廣東省廣州市象圣中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理測試題含解析

廣東省廣州市象圣中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，，且滿足．若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，，，平面四邊形OACB面積的最大值是（

）．A. B. C.3 D.參考答案：A由，化為sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，∴sin（A+B）=sinA，∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）．∴C=A，又b=c，∴△ABC是等邊三角形，設(shè)該三角形的邊長為a，則：a2=12+22﹣2×2×cosθ．則SOACB=×1×2sinθ+a2=sinθ+（12+22﹣2×2cosθ）=2sin（θ﹣）+，當(dāng)θ=時(shí)，SOACB取得最大值．故選：B．點(diǎn)睛：四邊形的面積往往轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積之和，從而所求問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的有界性問題，結(jié)合條件易得結(jié)果.2.已知實(shí)數(shù)a1，a2，a3，a4，a5構(gòu)成等比數(shù)列，其中a1＝2，a5＝32，則公比q的值為A.2

B.－2

C.2或－2

D.4

參考答案：C3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，，則（）A.77 B.88 C.154 D.176參考答案：A【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可計(jì)算得到，由計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由得：

本題正確選項(xiàng)：A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)和等差中項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.對(duì)任意等比數(shù)列,下列說法一定正確的是（

）成等比數(shù)列

成等比數(shù)列成等比數(shù)列

成等比數(shù)列參考答案：D5.在平面直角坐標(biāo)系中，若集合表示圓，則的取值集合是______________。參考答案：6.已知x∈[0，1]，則函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)的值域．【分析】根據(jù)冪函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法可知該函數(shù)是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可以求得函數(shù)的值域．【解答】解：∵函數(shù)y=在[0，1]單調(diào)遞增（冪函數(shù)的單調(diào)性），y=﹣在[0，1]單調(diào)遞增，（復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，同增異減）∴函數(shù)y=﹣在[0，1]單調(diào)遞增，∴≤y≤，函數(shù)的值域?yàn)閇，]．故選C．7.下列函數(shù)中，在其定義域既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A．y=|x| B．y=﹣x3 C．y=（）x D．y=參考答案：B【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)奇函數(shù)和減函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：對(duì)于A：y=f（x）=|x|，則f（﹣x）=|﹣x|=|x|是偶函數(shù)．對(duì)于B：y=f（x）=﹣x3，則f（﹣x）=x3=﹣f（x）是奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，是減函數(shù)．對(duì)于C：，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，是減函數(shù)．不是奇函數(shù)．對(duì)于D：定義為（﹣∞，0）∪（0，+∞），在其定義域內(nèi)不連續(xù)，承載斷點(diǎn)，∴在（﹣∞，0）和在（0，+∞）是減函數(shù)．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)之奇函數(shù)和減函數(shù)的定義的運(yùn)用．比較基礎(chǔ)．8.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A9.直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是()．A．3x＋2y－1＝0

B．2x－3y＋5＝0C．3x＋2y＋7＝0

D．2x－3y＋8＝0參考答案：A10.（5分）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩不同點(diǎn)P、Q滿足條件：①P、Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)[P，Q]是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（注：點(diǎn)對(duì)[P，Q]與[Q，P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”）．已知函數(shù)f（x）=，則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有（）對(duì)． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3參考答案：B考點(diǎn)： 函數(shù)的圖象；分段函數(shù)的應(yīng)用．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)題意可知只須作出函數(shù)（x＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，確定它與函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．解答： 由題意得：函數(shù)f（x）=“友好點(diǎn)對(duì)”的對(duì)數(shù)，等于函數(shù)（x＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，與函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)（x＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，與函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象如下圖所示：由圖象可知，兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．故選B點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，分段函數(shù)，新定義，其中將“友好點(diǎn)對(duì)”的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用3種不同的顏色給右圖中的3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，則3個(gè)矩形中有且僅有兩個(gè)矩形顏色相同的概率是

▲

．參考答案：12.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3，4)，則cosa的值為

．參考答案：略13.已知變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為

．參考答案：11【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】先畫出線性約束條件表示的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義，最后利用數(shù)形結(jié)合即可得目標(biāo)函數(shù)的最值．【解答】解：畫出可行域如圖陰影部分，由得C（3，2）目標(biāo)函數(shù)z=3x+y可看做斜率為﹣3的動(dòng)直線，其縱截距越大z越大，由圖數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)動(dòng)直線過點(diǎn)C時(shí)，z最大=3×3+2=11故答案為：11【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線性規(guī)劃，以及二元一次不等式組表示平面區(qū)域的知識(shí)，數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題14.設(shè)0≤θ＜2π時(shí)，已知兩個(gè)向量，則的最大值為．參考答案：3略15.

