通信系統(tǒng)的計算機模擬第六講

通信系統(tǒng)的計算機模擬第六講1第1頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第五講回顧帶通信號低通仿真模型復(fù)包絡(luò)：頻域，同相和正交分量的譜能量與功率隨機帶通信號的正交模型隨機復(fù)包絡(luò)信號的若干結(jié)論信噪比與系統(tǒng)的低通仿真模型線性時不變系統(tǒng)多載波信號非線性與時變系統(tǒng)2第2頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章濾波器模型與仿真方法濾波器是組成通信系統(tǒng)的許多子系統(tǒng)中的重要部分這些濾波器中的許多是模擬的，為了便于仿真，必須將它們映射為合適的等價數(shù)字濾波器近似并且都會在仿真結(jié)果中引入誤差根據(jù)定義，濾波器具有頻率選擇性，并且具有有限時間沖激響應(yīng)或者無限時間沖激響應(yīng)。由于濾波器具有頻率選擇性，它們引入了記憶???，而由于這種記憶，需要濾波器過去的輸入和/或輸出來計算給定時刻的濾波器輸出。因此，濾波器需要存儲，而存儲和恢復(fù)采樣值會大大地增加仿真程序的計算量，反過來，這又增加了仿真程序的運行時間，因此，我們尋求較好的仿真結(jié)構(gòu)以獲得減少計算量的算法。不是濾波器設(shè)計3第3頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1概述數(shù)字濾波器的經(jīng)典綜合方法通常都是基于模擬濾波器原型之上的仿真模型所要求的數(shù)字濾波器的設(shè)計，從模擬濾波器的S（拉普拉斯）域傳遞函數(shù)著手，來尋求等價的數(shù)字濾波器，等價于模擬原型的數(shù)字濾波器?；痉椒ㄊ腔跁r域判據(jù)或頻域判據(jù)來衡量其等價性。通過要求數(shù)字濾波器的輸出與作為設(shè)計基礎(chǔ)的模擬原型的采樣輸出相匹配，來運用時域判據(jù)進行濾波器的設(shè)計。“沖激不變法”是使數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)與模擬原型的沖激響應(yīng)的采樣相匹配的一種設(shè)計方法對于階躍不變數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)則與對應(yīng)的模擬原型濾波器階躍響應(yīng)的采樣相匹配。模擬原型和得到的數(shù)字濾波器在時域上是等價的，它們在頻域上也近似等價。（采樣頻率混疊）4第4頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月雙線性z變換最常用方法：雙線性z變換：模擬原型（雙線性z變換）數(shù)字等價模型它允許對頻率響應(yīng)上的點進行匹配，使得模擬原型和所得數(shù)字濾波器在某些指定頻率值上具有相同的頻率響應(yīng)（包括幅度和相位）。雙線性變換法以引入非線性頻率畸變（Warping）為代價消除了混疊誤差。5第5頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月IIRandFIR基于模擬原型的綜合方法給出無限時間沖激響應(yīng)（infinite-durationimpulseresponse,IIR）數(shù)字濾波器。原因：模擬濾波器的沖激響應(yīng)會漸近趨于零，嚴(yán)格地講，這種沖激響應(yīng)在持續(xù)時間上是無限長的。為獲得用于仿真程序的有限時間沖激響應(yīng)（finite-durationimpulseresponse,FIR）數(shù)字濾波器，由標(biāo)準(zhǔn)IIR設(shè)計方法所產(chǎn)生的沖激響應(yīng)可能需要截短（truncate）。通過在FIR濾波器的沖激響應(yīng)中包含足夠多的項數(shù)，由截短引起的誤差可以降低到一個允許的水平下。6第6頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月Pure數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器的一個重要特性是，在沒有對應(yīng)的模擬濾波器時也可設(shè)計數(shù)字濾波器。允許近似給定的幅度響應(yīng)，但要保持一個完全線性的相位響應(yīng)，這種濾波器為FIR濾波器，可通過橫向延時線（TransversalDelayLine,TDL）結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。這種濾波器有多種設(shè)計方法，最基本的方法是將以采樣頻率為周期的期望幅度響應(yīng)展開成為傅里葉級數(shù)，所得傅里葉級數(shù)的系數(shù)就確定了數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)。這是頻率采樣的一個例子——因為在各頻率點上對期望頻率響應(yīng)進行“采樣”，對這些頻率采樣點進行傅里葉反變換（IFFT）之后，就獲得了濾波器的沖激響應(yīng)。將濾波器的輸入信號與沖激響應(yīng)進行卷積運算，實現(xiàn)了仿真濾波器模型并且獲得了濾波器的輸出信號。7第7頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)字濾波器分類8第8頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

