第1課時(shí) 函數(shù)【新知探究+歸納總結(jié)】 八年級(jí)數(shù)學(xué) 上冊(cè)備課精研（北師大版）

第四章一次函數(shù)第1課時(shí)函數(shù)1.在一個(gè)變化過(guò)程中，我們稱(chēng)數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量.知識(shí)回顧2.判斷一個(gè)量是常量還是變量的方法:

看這個(gè)量在某一變化過(guò)程中的值是否發(fā)生改變（或者說(shuō)是否會(huì)取不同的數(shù)值），若在變化過(guò)程中此量的數(shù)值不變，則此量是常量，若此量可以取不同的數(shù)值，則次量是變量.

B思考1下圖是體檢時(shí)的心電圖，其中圖上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x表示時(shí)間，縱坐標(biāo)y表示心臟部位的生物電流，它們是兩個(gè)變量.在心電圖中，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)嗎？課堂導(dǎo)入思考2下表是我國(guó)人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表，年份與人口可以分別記作兩個(gè)變量x與y，對(duì)于表中的每一個(gè)確定的年份x，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的人口數(shù)y嗎？年份人口數(shù)/億198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71那么，對(duì)于這樣的關(guān)系我們?cè)撛鯓佣x呢？x和y又分別代表什么含義呢？我們發(fā)現(xiàn)：在上述兩個(gè)思考問(wèn)題的變化過(guò)程中，都有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).1.函數(shù)一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù).知識(shí)點(diǎn)01：函數(shù)的概念新知探究2.判斷一個(gè)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系的方法（1）看是否在一個(gè)變化過(guò)程中；（2）看是否存在兩個(gè)變量；（3）看每當(dāng)變量取定一個(gè)值時(shí)，另外一個(gè)變量是否都有唯一確定的值與其相對(duì)應(yīng).三個(gè)條件缺一不可！

4π36π半徑面積跟蹤訓(xùn)練新知探究2.如圖所示，在△ABC中，底邊BC的長(zhǎng)為5，BC邊上的高AD的長(zhǎng)為h，則△ABC的面積S為

.在這一變化過(guò)程中，變量有

，

可以看成是

的函數(shù).ABCD┐

高h(yuǎn)，面積S面積S高h(yuǎn)函數(shù)自變量的取值范圍使函數(shù)關(guān)系式有意義的自變量取值的全體叫做自變量的取值范圍.注意：1.當(dāng)用函數(shù)關(guān)系表示實(shí)際問(wèn)題時(shí)，自變量的取值不僅要使函數(shù)關(guān)系式有意義，還應(yīng)該使實(shí)際問(wèn)題有意義.2.當(dāng)函數(shù)關(guān)系式中有分式、二次根式、零指數(shù)冪等情況時(shí)，自變量的取值范圍一定要滿足每一種情況.知識(shí)點(diǎn)02：函數(shù)自變量的取值范圍新知探究

不同類(lèi)型函數(shù)自變量取值范圍的確定

1.求下列函數(shù)的自變量的取值范圍.

解：（1）函數(shù)式子無(wú)特殊情況，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù).（2）函數(shù)式子含有分母，則分母不能為0，自變量x的取值范圍是x≠0.跟蹤訓(xùn)練新知探究

