2023年高考數(shù)學強基計劃模擬試卷含答案（八）

2023年高考數(shù)學強基計劃模擬題(八)

(滿分100分，測試時間：60分鐘)

一、填空題(每小題10分)

1.函數(shù)y=高與y=sinx的圖像共有個交點.

2.設71是正整數(shù)，方程|x|+|川W71共有組整數(shù)解(x,y).

3.己知映射/:{123,4,5}-{123,4,5}既是單射又是滿射，并且滿足/(x)+/(/(x))=6,

則f(1)=.

4.函數(shù)/'(%)=V2x2—2x+1—72x2+2%+5的取值范圍是.

5.設^ABC是等邊三角形,AD=|近,AE=-g而,直線BD交CE于點F,都=xAB+

yAC>則x+y=.

6.設正四棱錐P-4BCO的底面邊長和高都是1,點E,F,G分別在線段PB,PC,P。上，

則ME|+\EF\+|FG|+|G-的最小值是____.

二、解答題(每小題20分)

7.對于任意的。,求32cos6?！猚os60—6cos4?！?5cos2。的值.

8求滿足下列要求的無窮整數(shù)數(shù)列{斯}的個數(shù)，對于每個正整數(shù)n滿足即#-1,a“+2=

.+2020

*1+1?

答案

1.【答案】63

解：作出草圖，因為317T<100,32n?>100,所以交點個數(shù)為63.

2.【答案】2n2+2葭+1

解：1*1+|y|+|z|=n,非負解的個數(shù)為鬣+2

①團=0,\y\=0,1種x1；

②|x|=0,\y\H0,n種x2;

③|x|■0,\y\=0,n種x2;

④|x|*0)|y|*0,C?+2—2n—1種X4.

2

最終共有1+nx2+nx2+4(^+2-2n-1)=2n+2n+1種.

3.【答案】5

解：設/'(X。)=m,則m+f(m)=6,f(m)=6—m.令x=m,則f(m)+f(6—m)=6,

關于(3,3)對稱,所以/(I)=5.

41答案”一2,

解：y=&小x—扔+:J(x+今2+勺,4(x,0),B(另)，C(一：,|).

利用幾何意義，丫=或(|48|-|AC|),根據兩邊之差小于第三邊，又注意到4,B,C三點共

線時可以取到-2,故

/⑸=一軌-4=4t

V2x2-2X+1+j2N+2x+5V2t2+6t+54-V2t2+2t+5

令t=-(x+1),考慮t>0的情況，顯然t->+8時，原式最大值為VL

5.【答案】￡

解：以A為原點建系，設出BC坐標，易得x+y=￡.

6.【答案】V6

E1

二

如圖所示，因為|P4|=\PB\=\PC\=\PD\=y,

2

所以cos4DPC=cos乙BPC=cos乙APB=cosZ,APD=

設|PF|=x,將4-PB-C打開，cos乙4PF=-",

所以(|4E|+|EF|)min=\AF\=.+會+|.

因為久>0,所以上式單調遞增，在x=0時最小，

故尸點在P點時最小，從而2仍川=布.

7.【答案】解法1由三倍角公式cos3a=3cos3a—4cosa可得.

設2。=訪利用三倍角公式進行化簡，再利用三角函數(shù)的其他公式化簡，可得

32cos6。—cos60—6cos48—15cos2。=10.

解法2(復數(shù)法)設z=cos。+isin。，:=cos。一isin。，則有

ii

Z4--=2COS0,(z+-)6=26cos6。.

因為

1111111

(Z+-)6=z6+C扛5勺)+C2Z4(_)2+C3Z3(_)3+^2(_)4+。濾勺)5+.)6

11

=z6+6z4+15z2+20++6y+()

=z6+(1)6+6,4+(i)4]+15[z2+(|)2]+20,

由z，+(i)6=2cos6。，6[z4+(i)4]=6x2cos46,15[z2+(^)2]=15x2cos26,

(z+>6=26cos6仇可得26cos6j=2cos66+12cos464-30cos28+20,所以

32cos6。-cos60—6cos4?！?5cos2。=10.

8.【答案】由題意可得滿足給定條件的第一個數(shù)列由前兩項確定，因此只需要求整數(shù)數(shù)對,

滿足所有的其他項均為整數(shù).

由條件易知

=斯+20200(an+2an+1+an+2=an+2020,

71+2Qn+1+1l^n+l^n+an+l=^n-1+2020.

a

兩式相減得(Qn+2一?n)(n+l+1)="n+1一%i-l.

由題意可知0n+1+1工0,故問題有如下兩種情形：

aa

(1)若。3-=0,則由(an+2-口)(Qn+l+1)=n+l-Qn-1可得=。3=。5=…，2=

a

a4=6=

(2)若則Qn+2-QnW。，故

1

0<1即+2-Ml=I4匕等1Wl?n+l-?n-ll(n>2).①

即+1+1

所以可得|。3-%l21a4-a2l>a_a3|>…，即|an+2-anl是一個不增正整數(shù)數(shù)列，

故必從某一項開始為正整數(shù)常數(shù).所以存在N和d,對于所有的九＞N,|%+2-an|=d,由式

①得1即+1+1|=1，故即￡{0,-2}?

由定義，QN+4=端等'從而a…的值有如下情形:

0+2020

=2020,

0+1

0+2020

=-2020,

-2+1

-2+2020

-0+1-=2018,

-2+2020

=-2018,

-2+1

與ON+4€{0,-2}矛盾，故(2)不合題意，只有(1)滿足條件.

2

將n=