《分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理》 名師獲獎(jiǎng)

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，可以有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種方法，…，在第n類(lèi)辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝_________________種方法(也稱(chēng)加法原理)．m1＋m2＋…＋mn2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事情需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法，那么，完成這件事情共有N＝_________________種方法(也稱(chēng)乘法原理)．m1×m2×…×mnBC辨明兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一區(qū)別二每類(lèi)辦法都能獨(dú)立完成這件事．它是獨(dú)立的、一次的且每次得到的是最后的結(jié)果，只需一種方法就完成每一步得到的只是其中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步都不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事各類(lèi)辦法之間是互斥的,并列的,獨(dú)立的各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù),也不能遺漏C4．書(shū)架的第1層放有4本不同的語(yǔ)文書(shū)，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，第3層放有6本不同的體育書(shū)．從書(shū)架上任取1本書(shū)，不同的取法數(shù)為_(kāi)_______，從第1，2，3層分別各取1本書(shū)，不同的取法數(shù)為_(kāi)_______．解析：由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，從書(shū)架上任取1本不同的取法總數(shù)為4＋5＋6＝15.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1，2，3層分別各取1本不同的取法總數(shù)為4×5×6＝120.15120考點(diǎn)一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用(高頻考點(diǎn))考點(diǎn)一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理

(2015·深圳市調(diào)研考試)我們把各位數(shù)字之和為

6的

四位數(shù)稱(chēng)為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有(

)A．18個(gè)

B．15個(gè)C．12個(gè)

D．9個(gè)[解析]依題意，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4、0、0組成3個(gè)數(shù)分別為400、040、004；由3、1、0組成6個(gè)數(shù)分別為310、301、130、103、013、031；由2、2、0組成3個(gè)數(shù)分別為220、202、022；由2、1、1組成3個(gè)數(shù)分別為211、121、112.共計(jì)：3＋6＋3＋3＝15(個(gè))．B解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，m＞n，以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，分為四類(lèi)：第一類(lèi)：m＝5時(shí)，使m＞n，n有4種選擇；第二類(lèi)：m＝4時(shí)，使m＞n，n有3種選擇；第三類(lèi)：m＝3時(shí)，使m＞n，n有2種選擇；第四類(lèi)：m＝2時(shí)，使m＞n，n有1種選擇．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，符合條件的橢圓共有10個(gè)．10考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理366[解析]

(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種確定方法；第二步確定b的值，也有6種確定方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6＝36.(2)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第一步確定a，由于a<0，所以有3種確定方法；第二步確定b，由于b>0，所以有2種確定方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2＝6.[規(guī)律方法]

(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．(2)將完成這件事劃分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵．從計(jì)數(shù)上來(lái)看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù)．2.從－1，0，1，2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(gè)(用數(shù)字作答)．解析：一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有二次函數(shù)3×3×2＝18個(gè)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知偶函數(shù)共有3×2＝6個(gè)．186考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用(高頻考點(diǎn))兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在高考中一般是聯(lián)合在一起出題，經(jīng)常是先分類(lèi)再分步，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．高考對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的考查主要有以下三個(gè)命題角度：(1)與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題；(2)涂色問(wèn)題；(3)方程解的個(gè)數(shù)．(1)(2015·浙江省名校聯(lián)考)如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6,那么稱(chēng)a為“好數(shù)”(如：6,24，2013等均為“好數(shù)”),將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3，…,若an＝2013，則n＝(

)A．50

B．51C．52

D．53(2)如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D4塊區(qū)域分開(kāi)，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則涂色方法共有________種(用數(shù)字作答).B480[解析]

(1)本題可以把數(shù)歸為“四位數(shù)”(含0006等)，因此比2013小的“好數(shù)”為0×××，1×××，2004，共三類(lèi)數(shù)，其中第一類(lèi)可分為：00××，01××，…，0600，共7類(lèi)，共有7＋6＋…＋2＋1＝28(個(gè))數(shù)；第二類(lèi)可分為10××，11××，…，1500，共6類(lèi)，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(個(gè))數(shù)，故2013為第51個(gè)數(shù)，故n＝51.(2)從A開(kāi)始涂色，A有6種涂色方法，B有5種涂色方法，C有4種涂色方法，D有4種涂色方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6×5×4×4＝480種涂色方法．[規(guī)律方法]與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理有關(guān)問(wèn)題的解題策略：(1)與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題．可分類(lèi)解決，每類(lèi)中又可分步完成；也可以直接分步解決；(2)涂色問(wèn)題．可按顏色的種類(lèi)分類(lèi)完成；也可以按不同的區(qū)域分步完成．3.(1)將一個(gè)四面體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色，要求共端點(diǎn)的棱不能涂相同顏色，則不同的涂色方案有(

)A．1種 B．3種C．6種 D．9種(2)(2015·河北高陽(yáng)中學(xué)月考)已知ax2－b＝0是關(guān)于x的一元二次方程，其中a，b∈{1，2，3，4}，則解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．C11考題溯源——利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解數(shù)字問(wèn)題[解析]由分步乘法計(jì)數(shù)原理知：用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個(gè)數(shù)為9×10×10＝900，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900－648＝252.BC2．用1，2，…，