解：（3）函數(shù)式子含有二次根式，則被開(kāi)方數(shù)≥0，x-4≥0，解得x≥4.（4）函數(shù)式子含有分母和二次根式，則分母不能為0并且被開(kāi)方數(shù)≥0，自變量x的取值范圍是x>-1.2.希望高中今有1000本圖書(shū)借給學(xué)生閱讀，每個(gè)學(xué)生可以借閱5本書(shū)，寫(xiě)出剩余的圖書(shū)本數(shù)y和借閱學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍.分析：每個(gè)學(xué)生可以借書(shū)5本，則x個(gè)學(xué)生可以借書(shū)5x本，根據(jù)剩余圖書(shū)數(shù)量=圖書(shū)的總數(shù)量-借出的圖書(shū)總量,列出函數(shù)關(guān)系式.解：每個(gè)學(xué)生可以借書(shū)5本,則x個(gè)學(xué)生可以借書(shū)5x本.則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=1000-5x.自變量的取值范圍為：0≤x≤200，且x取整數(shù).1.函數(shù)解析式用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描述函數(shù)的常用方法，這種式子叫做函數(shù)的解析式.知識(shí)點(diǎn)03：函數(shù)解析式與函數(shù)值新知探究注意：通常函數(shù)解析式等號(hào)右邊的代數(shù)式中的變量是自變量，等號(hào)左邊的變量是因變量.找認(rèn)真審題，根據(jù)題意找出各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系.根據(jù)數(shù)量關(guān)系寫(xiě)出含有兩個(gè)變量的等式.寫(xiě)變將等式變形為用含自變量的式子表示因變量的形式.確定函數(shù)解析式的步驟2.函數(shù)值對(duì)于自變量x在取值范圍內(nèi)的某個(gè)確定的值a，函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的值為b，即當(dāng)x=a時(shí)，y=b，則b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值.注意：當(dāng)自變量的值確定時(shí)，函數(shù)值是唯一確定的；當(dāng)函數(shù)值確定時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值，就是解方程，對(duì)應(yīng)的自變量的值可以不止一個(gè).(1)寫(xiě)出表示y與x的函數(shù)關(guān)系的式子；解:(1)行駛路程x是自變量，油箱中的油量y是x的函數(shù)，它們的關(guān)系為y=50-0.1x.例

汽車(chē)油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(單位：L)隨行駛路程x(單位：km)的增加而減少，耗油量為0.1L/km.(2)指出自變量x的取值范圍；解:(2)僅從式子y=50-0.1x看，x可以取任意實(shí)數(shù).

但考慮到x代表的實(shí)際意義，因此x不能取負(fù)數(shù).行駛中的耗油量為0.lx，它不能超過(guò)油箱中原有汽油量，即0.lx≤50，因此，自變量x的取值范圍是0≤x≤500.(3)汽車(chē)行駛200km時(shí)，油箱中還有多少汽油？解:(3)汽車(chē)行駛200km時(shí)，油箱中的汽油量是函數(shù)y=50-0.lx在x=200時(shí)的函數(shù)值.將x=200代入y=50-0.1x，得y=50-0.1×200=30.汽車(chē)行駛200km時(shí)，油箱中還有30L汽油.1.拖拉機(jī)開(kāi)始工作時(shí)，油箱中有油36L，如果每小時(shí)耗油4L，那么油箱中剩余油量yL與工作時(shí)間xh之間的函數(shù)解析式是

，自變量x的取值范圍是

，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)值y=

.跟蹤訓(xùn)練新知探究y=36-4x0≤x≤920分析：xh的耗油量為4x，則剩余油量=總油量-已經(jīng)消耗的油量,即y=36-4x.由題意知，0≤36-4x

≤36.當(dāng)x=4時(shí)，y=36-4

×4=20.2.甲乙兩地相距150公里，張三駕駛私家車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，并且以每小時(shí)45公里的速度勻速行駛，t小時(shí)后張三距離乙地s公里，請(qǐng)寫(xiě)出s和t的函數(shù)解析式，并計(jì)算3小時(shí)后，s的值為多少？解：每小時(shí)行駛45公里，t小時(shí)行駛了45t公里.

A.x<4

B.x≥4且x≠-3

C.x>4

D.x≤4且x≠-3

D隨堂練習(xí)2.