已知函數(shù)

，若，則

．參考答案：-4或516.若圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有兩點(diǎn)到直線2x＋y＋c＝0(c＞0)的距離等于1，則c的取值范圍為________．參考答案：17.在200m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別為和（塔底與山底在同一水平面上），則塔高約是（

．精確到1m）參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知實(shí)數(shù)x的取值范圍為[0，10]，給出如圖所示程序框圖，輸入一個(gè)數(shù)x．（1）請寫出程序框圖所表示的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)x∈N時(shí)，求輸出的y（y＜5）的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；程序框圖．【分析】（1）先根據(jù)程序框圖的條件結(jié)構(gòu)，算法的流程根據(jù)條件是否成立而選擇不同的流向，注意判斷框內(nèi)的條件，寫出函數(shù)表達(dá)式；（2）確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可求出概率．【解答】解：（1）由已知可得，程序框圖所表示的函數(shù)表達(dá)式是．（2）當(dāng)y＜5時(shí)，若輸出y=x+1（0≤x≤7），此時(shí)輸出的結(jié)果滿足x+1＜5，所以0≤x＜4，又因?yàn)閤∈N，所以x取0，1，2，3時(shí)滿足條件；若輸出y=x﹣1（7＜x≤10），此時(shí)輸出的結(jié)果滿足x﹣1＜5，所以0≤x＜6，不滿足條件．所以輸出的y（y＜5）時(shí)，x的取值是0，1，2，3，而x的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則使得輸出的y（y＜5）的概率為．19.如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點(diǎn)為O，E為側(cè)棱SC上一點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時(shí)，求證：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ）（理科）當(dāng)二面角E﹣BD﹣C的大小為45°時(shí)，試判斷點(diǎn)E在SC上的位置，并說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】（I）做出輔助線，連接OE，由條件可得SA∥OE．根據(jù)因?yàn)镾A?平面BDE，OE?平面BDE，得到SA∥平面BDE．（II）建立坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出要用的向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的向量垂直，寫出一個(gè)法向量，根據(jù)兩個(gè)法向量垂直證明兩個(gè)平面垂直．（III）本題是一個(gè)一個(gè)二面角為條件，寫出點(diǎn)的位置，做法同求兩個(gè)平面的夾角一樣，設(shè)出求出法向量，根據(jù)兩個(gè)向量的夾角得到點(diǎn)要滿足的條件，求出點(diǎn)的位置．【解答】解：（Ⅰ）證明：連接OE，由條件可得SA∥OE．因?yàn)镾A?平面BDE，OE?平面BDE，所以SA∥平面BDE．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)四棱錐S﹣ABCD的底面邊長為2，則O（0，0，0），S（0，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣，0）．所以=（﹣20，0），=（0，，0）．設(shè)CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°．所以E（﹣+a，0，a），=（﹣+，﹣，）．設(shè)平面BDE法向量為n=（x，y，z），則即令z=1，得n=（，0，1）．易知=（0，，0）是平面SAC的法向量．因?yàn)閚?=（，0，1）?（0，﹣，0）=0，所以n⊥，所以平面BDE⊥平面SAC．（Ⅲ）設(shè)CE=a（0＜a＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量為n=（，0，1）．因?yàn)镾O⊥底面ABCD，所以=（0，0，）是平面BDC的一個(gè)法向量．由已知二面角E﹣BD﹣C的大小為45°．所以|cos（，n）|=cos45°=，所以，解得a=1．所以點(diǎn)E是SC的中點(diǎn)．20.已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的值．參考答案：見解析若，則或，即或，解得或或，當(dāng)時(shí)此時(shí)，集合不成立，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不滿足，故．21.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，（1）求證：BC⊥平面PAC；（2）若M是PC的中點(diǎn)，求三棱錐M﹣ACD的體積．參考答案：【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出BC⊥AC，BC⊥PA，由此能證明BC⊥平面PAC．（2）求出三角形ADC面積，由M是PC的中點(diǎn)，得M到平面ACD的距離h=，由此能求出三棱錐M﹣ACD的體積．【解答】證明：（1）∵四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABC