解一元二次方程課件-

21.2解一元二次方程21.2.1配方法知識點一知識點二知識點一利用平方根的定義解一元二次方程

一般地,對于方程x2=p,(1)當p>0時,根據(jù)平方根的意義,方程x2=p有兩個不相等的實數(shù)根,x1=,x2=-;(2)當p=0時,根據(jù)平方根的意義,方程x2=p有兩個相等的實數(shù)根,x1=x2=0;(3)當p<0時,因為對任意實數(shù)x,都有x2≥0,所以方程x2=p無實根.知識點一知識點二名師解讀:利用平方根的定義解一元二次方程的方法也叫做直接開平方法,適合解一邊是關(guān)于某個未知數(shù)的完全平方式,另一邊是非負數(shù)的形式的一元二次方程.具體步驟如下:(1)將方程化為x2=a(a≥0)或(ax+b)2=c(c≥0)的形式;(2)兩邊開平方,得知識點一知識點二例1

用直接開平方法解下列方程:(1)x2-9=0;(2)4(x-2)2-3=0;(3)x2-6x+9=7;(4)(x-2)2=(2x+5)2.分析:(1)先變形得到x2=27,然后利用直接開平方法求解;(2)先變形得到(x-2)2=,然后利用直接開平方法求解;(3)先變形得到(x-3)2=7,然后利用直接開平方法求解;(4)先兩邊開方得到x-2=±(2x+5),然后解一元一次方程即可.知識點一知識點二知識點一知識點二(1)用直接開平方法求一元二次方程的解的類型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同號且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同號且a≠0).法則:先把方程化為“左平方,右常數(shù)”,再開平方取正負,分開求得方程解.(2)運用整體思想,可把被開方數(shù)看成整體.知識點一知識點二知識點二用配方法解一元二次方程通過配成完全平方的形式來解一元二次方程的方法,叫做配方法.名師解讀:配方法就是通過配方,使一元二次方程轉(zhuǎn)化為可以用直接開平方法求解的形式,最終實現(xiàn)了“降次”的目的,這種方法“原則”上適用于任何形式的一元二次方程求解.一般步驟如下:(1)將方程化成一般形式并把二次項系數(shù)化成1.(方程兩邊都除以二次項系數(shù))(2)移項,使方程左邊只含有二次項和一次項,右邊為常數(shù).(3)配方,方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.知識點一知識點二(4)原方程變?yōu)?x+n)2=p的形式:①當p>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根②當p=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=-n;③當p<0時,因為對任意實數(shù)x,都有(x+n)2≥0,所以方程無實根.知識點一知識點二知識點一知識點二對于二次項系數(shù)為“1”的一元二次方程的配方,只需要利用等式的基本性質(zhì),左右兩邊都加上一次項系數(shù)一半(與系數(shù)的符號無關(guān))的平方即可.

知識點一知識點二例3

用配方法解方程:x2+x-20=0.分析:因為題目要求用配方法解一元二次方程,故按照配方法的一般步驟進行即可.解:∵x2+x-20=0,∴x2+x=20.知識點一知識點二選擇用配方法解一元二次方程時,最好使方程的二次項的系數(shù)為1.

知識點一知識點二例4

用配方法解方程:2x2-4x=1.分析:題目要求利用配方法解一元二次方程,觀察發(fā)現(xiàn)方程的二次項的系數(shù)不為1,因此先把二次項系數(shù)化成1,然后方程左右兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方,把左邊配成完全平方式,右邊化為常數(shù)即可.知識點一知識點二用配方法解一元二次方程,當二次項系數(shù)不為“1”時,先化成“1”,然后按照二次項系數(shù)為“1”的方法進行即可.

拓展點一拓展點二拓展點一特殊配方巧解一元二次方程例1

解方程4x2-4x-1=0.分析:方法一:按照常規(guī)的配方法去解;方法二:按照常規(guī)的配方法去解,但是不需要先把二次項系數(shù)化成1,觀察等號的左邊二次項的系數(shù)是一個完全平方數(shù),只要在方程的左右兩邊同時加上2,左端即變成一個完全平方式,右端是一個非負數(shù),就可以直接平開方求出方程的解.拓展點一拓展點二拓展點一拓展點二此種解法告訴我們配方法可以靈活運用,當左邊二次項系數(shù)為一個數(shù)的完全平方時,可以不必將二次項系數(shù)化成1,只要按照方法二的解法進行即可.