5.2IIR與FIR濾波器數(shù)字濾波器通常根據(jù)沖激響應(yīng)的持續(xù)時間分為IIR濾波器和FIR濾波器。和沖激響應(yīng)分類緊密聯(lián)系的是濾波器的實現(xiàn)或結(jié)構(gòu)。9第9頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2.1IIR濾波器數(shù)字濾波器：計算過去的N個輸出采樣點y[n-k](1kN）、當(dāng)前的輸入采樣點x[n]，以及過去的N個輸入采樣點x[n-k]](1kN)的加權(quán)和作為當(dāng)前的輸出采樣點。任何權(quán)值ak或bk(k0)具有非零值，處理器就會有記憶，因而具有頻率選擇性，我們稱之為“濾波器”。在時變系統(tǒng)中，其中的一個或多個權(quán)值還會是序數(shù)n的函數(shù)。對（5-1）式兩邊進行Z變換，可以得到傳遞函數(shù)H（z）。記住z變換是一種線性運算，和的z變換等于z變換的和，k個采樣周期的延時等價于乘以因子z-k。（5-1）10第10頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月由上式得傳遞函數(shù)為此即線性時不變?yōu)V波器的傳遞函數(shù)的一般形式（5-2）（5-3）11第11頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月濾波器的沖激響應(yīng)以及頻率響應(yīng)沖激響應(yīng)（記為h[n]）是傳遞函數(shù)H（z）的逆變換，用exp(j2πfT)替代傳遞函數(shù)中的變量，就可得頻率響應(yīng)。數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)記作h[n]，只要令x（n)=δ(n)就可得到它。

（5-4）（5-5）12第12頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月WhyIIR由于式（5-1）的遞歸性(y[n]是y[n-1]的函數(shù)），沖激響應(yīng)通常是無限長的，IIR濾波器。沖激響應(yīng)h[n]是序數(shù)n的離散函數(shù)，而頻率響應(yīng)是連續(xù)變量f的連續(xù)函數(shù)。13第13頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

5.2.2FIR濾波器對于k≥1有ak=0,則得到FIR濾波器。FIR數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)如下：其對應(yīng)的沖激響應(yīng)下如：僅在取值范圍0≤n≤N內(nèi)，沖激響應(yīng)具有非零值，最多有個N+1非零項，它是有限長的。（5-6）（5-7）（5-8）14第14頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2.3綜合與仿真在仿真程序中使用濾波器涉及兩種截然不同的運算操作綜合：給定了濾波要求，并確定了滿足這些要求的濾波器的傳遞函數(shù)H（z），這就建立了仿真模型。綜合運算所得結(jié)果通常表示成兩個向量：一個包含分母系數(shù)，另一個則包含分子系數(shù)。這兩個向量定義了傳遞函數(shù)式，以及給定濾波器的輸入產(chǎn)生濾波器輸出的算法。即使采用復(fù)數(shù)算法，綜合操作的計算量通常也不大，因為濾波器的綜合運算只進行一次，因而發(fā)生在仿真程序主循環(huán)的外部。第二種運算操作涉及在每一個仿真時間步，計算濾波器的輸出。這種運算在蒙特卡羅仿真程序中要重復(fù)進行數(shù)百萬次，甚至數(shù)十億次，如果想在合理的仿真運行時間內(nèi)完成，要盡可能地減小這種運算的計算量。15第15頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3IRR與FIR濾波器的實現(xiàn)Target:最小化計算量仿真時間短5.3.1直接II型與轉(zhuǎn)置直接II型的實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的一種有效方法是采用轉(zhuǎn)置直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。轉(zhuǎn)置直接Ⅱ型濾波器結(jié)構(gòu)的信號流圖，及推導(dǎo)出這種結(jié)構(gòu)的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)的信號流圖。16第16頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月17第17頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月產(chǎn)生轉(zhuǎn)置直接Ⅱ型濾波器的規(guī)則1．重畫原有（直接Ⅱ型）信號流圖，保持結(jié)構(gòu)（所有鏈路的相對位置不變）。2．將每次鏈路中的信號流反向。3．對新鏈路賦上與原有鏈路相同的運算（乘以一個常數(shù)、時延等）。4．如有需要，翻轉(zhuǎn)（從左到右）新構(gòu)造的信號流圖，使得輸入/輸出信號流的方向與原始信號流圖一致（注：信號流的方向通常是從左向右）。新獲得的信號流圖叫做轉(zhuǎn)置直接Ⅱ型（DFⅡ）結(jié)構(gòu)，其傳遞函數(shù)與原始信號流圖相同。18第18頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月轉(zhuǎn)置直接Ⅱ型的優(yōu)勢5-2所示的四階轉(zhuǎn)置直接Ⅱ型濾波器。（可以很方便地擴展到高階濾波器）。給定輸入采樣，要計算輸出信號第一步，計算狀態(tài)變量。對于四階濾波器，在我們的公式中有五個狀態(tài)變量。這五個狀態(tài)變量的計算式如下：（5-9）（5-10）（5-11）（5-12）（5-13）19第19頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月直接對應(yīng)著Matlab程序20第20頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月x和y分別代表濾波器的當(dāng)前輸入和當(dāng)前輸出。式（5-9）到式（5-13）采樣步長的延時，不需要存儲和恢復(fù)這是MATLAB子程序filter要基于轉(zhuǎn)置直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)的原因。在首次進入仿真循環(huán)之前必須進行初始化，輸出一個瞬態(tài)響應(yīng)。這段時間通常稱為“穩(wěn)定時間”，其大小為濾波器帶寬倒數(shù)的若干倍。21第21頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣形式數(shù)字濾波器的狀態(tài)方程通常使用矩陣形式來表達W[n]和W[n-1]是的k×1的列向量，分別表示當(dāng)前及過去的狀態(tài)變量。Fc和Fd是k×k的系數(shù)矩陣，B是k×1的列向量，用來將輸入x[n]耦合到狀態(tài)變量。單輸出信號y[n]的輸出方程為：這里C是一個的1×k行向量（5-14）（5-15）22第22頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月(5-16)23第23頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月可算圖在主對角線及其上方元素全部為零，具有這種屬性的信號流圖稱為“可算圖”：狀態(tài)變量可以依次計算出來可算的充要條件：每一個閉合回路中的路徑上至少含有一個延時單元，即z－1。24第24頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月Maltab生成對于大量不同的模擬原型，可以輕易算出濾波器系數(shù)ak和bk。盡管生成的這些濾波器系數(shù)通常會用MATLAB子程序filter，但是使用下列三行簡單的MATLAB程序，就可以逐個采樣點地仿真IIR濾波器。25第25頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月Maltab生成其中a和b在仿真循環(huán)外確定參數(shù)sreg代表長度為order+1的移位寄存器，其中order是濾波器階數(shù)?？墒褂肕ATLAB濾波器綜合子程序，如butter（巴特沃思濾波器）、cheby1（切比雪夫1型濾波器）及elliptic（橢圓濾波器），來計算濾波器系數(shù)向量a和b。必須小心以確保存放分子系數(shù)和分母系數(shù)的向量保持相同的長度，如果這兩個向量長度不相等，較短的向量應(yīng)該進行補零，使之與較長向量的長度相等。26第26頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例5-1來確定一個四階巴特沃思濾波器的沖激響應(yīng)。n=40; %numberofsamplesorder=4; %filterorder[b,a]=butter(order,0.1??); %prototype%Thefollowingprogramsegmentistheblockprocessingimplementation.in1=[1,zeros(1,n-1)]; %inputvectorout1=filter(b,a,in1); %outputvector%Thefollowingprogramsegmentisthesample-by-sampleimplementation.sreg=zeros(1,order+1); %initializeshiftregisterfork=1:nifk==1in=1; %impulseinputelsein=0;end27第27頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月out=b(1)*in+sreg(1,1); %determineoutputsreg=in*b-out*a+sreg; %updateregistersreg=[sreg(1,2:(order+1)),0]; %shiftout2(k)=out; %createoutputvectorendsubplot(2,1,1)index=0:n-1;stem(index,out1)xlabel('SampleIndex')ylabel('BlockProcessing')subplot(2,1,2)stem(index,out2)xlabel('SampleIndex')ylabel('SerialProcessing')28第28頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月Result29第29頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