油箱中有油50L，油從管道中均勻流出，2.5小時(shí)能夠全部流完.油箱中剩余的油量y與流出時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式是什么？自變量的取值范圍是多少？分析：先求出每小時(shí)流出的油量，再根據(jù)剩余的油量=總油量-流出的油量,列出函數(shù)關(guān)系式.解:50L的油2.5小時(shí)能夠全部流完，則每小時(shí)流出油量為20L,則y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為y=50-20t,自變量為t，取值范圍為0≤t≤2.5①t從0開(kāi)始②最多流2.5小時(shí)分析：根據(jù)等腰三角形的周長(zhǎng)=腰長(zhǎng)+腰長(zhǎng)+底邊長(zhǎng),列出函數(shù)關(guān)系式;自變量是腰長(zhǎng),取值范圍要有實(shí)際意義.3.等腰三角形的周長(zhǎng)為15，底邊長(zhǎng)為y，腰長(zhǎng)為x.（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出x的取值范圍.解：（1）∵三角形的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y.∴三角形的周長(zhǎng)=x+x+y，即15=2x+y，解得y=15-2x.

4.判斷下列變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）（4）符合函數(shù)定義,具有函數(shù)關(guān)系.5.指出下列問(wèn)題中的變量，并寫(xiě)出變量之間的關(guān)系.（1）正方形的面積S與邊長(zhǎng)a之間的變化關(guān)系；（2）圓的周長(zhǎng)C與半徑r之間的變化關(guān)系.（3）高鐵的速度為250km/h，則路程Skm與時(shí)間th之間的變化關(guān)系.

解：變量：C，r；C=2??r.解：變量：S，t；S=250

t.6.判斷下列變量之間的關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系.（1）矩形的長(zhǎng)一定，寬與周長(zhǎng)之間的關(guān)系；（2）圓的面積與半徑之間的關(guān)系.解：是函數(shù)關(guān)系.矩形的長(zhǎng)一定時(shí)，其周長(zhǎng)隨著寬的長(zhǎng)的變化而變化，并且給定的寬的值都有確定的周長(zhǎng)值與之對(duì)應(yīng).解：是函數(shù)關(guān)系.圓的面積隨著半徑長(zhǎng)度的變化而變化，并且給定的半徑的值都有確定的面積值與之對(duì)應(yīng).解：不是函數(shù)關(guān)系.等腰三角形的高不確定，所以面積的變化不由底邊的變化唯一決定.（3）等腰三角形底邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系.7.某火力發(fā)電廠共儲(chǔ)存煤1000噸，每天發(fā)電用煤50噸，設(shè)發(fā)電天數(shù)為x，該發(fā)電廠開(kāi)始發(fā)電后，儲(chǔ)存煤量為y噸.請(qǐng)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍.分析：運(yùn)用等量關(guān)系“儲(chǔ)存煤量=總儲(chǔ)存煤量-用煤量”列函數(shù)解析式.解：由題意知，發(fā)電x天用煤量為50x噸，發(fā)電前共儲(chǔ)存煤1000噸.所以y與x之間的函數(shù)解析式為y=-50x+1000(0≤x≤20).易錯(cuò)警示：對(duì)自變量的的取值范圍考慮不周致錯(cuò)自變量的取值范圍不僅要使所列函數(shù)解析式有意義，還要使實(shí)際問(wèn)題有意義.本題中x表示天數(shù)，其值應(yīng)為非負(fù)數(shù)，由題意可知1000噸煤最多用20天，即x的最大值為20，所以x的取值范圍為0≤x≤20.8.小明帶著100元去超市買(mǎi)汽水，已知一瓶汽水為5元，那么小明剩余的錢(qián)數(shù)y與購(gòu)買(mǎi)汽水的數(shù)量x之間的函數(shù)解析式是什么？自變量的取值范圍是多少？分析：根據(jù)“剩余的錢(qián)數(shù)=總錢(qián)數(shù)-購(gòu)買(mǎi)汽水花費(fèi)的錢(qián)數(shù)”列出函數(shù)解析式.解：一瓶汽水5元，則購(gòu)買(mǎi)x瓶汽水花費(fèi)5x元.函數(shù)解析式為y=100-5x.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題有意義，得自變量x的取值范圍是

0≤x≤20.9.一盒中性筆有10支，價(jià)格為15元.請(qǐng)寫(xiě)出購(gòu)買(mǎi)中性筆支數(shù)x與花費(fèi)的總錢(qián)數(shù)y之間的關(guān)系式.解：根據(jù)題意，得10支中性筆的價(jià)格為15元，則1支中性筆的價(jià)格為1.5元.

