使函數(shù)y＝2|1－x|＋m的圖象與x軸有公共點，應有m≤－1。5．（文）(2011·浙江省臺州市模擬)若函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x,x<1，,\r（x－1），x≥1，））且f（a）〉1，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．(0,1) B．(2，＋∞）C．（0，1)∪(2,＋∞) D．（1，＋∞)[答案］C[解析］由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a〈1，，2a>1，))得0<a<1,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a≥1，，\r（a－1）〉1,））得a>2,所以實數(shù)a的取值范圍是（0,1）∪(2，＋∞）．(理）函數(shù)y＝|2x－1｜在區(qū)間（k－1，k＋1)內(nèi)不單調(diào)，則k的取值范圍是()A．(－1，＋∞） B．（－∞,1）C．（－1，1） D．(0，2)[答案］C［解析]由于函數(shù)y＝｜2x－1｜在(－∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減,在（0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間（k－1,k＋1)內(nèi)不單調(diào),所以有k－1<0〈k＋1，解得－1<k〈1。6．f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)))xx≥4，，fx＋1x<4。))則f（2＋log23)的值為（）A。eq\f（1,3） B。eq\f(1,6）C.eq\f（1，12) D.eq\f（1,24）［答案］D[解析]∵1<log23〈2,∴3<2＋log23〈4,∴f(2＋log23)＝f（3＋log23)7．（文)(2011·青島模擬）若定義運算a*b＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（aa〈b，,ba≥b，））則函數(shù)f（x）＝3x＊3－x的值域是________．[答案］(0,1］［解析]由a＊b的定義知，f(x）取y＝3x與y＝3－x的值中的較小的，∴0<f(x)≤1.（理）(2011·廣東省汕頭市四校聯(lián)考)如圖所示的算法流程圖中,若f(x）＝2x，g(x)＝x2，則h（3）的值等于________．[答案]9[解析］由程序框圖可知，h(x)的值取f(x)與g（x）的值中較大的，∵f（3）＝23＝8,g(3）＝32＝9,9〉8，∴h（3）＝9。8．若函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（1，x），x〈0，，\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))）x，x≥0。)）則不等式｜f（x)｜≥eq\f(1,3）的解集為________．［答案］［－3,1］[解析］f（x)的圖象如圖．|f（x）|≥eq\f(1,3）?f（x）≥eq\f(1，3)或f（x)≤－eq\f(1，3).∴eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3)）)x≥eq\f(1，3）或eq\f（1，x)≤－eq\f(1，3)∴0≤x≤1或－3≤x〈0，∴解集為｛x｜－3≤x≤1｝．9．定義區(qū)間[x1，x2］的長度為x2－x1，已知函數(shù)f(x)＝3|x｜的定義域為［a，b]，值域為[1，9］，則區(qū)間［a，b]的長度的最大值為______，最小值為______．[答案］42［解析］由3｜x｜＝1得x＝0，由3｜x｜＝9得x＝±2,故f(x)＝3｜x|的值域為［1，9]時，其定義域可以為[0,2］，［－2，0]，[－2,2］及［－2，m],0≤m≤2或［n,2]，－2≤n≤0都可以,故區(qū)間[a，b］的最大長度為4，最小長度為2.10．（文)已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x∈（0，1)時，f(x)＝eq\f（2x,4x＋1).（1）求f（x）在(－1，1）上的解析式;(2）證明:f（x)在（0,1）上是減函數(shù)．［解析］（1）∵f（x)是R上的奇函數(shù),∴f(0）＝0，又當x∈(－1,0）時,－x∈（0,1），∴f(－x)＝eq\f(2－x，4－x＋1）＝eq\f(2x,1＋4x），∵f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝－eq\f(2x，1＋4x），∴f（x)在（－1，1)上的解析式為f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（2x,4x＋1）x∈0,1，,－\f(2x，4x＋1)x∈－1,0，,0x＝0。)）