5.3.2FIR濾波器的實現(xiàn)令ak＝0，可從圖5-2直接得出FIR數(shù)字濾波器的實現(xiàn)策略。抽頭延時線或橫向延時線（TDL）結(jié)構(gòu)，它們用帶抽的延時線（級聯(lián)式單元z－1）來實現(xiàn)，其中的抽頭乘上了權(quán)值。30第30頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

5.4IIR濾波器：綜合方法與濾波器特性

引言：無限時間沖激響應(yīng)（IIR）濾波器通常根據(jù)模擬原型（巴特沃思、切比雪夫、橢圓等）來進行設(shè)計，并采用遞歸結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。除射頻端以外，DSP物理硬件的濾波器已經(jīng)是數(shù)字形式的了，模擬原型為起點的數(shù)字濾波器綜合的經(jīng)典方法，就變得不太重要。根據(jù)模擬原型設(shè)計仍是基本和簡單方法31第31頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

5.4.1沖激不變?yōu)V波器假設(shè)數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)，除了幅度比例有差別外，等于模擬濾波器沖激響應(yīng)的采樣該濾波器稱為模擬濾波器的沖激不變實現(xiàn)。濾波器的傳遞函數(shù)表示L－1拉普拉斯反變換，Z表示z變換，Ha(s)表示模擬原型的傳遞函數(shù)，T表示采樣周期，同時還是幅度比例系數(shù)。（5-17）32第32頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月一階低通濾波器，其直流增益(f=0)為1。例5-2由式（5-17），首先對進行拉普拉斯反變換，由此得到如下沖激響應(yīng)：（5-17）（5-18）u(t)為單位階躍函數(shù)，表示所得的濾波器是因果的。進行z變換之前，對沖激響應(yīng)在采樣時刻進行采樣。例子33第33頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月z變換為進行求和并乘上采樣周期得：的沖激不變等價(5-22)34第34頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.2階躍不變?yōu)V波器階躍不變?yōu)V波器常用于仿真系統(tǒng)中階躍不變?yōu)V波器:數(shù)字濾波器的單位階躍響應(yīng)等價于模擬濾波器階躍響應(yīng)的采樣。模擬濾波器階躍響應(yīng)的頻域表示為Ha(s)/s，其階躍不變?yōu)V波器的傳遞函數(shù)如下：(5-23)35第35頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月階躍不變?yōu)V波器左邊是傳遞函數(shù)為H(z)的數(shù)字濾波器對采樣后的單位階躍信號的響應(yīng)，右邊表示原型模擬濾波器單位階躍響應(yīng)采樣的z變換。再次采用（5-18）式作為模擬原型。這個模擬原型的階躍響應(yīng)如下：使用部分分式展開可得(5-23)(5-24)(5-25)36第36頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月取拉普拉斯反變換，并在t=nT處采樣得再進行z變換得階躍不變數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為(5-26)(5-27)(5-28)OR(5-29)37第37頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月Result將上式寫成式（5-3）定義的標(biāo)準(zhǔn)形式有(5-30)38第38頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

5.4.3雙線性z變換濾波器引言雙線性z變換濾波器可能是仿真程序中使用最普遍的濾波器了采用雙線性變換方法的數(shù)字濾波器綜合很直觀并且完全是代數(shù)形式的雙線性變換不會表現(xiàn)出混疊現(xiàn)象。???39第39頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月雙線性z變換濾波器－

