不等關系與不等式

不等關系與不等式第1頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月主要內容3.比較代數(shù)式大小的方法2.不等式的性質及其證明4.不等式的應用實例1.不等關系第2頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月1.不等關系第3頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察最低限速60km最低限速50km/hv50km/h最高限速120km小汽車限速范圍60kmv120km/h第4頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月問題1

設點A與平面M的距離為d，B為平面M上的任意一點，則d|AB|AMBd第5頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月問題2

某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入不低于20萬元呢？分析：若雜志的定價為x元，則銷售的總收入為萬元.那么不等關系“銷售的總收入不低于20萬元”可以表示為不等式第6頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月問題3

某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？

分析：假設截得500mm鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.由題意，應有以下的不等關系：（1）截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；（2）600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍；（3）截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負.第7頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

要同時滿足上述三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示：第8頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月2.不等式的性質及其證明第9頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

事實上，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的.在數(shù)軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大．

譬如圖中，設點A表示實數(shù)a，點B表示實數(shù)b,點A在點B右邊，那么a＞b．BAab回憶兩個實數(shù)的大小是如何確定的？第10頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

從上面的性質可知，要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們研究不等關系的一個出發(fā)點.基本事實作差比較法第11頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月1.不等式的性質性質1如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b證明：由于a>b,可得a-b>0所以-（a-b）<0即b-a<0所以b<a.同理可證得：如果b<a,那么a>b說明：此性質可稱為不等式的自反性第12頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月性質2如果a>b,b>c,那么a>c.證明：由于a>b,得a-b>0；又b>c，得b-c>0;所以a-c=(a-b)+(b-c)>0即a-c>0所以a>c.說明：此性質可稱為不等式的傳遞性。第13頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月性質3如果a>b,那么a+c>b+c證明：由于a>b,得a-b>0；所以（a+c）-（b+c）=a-b>0即(a+c)-(b+c)>0所以a+c>b+c.說明：此性質可稱為不等式的加法性質也叫平移性，即不等式的兩邊同時加上同一個常數(shù)，不等號的方向不變.第14頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月性質4如果a>b,c>0,那么ac>bc;證明：由于a>b,得a-b>0；ac-bc=c(a-b)>0所以ac>bc.說明：此性質可稱為不等式的乘法性質，也叫伸縮性：即不等式的兩邊同時乘上同一個正數(shù)，不等號方向不變，不等式的兩邊同時乘上同一個負數(shù)，不等號的方向改變.如果a>b,c<0,那么ac<bc.當c>0時ac-bc=c(a-b)<0所以ac<bc.當c<0時第15頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月性質5如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;證明：由于a>b,得a-b>0又c>d,得c-d>0；說明：此性質可稱為不等式的疊加性：兩個同向不等式相加，所得不等式與原不等式同向.所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)>0所以a+c<b+d.第16頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月性質6如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;證明：由于a>b,得a-b>0,又c>d,得c-d>0ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+d(a-b)說明：此性質可稱為不等式的疊乘性：兩邊都是正數(shù)的同向不等式相乘，所得不等式與原不等式同向.所以ac-bd>0即ac>bd.由題意知a>0,d>0,且c-d>0,a-b>0第17頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月性質7如果a>b>0,那么an>bn(nN,n2);證明：由于a>b>0,根據性質6，自乘得；aa>bb即a2>b2.說明：此性質可稱為不等式的乘方的性質：當不等式的兩邊都是正數(shù)時，不等式兩邊同時乘方所得的不等式和原不等式同向.繼續(xù)用性質6，可得a3>b3.顯然a2>b2>0,繼續(xù)下去可得an>bn(nN,n2);第18頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月性質8如果a>b>0,那么(nN,n2);證明：用反證法證明，假設結論不成立則；說明：此性質可稱為不等式的開方的性質：當不等式的兩邊都是正數(shù)時，不等式兩邊同時開方所得的不等式和原不等式同向.則得a=b，與已知a>b矛盾若若

則由性質7,兩邊n次冪得a<b，所以假設不成立，原結論成立(nN,n2).與已知a>b矛盾.第19頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月證明命題的方法簡介

在數(shù)學學科中，根據是否由論據直接過渡到論題，我們把證明命題的方法分為直接證明和間接證明.