（2）當x∈（0，1）時，f（x)＝eq\f（2x，4x＋1).設(shè)0<x1<x2〈1，則f(x1)－f(x2)＝eq\f（2x1，4x1＋1）－eq\f(2x2,4x2＋1）＝eq\f（2x2－2x12x1＋x2－1，4x1＋14x2＋1)，∵0<x1<x2<1，∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0,∴f(x1)－f(x2)〉0，即f（x1）〉f（x2）,故f（x）在（0,1)上是減函數(shù)．(理）已知f(x）＝eq\f(a,a2－1）（ax－a－x)（a〉0且a≠1)．（1)判斷f（x）的奇偶性;(2）討論f(x）的單調(diào)性；（3）當x∈［－1，1]時，f（x)≥b恒成立，求b的取值范圍．［分析]（1)判斷奇偶性應先求定義域后計算f（－x）,看是否等于f（x)(或－f(x))；（2)可用單調(diào)性定義,也可用導數(shù)判斷f（x)的單調(diào)性；(3）b≤f（x)恒成立，只要b≤f(x)min，由f（x）的單調(diào)性可求f(x)min.［解析］(1）函數(shù)定義域為R,關(guān)于原點對稱．又因為f（－x)＝eq\f（a,a2－1)(a－x－ax)＝－f（x)，所以f(x）為奇函數(shù)．（2）當a〉1時,a2－1〉0,y＝ax為增函數(shù),y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù),所以f（x)為增函數(shù)．當0〈a<1時,a2－1〈0,y＝ax為減函數(shù)，y＝a－x為增函數(shù)，從而y＝ax－a－x為減函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)．故當a>0，且a≠1時,f(x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．（3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù),∴在區(qū)間［－1,1］上為增函數(shù)，∴f(－1）≤f(x)≤f（1），∴f（x）min＝f（－1)＝eq\f(a，a2－1)（a－1－a）＝eq\f（a,a2－1)·eq\f(1－a2,a）＝－1?！嘁筬（x）≥b在[－1,1]上恒成立，則只需b≤－1，故b的取值范圍是(－∞，－1］。能力拓展提升11.（文）(2012·四川文）函數(shù)y＝ax－a(a〉0，且a≠1）的圖象可能是（)［答案]C［解析］根據(jù)函數(shù)y＝ax－a過定點（1,0），排除A、B、D選項，得C項正確．（理)函數(shù)f(x)＝1＋log2x與g（x）＝2－x＋1在同一直角坐標系內(nèi)的圖象大致是()[分析]函數(shù)f(x）＝1＋log2x的圖象可由函數(shù)y＝log2x的圖象變換得到；函數(shù)y＝2－x＋1可由函數(shù)y＝（eq\f(1,2）)x的圖象變換得到．［答案］C[解析］f（x）＝1＋log2x的圖象是由y＝log2x的圖象向上平移一個單位長度得到的;g（x)＝2－x＋1＝(eq\f（1，2））x－1的圖象可由y＝（eq\f(1,2）)x的圖象向右平移一個單位長度得到．［點評]冪、指、對函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考又一主要命題點，解決此類題的關(guān)鍵是熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)，含絕對值的函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象特征分布規(guī)律，相關(guān)性質(zhì),掌握平移伸縮變換和常見的對稱特征，掌握識、畫圖的主要注意事項，學會識圖、用圖．12．(文）（2011·廣州市綜合測試）函數(shù)f（x）＝ex＋e－x(e為自然對數(shù)的底數(shù)）在（0，＋∞)上（)A．有極大值 B．有極小值C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)［答案]C[解析］設(shè)0〈x1<x2，則f（x2)－f（x1)＝ex2＋eq\f（1,ex2)－ex1－eq\f（1，ex1）＝（ex2－ex1)－eq\f（ex2－ex1，ex2ex1）＝(ex2－ex1）（1－eq\f（1,ex2ex1））〉0，所以函數(shù)f（x）＝ex＋e－x(e為自然對數(shù)的底數(shù))在（0，＋∞）上是增函數(shù)．（理）（2011·大連模擬）已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，，ax－6，x>7.))若數(shù)列｛an}滿足an＝f（n）（n∈N＊)，且｛an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是（)A．