拓展點一拓展點二拓展點二利用配方法判定二次三項式的符號例2

用配方法證明:不論x為任何實數(shù),代數(shù)式x2-6x+10的值恒大于0.分析:本題主要考查利用配方法說明代數(shù)式的值恒大于0,說明一個二次三項式恒大于0的方法是通過配方將二次三項式化成“a2+正數(shù)”的形式,根據(jù)完全平方的非負性來證明.拓展點一拓展點二證明:x2-6x+10=x2-6x+9-9+10=(x-3)2+1,又∵(x-3)2≥0,∴(x-3)2+1>0,即x2-6x+10>0.∴不論x為任何實數(shù),代數(shù)式x2-6x+10的值恒大于0.拓展點一拓展點二要說明一個式子恒大于0,只要把這個式子表示成“a2+正數(shù)”的形式即可;若要說明一個式子恒小于0,只要把這個式子表示成“-a2-正數(shù)”即可.

21.2.2公式法知識點一知識點二知識點一一元二次方程的判別式

一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判別式,通常用希臘字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.(1)當Δ>0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根;(2)當Δ=0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根;(3)當Δ<0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數(shù)根.知識點一知識點二拓展講解:(1)判別式Δ=b2-4ac與一元二次方程根的情況的關(guān)系是相互的,即:①b2-4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根;②b2-4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根;③b2-4ac<0?方程無實數(shù)根.(2)特別地:①一元二次方程有實根指的是有兩個不等實根和兩個相等實根,即此時應(yīng)有b2-4ac≥0;②一元二次方程沒有實數(shù)根時,不能說成無解,因為方程無解,只是在實數(shù)范圍內(nèi)無解.知識點一知識點二例1

(2015·長春)方程x2-2x+3=0的根的情況是(

)A.有兩個相等的實數(shù)根B.只有一個實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根解析:把a=1,b=-2,c=3代入Δ=b2-4ac進行計算,然后根據(jù)計算結(jié)果判斷方程根的情況.∵a=1,b=-2,c=3,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0.∴方程沒有實數(shù)根.答案:C知識點一知識點二解答這類判斷一元二次方程根的情況的問題,只要計算出判別式Δ=b2-4ac的值,根據(jù)判別式的符號即可確定.

知識點一知識點二知識點二公式法當Δ≥0時,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數(shù)根可寫為

的形式,這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表達了一般的用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的結(jié)果.解一個具體的一元二次方程時,把各項系數(shù)直接代入求根公式,可以避免配方過程而直接得出根,這種解一元二次方程的方法叫做公式法.知識點一知識點二拓展講解:用公式法解一元二次方程的步驟是:(1)把一元二次方程化為一般形式;(2)確定a,b,c的值;(3)求出b2-4ac的值;(4)如果b2-4ac≥0,則把a,b,c的值代入求根公式,求出x1和x2的值,如果b2-4ac<0,則方程無實數(shù)根;當b2-4ac=0時,必須把原方程的根寫成

的形式,這樣才能說明方程有兩個相等的實數(shù)根,而不是只有一個根.知識點一知識點二例2

用公式法解下列方程.(1)x2-x=-2;(2)x2-2x=2x+1;(3)(3x-1)(x+2)=11x-4.分析:把各方程整理為一般形式,找出a,b,c的值,代入求根公式即可求出解.知識點一知識點二知識點一知識點二利用公式法可以解任何形式的一元二次方程,被稱為“萬能法”,但是使用時,一定要先把一元二次方程化成一般形式,同時注意各項系數(shù)的符號,而且要先計算b2-4ac的值,確定了根的情況后才能套用公式.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一靈活地選擇方法解一元二次方程例1

選擇適當?shù)姆椒ń夥匠?(1)(x-1)2=3;(2)x2-2x=4;(3)x2-3x+1=0.分析:(1)因為方程的左邊是完全平方形式,右邊是正整數(shù),所以利用直接開平方法求解;(2)由于方程的左邊二次項的系數(shù)為1,并且一次項系數(shù)是偶數(shù),所以利用配方法求解較好;(3)雖然方程的左邊二次項的系數(shù)為1,但是一次項系數(shù)是奇數(shù),如果用配方法會出現(xiàn)分數(shù),所以利用公式法解方程.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三在一元二次方程的解法中,公式法和配方法可以說是“通法”,即能解任何一個一元二次方程.但對某些特殊形式的一元二次方程,有的用直接開平方法簡便.因此,在遇到一道題時,應(yīng)根據(jù)題目自身的特點靈活地選擇適當?shù)姆椒ㄈソ庖辉畏匠?

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二根據(jù)根的判別式確定字母的值或取值范圍例2

m為何值時,關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2-(2m-3)x=-m-1:(1)有兩個不相等的實數(shù)根?(2)有兩個相等的實數(shù)根?(3)沒有實數(shù)根?分析:回答各個問題,只要根據(jù)方程的根的情況,確定判別式Δ=b2-4ac的取值,列出相應(yīng)的方程或不等式,解相應(yīng)的方程或不等式即可確定字母m的值或取值范圍.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題的一般方法是根據(jù)方程根的情況列出關(guān)于未知字母的方程或不等式,通過解方程或不等式來求字母的值或確定字母的取值范圍.

拓展點一拓展點二拓展點三例3

已知關(guān)于x的方程(k-1)x2-6x+9=0.(1)若方程有實數(shù)根,求k的取值范圍;(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根,求k的取值范圍;(3)若方程有兩個相等的實數(shù)根,求k的值,并求此方程的根.分析:由于題目中沒有指出所給方程是一元二次方程,所以需要分類討論解答:(1)若k=1,方程為一元一次方程,有解,滿足題意;當k不等于1時,方程為一元二次方程,得到根的判別式大于等于0,且二次項系數(shù)不為0,列出不等式,求出不等式的解集即可得到k的范圍;(2)方程有兩個不相等的實數(shù)根,得到k-1不為0,且根的判別式大于0,即可得到k的范圍;(3)方程有兩個相等的實數(shù)根,得到k-1不為0,且根的判別式等于0,即可得到k的值.拓展點一拓展點二拓展點三解:(1)若k=1,方程為一元一次方程,有解,滿足題意;若k≠1,方程為一元二次方程,∵方程有實數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k≥0,解得k≤2且k≠1.綜上,k的范圍為k≤2.(2)∵方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k>0,且k-1≠0,解得k<2且k≠1.(3)∵方程有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k=0,且k-1≠0,解得k=2.∴原方程為x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題時,注意觀察題目是否說明所給方程是一元二次方程,如果沒有,要分類討論解答.如果指出所給方程是一元二次方程,一般根據(jù)題目所給出的根的情況列出方程或不等式,通過解方程或解不等式求出結(jié)果.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三與判別式有關(guān)的綜合題例4

已知關(guān)于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求證:無論k取何值,它總有實數(shù)根;(2)若等腰三角形一邊a=3,另兩邊為方程的根,求k的值及三角形的周長.分析:(1)計算方程的根的判別式,若Δ=b2-4ac≥0,則方程有實數(shù)根;(2)已知a=3,則a可能是底,也可能是腰,分兩種情況求得b,c的值后,再求出△ABC的周長.注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進行檢驗.拓展點一拓展點二拓展點三解:(1)證明:∵Δ=[-(k+2)]2-4×2k=(k-2)2≥0,∴無論k取何值,它總有實數(shù)根.(2)當a=3是等腰三角形的底時,則Δ=0,即(k-2)2=0,解得k=2,則方程為x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,此時等腰三角形的周長為2+2+3=7;當a=3是等腰三角形的腰時,則a=3是方程的一個根,將x=3代入x2-(k+2)x+2k=0,得k=3,此時方程變?yōu)閤2-5x+6=0,解方程得x1=2,x2=3,所以等腰三角形的底為2,周長為3+3+2=8.拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,首先根據(jù)根的判別式確定字母的取值范圍,同時注意結(jié)合等腰三角形的相關(guān)概念及三角形的三邊關(guān)系分類討論解答.

21.2.3因式分解法知識點知識點因式分解法先因式分解,使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.名師解讀:(1)用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是:①將方程的右邊化為零;②將方程的左邊分解為兩個關(guān)于未知數(shù)的一次因式的積;③令每個因式分別為零,得到兩個一元一次方程;④解這兩個一元一次方程,得出它們的解,它們的解就是原一元二次方程的解.(2)因式分解法也適合于一元“高次”(次數(shù)大于2的)方程的求解.如:解方程x(x-1)(x-2)=0.知識點例1

方程x2-5x+6=0的兩個根是(

)A.-1,-6 B.2,3 C.-2,-3 D.1,6解析:觀察方程的特點,可以用配方法和公式法求解,但是發(fā)現(xiàn)方程的右端為0,而左端能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab進行分解,表示成兩個一次式的乘積,因此可以使用因式分解法求解.∵x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,∴x-2=0或x-3=0,∴x1=2,x2=3.答案:B知識點因式分解法解一元二次方程的理論根據(jù)是如果兩個因式的積等于零,那么,這兩個因式至少要有一個等于零.它是解一元二次方程最常用的方法.一般來說,能用因式分解法求解的一元二次方程應(yīng)盡量用因式分解法,這種方法快速、方便,準確率高,當使用因式分解法比較困難時,再考慮運用公式法等.

知識點例2

解方程:(1)x(x+3)=7(x+3);(2)x2+5x-6=0.分析:(1)方程變形后,提取公因式可化為積的形式,然后利用“兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個為0”轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解;(2)方程左邊能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab進行因式分解.知識點解:(1)方程變形得x(x+3)-7(x+3)=0,分解因式得(x+3)(x-7)=0,解得x1=-3;x2=7.(2)x2+5x-6=0,因式分解得(x-1)(x+6)=0,解得x1=1;x2=-6.知識點利用因式分解法解一元二次方程時,先考慮提公因式法,再考慮公式法,只要能把方程的右邊化為0,左邊變成兩個一次式的乘積即可.同時特別注意方程兩邊不能同除以含有未知數(shù)的式子(有可能為零).

拓展點一拓展點二拓展點一靈活地選擇方法解一元二次方程例1

解方程:3x(x-1)=1-x.分析:觀察方程,方程右邊的“1-x”如果移到方程左邊,則變?yōu)椤皒-1”,此時有公因式“x-1”可提,因此,易采用因式分解法.解:移項,得3x(x-1)+(x-1)=0,因式分解,得(x-1)(3x+1)=0,∴x-1=0或3x+1=0,∴x1=1,拓展點一拓展點二當一元二次方程的一邊為0,另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,或方程的各項中有含有未知數(shù)的一次式的公因式時,應(yīng)選用因式分解法求解.由于因式分解法是把一個一元二次方程化為兩個一元一次方程,它充分體現(xiàn)“降次”在解題中的作用.

拓展點一拓展點二例2

方程(x+3)2=25的根是(

)A.5,-5 B.2,-2 C.8,2 D.-8,2解析:觀察原方程,方程的左邊是(x+3)的完全平方式,右邊是一個非零常數(shù)25,宜選用直接開平方法.兩邊開平方,得x+3=±5,∴x=±5-3,∴x1=-8,x2=2.答案:D拓展點一拓展點二形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程,一般適宜用直接開平方法求解.

拓展點一拓展點二例3

解方程:x2-2x-11=0.分析:本題若用因式分解法或直接開平方法都有一定的困難,但仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)是“1”,一次項系數(shù)是偶數(shù),可選用配方法求解.解:移項,得x2-2x=11,方程兩邊都加上12(一次項系數(shù)一半的平方),得x2-2x+1=11+1,即(x-1)2=12,拓展點一拓展點二配方法適合于解任何一元二次方程,特別適合于一次項系數(shù)的絕對值是二次項系數(shù)的絕對值的2倍的方程.

拓展點一拓展點二例4

解方程:4x2-6x-3=0.分析:本題的各項系數(shù)沒有什么明顯的特點,利用上述三種方法解都比較麻煩,所以考慮使用公式法求解.解:∵a=4,b=-6,c=-3,b2-4ac=(-6)2-4×4×(-3)=84,拓展點一拓展點二

當所求解的一元二次方程沒有明顯的簡便解法時,就選擇公式法,公式法適用于求解任何一元二次方程.

綜上所述,因式分解法和直接開平方法雖然簡便,但并非所有的方程都可使用;配方法適用于任何一個一元二次方程,但過程比較麻煩;而公式法是在配方法的基礎(chǔ)上,利用其導出的求根公式直接求解,比配方法簡單得多,但又不如直接開平方法和因式分解法快捷.所以解一元二次方程時,要注意方法的選擇,可參考如下原則:

拓展點一拓展點二(1)當一元二次方程的左邊為完全平方式,右邊為非負數(shù)或者左右兩邊都是完全平方式時,可利用直接開平方法;

(2)當一個方程的二次項系數(shù)為“1”,一次項系數(shù)為偶數(shù)時,適合用配方法;

(3)當一元二次方程的兩邊有公因式或易于寫成左邊是兩個因式的積,右邊是0的形式時,易采用因式分解法來解;

(4)在上述三種方法都不易求解的情況下,可利用公式法求解.

拓展點一拓展點二拓展點二利用“換元法”解可化為一元二次方程的方程例5

解方程:(x2-3x)2-2(x2-3x)-8=0.解:設(shè)x2-3x=y,則原方程可化為y2-2y-8=0,解得y1=-2,y2=4.當y=-2時,x2-3x=-2,解得x1=2,x2=1;當y=4時,x2-3x=4,解得x3=4,x4=-1.故原方程的根是x1=2,x2=1,x3=4,x4=-1,根據(jù)以上材料,請解方程:(2x2-3x)2+5(2x2-3x)+4=0.分析:通過閱讀可知,根據(jù)整體思想,利用“換元法”能解“可化為一元二次方程的一元高次方程”,此問題中,可以把“(2x2-3x)”看做一個整體,令(2x2-3x)=y,則原方程變?yōu)閥2+5y+4=0,先求得y的值,再進一步可求得原方程的解.拓展點一拓展點二解:設(shè)2x2-3x=y,原方程轉(zhuǎn)化為y2+5y+4=0,解得y1=-4,y2=-1.當y1=-4時,2x2-3x+4=0,此方程無實數(shù)根.拓展點一拓展點二當所給出的方程比較“復(fù)雜”,或者不易直接求解時,可以利用“換元法”求解,利用換元法解方程的基本步驟為:

(1)先選取換元的“基本單元”,將方程換元成“新方程”,注意換元后,僅含有新設(shè)的未知數(shù);

(2)解新方程,得出新未知數(shù)的值;

(3)將新未知數(shù)還原成“基本單元”,即還原成含原未知數(shù)的方程;

(4)解所還原后的幾個方程,得到原方程的解.

*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知識點一知識點二知識點一二次項系數(shù)為“1”的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系由于二次項系數(shù)為“1”的方程可以化簡成x2+px+q=0的形式,所以當方程有兩個根x1,x2時,一定有一次項系數(shù)p=-(x1+x2),常數(shù)項q=x1·x2.名師解讀:由x1+x2=-p,x1·x2=q知,若已知x1,x2,p,q這四個量中的任何兩個,都能確定另外兩個,利用這種關(guān)系可以解答相關(guān)的問題.知識點一知識點二例1

(2015·遵義模擬)如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x1=2,x2=-1,那么p,q的值分別是(

)A.1,-2 B.-1,-2 C.-1,2 D.1,2解析:觀察可以發(fā)現(xiàn),方程的二次項系數(shù)為“1”,所以有p=-[2+(-1)]=-1,q=2×(-1)=-2.答案:B知識點一知識點二解答這類問題,關(guān)鍵是正確掌握二次項系數(shù)為“1”的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,當方程的二次項系數(shù)不為“1”時,不能使用.

知識點一知識點二例2

已知x1,x2是方程x2-5x-2=0的兩個實數(shù)根,則

的值為(

)A.31 B.29 C.25 D.17解析:此題若先解方程求得兩個根,再代入求值,計算量會很大,但是根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,容易求得x1與x2的和與積,如果再把所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)變成用兩根的和與積表示出來的式子,“整體代入”求值則比較方便.∵x1,x2是方程x2-5x-2=0的兩個根,∴x1+x2=5,x1x2=-2.答案:A知識點一知識點二解答這類求代數(shù)式的值的問題,先利用根與系數(shù)的關(guān)系分別求出“x1+x2”和“x1x2”的值,然后把所求值的代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化成含有“x1+x2”和“x1x2”的式子,利用“整體代入”的思想代入求值.

知識點一知識點二

知識點二二次項系數(shù)不是“1”的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為:兩個根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù),兩個根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比.用式子表示為

這個關(guān)系還叫做韋達定理.名師解讀:利用這兩個關(guān)系式可以解答“已知其中的三個量,求另外的兩個量的問題”,還可以解答求代數(shù)式的值的問題.要特別注意等式中的a,b,c所表示的含義.知識點一知識點二知識點一知識點二解答這類問題,先求出方程的解再代入代數(shù)式求值,計算量會很大,一般先把求值的代數(shù)式進行變形,使其變成包含兩根的和與兩根的積的式子,再利用整體代入的方法求值.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一利用韋達定理由方程的根確定原方程例1

已知α,β滿足α+β=5,且αβ=6,則以α,β為兩根的二次項系數(shù)為“1”的一元二次方程是(

)A.x2+5x+6