綜合方法簡單的代數(shù)變換，將模擬原型Ha（s)映射為一個數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)定義為C為常數(shù)，因為Ha（s)通常定義為的多項式之比，（5-31）定義的代數(shù)映射剛好給出的合適形式，即的z-1多項式之比。具有理想的屬性，why？exp(sdT)來替換雙線性z變換中的變量z，sd是數(shù)字濾波器的復(fù)頻域變量：（5-31）（5-32）40第40頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月雙線性z變換濾波器－

綜合方法cont1用j2πfa替換s,j2πfd替換sd（5-33）得到數(shù)字濾波器和模擬原型的關(guān)系調(diào)節(jié)C值使得對任意采樣頻率都有fa＝fd的方法稱為預(yù)畸變（5-35）（5-34）或者41第41頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月雙線性z變換濾波器－

綜合方法cont2fa

，fd顯然是非線性關(guān)系，余切函數(shù)期望：模擬數(shù)字傳遞函數(shù)的形狀保持不變盡可能線性，幅度相位不變x0,

近似線性變換要求fs是采樣頻率.滿足的近似線性關(guān)系所需C值。（5-35）線性關(guān)系要求（5-36）如要求fa

＝fd（5-37）42第42頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例5-4為了說明雙線性變換綜合方法，我們再次使用（5-18）定義的簡單一階模擬原型。標(biāo)準(zhǔn)形式（5-18）（5-40）（5-39）（5-41）43第43頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例5-5這個例子將對前面三個例子中設(shè)計的三種濾波器的響應(yīng)進行比較。假設(shè)采樣頻率為100Hz（Ts＝0.01s），參數(shù)為a=2π×10，從而使模擬濾波器的3dB頻率為10Hz。沖激不變?yōu)V波器的傳遞函數(shù)為階躍不變?yōu)V波器的傳遞函數(shù)為

（5-45）（5-43）（5-42）（5-44）44第44頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月Howabout雙線性z變換第一種如果不采用頻率預(yù)畸變，那么模擬、數(shù)字在低頻段非常吻合將C、a的值代入（5-48）（5-47）（5-46）45第45頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月Howabout雙線性z變換第二種設(shè)選擇C值，使得頻率響應(yīng)在模擬濾波器的3dB頻率處相匹配（5-51）（5-50）（5-49）（5-48）46第46頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月三個數(shù)字濾波器比較%T=0.01;f=0:0.1:50;z=exp(-i*2*pi*f*T);%see(5.4)a0=0.239057;a1=0.239057;b1=0.521886;%bilinearinvariantnum=a0+a1*z;den=1-b1*z;ampx=abs(num./den);a0=0.628319;b1=0.533488; %impulseinvariantnum=a0;den=1-b1*z;ampy=abs(num./den);a0=1.0;a1=0.533488;b1=0.533488; %stepinvriant num=(a0-a1)*z;den=1-b1*z;ampz=abs(num./den);plot(f,ampx,f,ampy,f,ampz)xlabel('Frequency-Hz')ylabel('AmplitudeResponse')47第47頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月Result單位增益零點48第48頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例5－6前面的例子為非常簡單的一階原型，ak,bk可以不用計算機確定考慮一個五階橢圓濾波器，具有1dB通帶波紋（PassbandRipple）和一個最小20dB的阻帶衰減。也可以用前面的方法做，分析方法比較復(fù)雜也可以采用Matlab的綜合工具49第49頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月fs=100; %setsamplingfrequencyfc=20; %setcuttofffrequencyf=0:0.1:50; %definefrequencyvector[b,a]=ellip(5,1,20,2*pi*fc,'s'); %synthesizeellipticfilterh=freqs(b,a,2*pi*f); %amp.resp.ofanalogfilter[bz1,az1]=impinvar(b,a,fs);%impulseinvariantdigitalfilterh1=freqz(bz1,az1,f,fs); %amplituderesponseofabove[bz2,az2]=bilinear(b,a,fs); %bilinearzfilter(notprewarped)h2=freqz(bz2,az2,f,fs); %amplituderesponseofabove[bz3,az3]=bilinear(b,a,fs,fc); %bilinearzfilter(prewarped)h3=freqz(bz3,az3,f,fs); %amplituderesponseofabovesubplot(21