函數(shù)概念判斷方法在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其相對(duì)應(yīng).1.看是否在一個(gè)變化過(guò)程中；2.看是否存在兩個(gè)變量；3.看每當(dāng)變量取定一個(gè)值時(shí)，另外一個(gè)變量是否都有唯一確定的值與其相對(duì)應(yīng).課堂小結(jié)函數(shù)自變量的取值范圍概念不同類(lèi)型函數(shù)自變量取值范圍的確定使函數(shù)關(guān)系式有意義的自變量取值的全體叫做自變量的取值范圍.①整式型（全體實(shí)數(shù)）；②分式型（使分母不為0的實(shí)數(shù)）；③根式型（使根號(hào)下的式子的值大于或等于0的實(shí)數(shù)）；④零次型（使冪的底數(shù)不為0的實(shí)數(shù)）課堂小結(jié)解析式函數(shù)值用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描述函數(shù)的常用方法，這種式子叫做函數(shù)的解析式.對(duì)于自變量x在取值范圍內(nèi)的某個(gè)確定的值a，函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的值為b，b即為函數(shù)值.函數(shù)解析式和函數(shù)值課堂小結(jié)1.觀察下表中的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)法正確的是（

）.A.x是y的函數(shù)B.y是x的函數(shù)C.y不是x的函數(shù)D.x是y的函數(shù)，y也是x的函數(shù)x1234567y/元1122333（x表示乘坐公共汽車(chē)的站數(shù)，y表示應(yīng)付的票價(jià).）B解析：對(duì)于每一個(gè)站數(shù)x，都有唯一的票價(jià)y.但是對(duì)于每一個(gè)票價(jià)y，有不同的公共汽車(chē)的站數(shù)x對(duì)應(yīng).拓展提升2.下列關(guān)系式中，b不是a的函數(shù)的是（）.A.b=2a

B.

b=5a

D解析：選項(xiàng)D中，對(duì)于一個(gè)確定的a，不都是有唯一確定的b與之對(duì)應(yīng).3.如圖所示的圖象中,表示y是x的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）.A.1

B.

2

C.3

D.

4B技巧點(diǎn)撥：作輔助線識(shí)別函數(shù)關(guān)系：過(guò)x軸上任意一點(diǎn)作x軸的垂線，若與圖象有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則該圖象不能表示函數(shù)關(guān)系.解析：觀察圖象（1）（2）中，對(duì)于任意一個(gè)x的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以滿足題意；而圖象（3）（4）中，對(duì)可取范圍內(nèi)x的值，

y與之對(duì)應(yīng)的值不都是唯一的，所以不滿足題意.4.下列函數(shù)中，自變量的取值范圍選取錯(cuò)誤的是（）.

D分母不能為零5.某書(shū)定價(jià)30元，如果一次購(gòu)書(shū)20本以上，超出20本的部分打八折，請(qǐng)寫(xiě)出付款金額y（單位：元）與購(gòu)書(shū)數(shù)量x（單位：本）之間的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量的取值范圍.分析：①購(gòu)書(shū)數(shù)量不超過(guò)20本，y=30x.②購(gòu)書(shū)數(shù)量超過(guò)20本，

20本按照30元的單價(jià)，總共需要600元；超過(guò)的數(shù)量為（x-20），超過(guò)部分的單價(jià)為24元，所以總價(jià)格為y=600+24(x-20).6.某書(shū)定價(jià)30元，如果一次購(gòu)書(shū)20本以上，超出20本的部分打八折，請(qǐng)寫(xiě)出付款金額y（單位：元）與購(gòu)書(shū)數(shù)量x（單位：本）之間的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量的取值范圍.易錯(cuò)提醒：此題要分情況討論：①購(gòu)書(shū)數(shù)量不超過(guò)20本；②購(gòu)書(shū)數(shù)量超過(guò)20本.解：30x（0≤x≤20）,600+24（x-20）(x>20