［eq\f(9,4)，3) B．(eq\f（9,4）,3）C．(2,3） D．(1,3）［答案]C［解析]∵{an｝是遞增數(shù)列,∴f(n)為單調(diào)增函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a〉1，,3－a〉0，,a8－6〉3－a×7－3，)）∴2<a〈3.13．（2011·陜西師大附中一模)設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a）＋eq\f（1，b）＝2，則m＝________.［答案]eq\r（10)[解析]∵2a＝5b＝m∴a＝log2m，b＝log5∴eq\f（1,a)＋eq\f(1，b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f（1,log5m）＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝eq\r(10）.14．(文）（2011·南通六校聯(lián)考）已知a＝eq\f(\r（5)－1，2)，函數(shù)f(x)＝ax,若實數(shù)m、n滿足f(m)〉f（n）,則m、n的大小關(guān)系為________．［答案]m〈n[解析］∵a＝eq\f（\r（5）－1,2)∈(0，1)，∴y＝ax是減函數(shù)，故am〉an?m<n。(理）已知eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f（\r（2),2)））9的展開式的第7項為eq\f(21,4),則x的值為________．［答案]－eq\f(1，3)［解析]T7＝Ceq\o\al(6,9）(2x）3·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2）,2))）6＝eq\f（21，2)×8x＝eq\f（21,4)，∴3x＝－1,∴x＝－eq\f(1，3）.15．(文)（2011·上海吳淞中學月考）已知函數(shù)f(x)＝eq\f（a·2x＋a－2,2x＋1)是奇函數(shù)．（1)求a的值；（2)判斷函數(shù)f(x）的單調(diào)性，并用定義證明；(3）求函數(shù)的值域．［解析］(1)∵f(x)的定義域為R,且為奇函數(shù)．∴f(0）＝0,解得a＝1。(2)由(1）知,f（x)＝eq\f(2x－1,2x＋1）＝1－eq\f(2,2x＋1），∴f(x）為增函數(shù)．證明：任取x1，x2∈R，且x1〈x2。f(x1)－f(x2)＝1－eq\f（2，2x1＋1)－1＋eq\f(2，2x2＋1)＝eq\f（22x1－2x2,2x1＋12x2＋1），∵x1<x2，∴2x1－2x2〈0，且2x1＋1>0,2x2＋1>0.∴f（x1）－f(x2)〈0,即f(x1)〈f（x2)．∴f(x)為R上增函數(shù)．（3）令y＝eq\f(2x－1,2x＋1)，則2x＝eq\f（－1－y，y－1)，∵2x>0,∴eq\f（－1－y,y－1)〉0，∴－1〈y〈1.∴函數(shù)f（x)的值域為（－1,1）．（理)定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M〉0，都有|f（x)|≤M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x）的上界．已知函數(shù)f(x）＝1＋a·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）））x＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，4))）x.（1）當a＝1時，求函數(shù)f(x）在(－∞，0）上的值域,并判斷函數(shù)f（x)在(－∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；(2）若函數(shù)f(x)在［0，＋∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．[解析](1）當a＝1時，f(x）＝1＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）)）x＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，4)）)x.因為f（x)在（－∞，0）上遞減，所以f（x)>f(0)＝3，即f（x)在（－∞，0)上的值域為（3，＋∞）．故不存在常數(shù)M〉0，使|f(x)|≤M成立．所以函數(shù)f(x）在(－∞，0）上不是有界函數(shù)．(2）由題意知，|f(x）｜≤3在［0,＋∞)上恒成立．