直接證明就是由論據按照推理規(guī)則直接推出論題的證明.其特點是：從論題出發(fā)，為論題的真實性直接提供證明理由.直接證明是最常見的證明方法.

間接證明就是通過確定其他命題的虛假來確定論題真實性的證明，就是說，用這種證明方法證明的論題不是由論據按照推理規(guī)則直接推得，而是通過間接的方法得到證明的.間接證明分為反證法和選言證法.第20頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

直接證明是相對于間接證明說的，綜合法和分析法是兩種常見的直接證明.

綜合法:

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法（或順推證法、由因導果法）.

分析法:

一般地，從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫做分析法.

第21頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得.法國數(shù)學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”.具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明.反證法簡介第22頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”.即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應用反證法證明的主要三步是：否定結論→推導出矛盾→結論成立.反證法的證題模式第23頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月反證法證明命題的一般步驟：第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立.第24頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；

如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種反證法又叫“窮舉法”歸謬法和窮舉法反證法的類型第25頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

在數(shù)學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇碇v，反證法常用來證明的題型有：2.具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆.1.命題的結論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結論更明顯.

反證法的適用范圍第26頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月不等式的常見證明方法直接證法

1）比較法（作差、或作商）

2）綜合法

3）分析法

4）其它換元法、放縮法等2.間接證法反證法第27頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.如果a>b>0,c<0,求證證明：由已知a>b>0,得a-b>0,ab>0,又c<0,所以第28頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月練習1寫出a>b與同時成立的充要條件解答：ab<0一方面，若ab<0,則另一方面能同時成立第29頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例2已知a>0，b>0，求證：a3+b3≥a2b+ab2即a3+b3≥a2b+ab2.證明一：比較法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)∵a>0，b>0，∴(a-b)2(a+b)≥0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,∴a+b>0，而(a-b)2≥0.=(a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)第30頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月故a3+b3≥a2b+ab2.證明二：比較法（作商）∵a2+b2≥2ab，∴又a>0，b>0，所以ab>0，第31頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月所以有a3+b3≥a2b+ab2.證明三：分析法欲證a3+b3≥a2b+ab2，只需證明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).由于a>0，b>0，所以a+b>0，故只要證明a2+b2-ab≥ab即可。即證明a2+b2≥2ab.而a2+b2≥2ab顯然是成立的第32頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月即a3+b3≥a2b+ab2.證明四：綜合法∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2-ab≥ab.又∵a>0，b>0，∴a+b>0，故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).第33頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3.比較代數(shù)式大小的方法第34頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.比較與的大?。?/p>

分析：此題屬于兩個代數(shù)式比較大小，可以作差，判斷差值正負，從而得出兩個代數(shù)式的大小.當時，，所以當時，，所以2.比較代數(shù)式大小的方法第35頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.已知，比較與的大?。猓鹤鞑畋容^因為a0，所以-a2<0第36頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月解：所以

比較與的大?。毩?第37頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月1).如果a＜b＜0，則下列不等式中不成立的是（）（A）＞

（B）＞（C）｜a｜＞｜b｜（D）a2＞b22).a、b是任意實數(shù)，且a＞b，則（）（A）a2＞b2

（B）

（C）lg（a-b）＞0（D）＜BD練習3第38頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3.a、b、c、d是任意實數(shù)，且a＞b，c＞d，則下列結論正確的是（）（A）a+c＞b+d（B）a-c＞b-d

（C）ac＞bd（D）A第39頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月4.不等式的應用實例第40頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

例5.