∴－3≤f(x)≤3，即－4－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,4))）x≤a·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2))）x≤2－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，4）)）x,∴－4·2x－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）x≤a≤2·2x－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)））x在［0,＋∞）上恒成立，設(shè)2x＝t，h（t)＝－4t－eq\f(1,t），p（t)＝2t－eq\f（1，t），由x∈[0，＋∞)得t≥1，設(shè)1≤t1<t2,h(t1)－h(huán)（t2）＝eq\f(t2－t14t1t2－1，t1t2)>0p(t1）－p(t2）＝eq\f(t1－t22t1t2＋1，t1t2)<0所以h(t）在[1，＋∞)上遞減，p(t)在[1，＋∞）上遞增，h（t）在［1，＋∞）上的最大值為h（1)＝－5，p(t)在[1，＋∞）上的最小值為p（1）＝1，所以實數(shù)a的取值范圍為[－5,1]．1．若關(guān)于x的方程｜ax－1｜＝2a(a〉0，a≠1）有兩個不等實根，則aA．(0，1)∪(1,＋∞） B．(0，1)C．（1，＋∞) D．（0,eq\f(1,2))[答案]D[解析]若a>1，如圖(1）為y＝|ax－1|的圖象，與y＝2a顯然沒有兩個交點；當0〈a<1時，如圖(2)，要使y＝2a與y＝｜ax－1|的圖象有兩個交點，應有2a〈1，∴0<a<eq\f(1,2).2．設(shè)函數(shù)f（x）＝｜2x－1|的定義域和值域都是[a，b］（b>a），則a＋b等于(）A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]因為f（x)＝｜2x－1|的值域為[a，b]，所以b>a≥0,而函數(shù)f（x)＝|2x－1｜在[0,＋∞）內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),因此應有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（｜2a－1|＝a，，|2b－1｜＝b，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，)）所以有a＋b＝1，選A。[點評]本題解題的關(guān)鍵在于首先由函數(shù)的值域推出b>a≥0,從而避免了對a、b的各種可能存在情況的討論，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,建立關(guān)于a、b的方程組求解．3．（2011·石家莊一中模擬)若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax（a>0，且a≠1）的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過點（eq\r（a)，a),則f（x）＝()A．log2x B．logeq\s\do10（\f(1,2））xC。eq\f(1,2x) D．x2［答案]B[解析]函數(shù)y＝ax的反函數(shù)是f（x）＝logax，∵其圖象經(jīng)過點（eq\r(a），a)，∴a＝logaeq\r(a)，∴a＝eq\f（1，2)，∴f(x）＝logeq\s\do10(\f（1,2）)x。4．已知所有的點An(n，an)（n∈N*）都在函數(shù)y＝ax(a〉0,a≠1)的圖象上,則a3＋a7與2a5A．a(chǎn)3＋a7〉2aB．a(chǎn)3＋a7〈2aC．a(chǎn)3＋a7＝2aD．a(chǎn)3＋a7與2a5的大小關(guān)系與a［答案]A[解析]因為所有的點An（n,an）(n∈N*)都在函數(shù)y＝ax（a〉0，a≠1）的圖象上，所以有an＝an，故a3＋a7＝a3＋a7，由基本不等式得:a3＋a7>2eq\r（a3·a7)＝2eq\r（a10）＝2a5，∴a3＋a7〉2a5（因為a>0，a≠1,從而基本不等式的等號不成立）,故選A.5．（2011·山東濟南一模)若實數(shù)x，y滿足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，則t＝2x＋2y的取值范圍是()A．0〈t≤2 B．0<t≤4C．2<t≤4 D．t≥4[答案]C［解析］由4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，得(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)．即t2－2·2x＋y＝2t，t2－2t＝2·2x＋y.又由2x＋2y≥2eq\r(2x＋y），得2x＋y≤eq\f（1,4)(2x＋2y)2,即2x＋y≤eq\f（1,4)t2。所以0〈t2－2t≤eq\f（1，2）t2.解得2〈t≤4.6．已知函數(shù)f（x）＝eq\b