2024年全國高考數(shù)學(xué)試題及解析答案（新課標(biāo)Ⅱ卷）

新課標(biāo)II卷（適用地區(qū)：重慶、海南、遼寧、黑龍江、吉林、云南、山西、貴州、廣西、甘肅、新疆）

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形

碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試卷、

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個

選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知z=T—i,則忖=（）

A.0B.1C.行D.2

2,已知命題0：VxeR,|x+l|>l.命題/3x>0,x3=x,則（）

A.p和g都是真命題B.「夕和q都是真命題

C.p和f都是真命題D.「P和F都是真命題

u=+2M=2（b-2a\Lb同=

3,已知向量a*滿足"??,且',，則門（）

,V2V3

A.2B.2C.2D.1

4.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）

并部分整理下表

[1100,

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1150,1200)

1150)

頻數(shù)612182410

據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

5.已知曲線C：X2+/=16（V>0）,從C上任意一點(diǎn)尸向X軸作垂線段PP,P為垂足，則線段

PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

二+J1n。

>0

A.164（y）B.168（y>o）

y2x2y2x2

c164（J>0）D168（N>°）

6.設(shè)函數(shù)+g（x）=cosx+2ox,當(dāng)時，曲線昨/（幻與N=g（x）恰有一

個交點(diǎn)，則（）

52

7.已知正三棱臺"BO-4AG的體積為3,4B=6,44=2,則4/與平面/Be所成角的正切值

為（）

8,設(shè)函數(shù)〃x）=（x+a）皿x+b）,若/（x）?0,則力+尸的最小值為（

A.8B.4

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

g（x）=sin（2x——）

9,對于函數(shù)/（x）=sm2x和4,下列正確的有（

A.”幻與且。）有相同零點(diǎn)B.“幻與g（x）有相同最大值

C.與g（x）有相同的最小正周期D.”刈與g"）的圖像有相同的對稱軸

10.拋物線C：/=4x的準(zhǔn)線為/,尸為c上的動點(diǎn)，過尸作。么：》2+3-4）2=1的一條切線，。為切

點(diǎn)，過P作/的垂線，垂足為2,則（）

A./與。/相切B.當(dāng)P,/,8三點(diǎn)共線時，?0

C當(dāng)|08]=2時，PALABD,滿足口出=口切的點(diǎn)尸有且僅有2個

11.設(shè)函數(shù)/（"）=2/—3分+1,則（）

A.當(dāng)。＞1時，/（X）有三個零點(diǎn)

B.當(dāng)°＜°時，》=°是"X）的極大值點(diǎn)

C.存在a,b,使得x=b為曲線＞=/（x）的對稱軸

D,存在a,使得點(diǎn)O'/。））為曲線J=/（x）的對稱中心

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.記S”為等差數(shù)列."｝的前〃項(xiàng)和，若%+%=7,3%+%=5,則品=.

13.已知&為第一象限角，,為第三象限角，tana+tan〃=4,tanatan〃=亞+1,則

sin（＜z+〃）=

14.在如圖的4x4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法,

在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是.

II213140

12223342

13223343

15243444

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

記△45。的內(nèi)角N,B,C的對邊分別為a,b,C,已知sinN+百cosN=2.

(1)求

(2)若。=2,?sinC=csin28,求△43C的周長.

16.（15分）

已知函數(shù)〃x）=e*—

（1）當(dāng)。=1時，求曲線J=〃x）在點(diǎn)（1，/。））處的切線方程；

（2）若"X）有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

17.（15分）

如圖，平面四邊形/BCD中，幺8=8,CD=3,AD=5^,

—■2—■

。。AE=-AD

AADC=90,ABAD=30,點(diǎn)總尸滿足5,

AF=LAB廠

2，將沿斯對折至！PE7"使得尸C=4j3.

（1）證明：EFLPD.

（2）求面PCD與面PAF所成的二面角的正弦值.

18.（17分）

某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中

一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入

第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段

的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為各次

投中與否相互獨(dú)立.

（D若0=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率.

（2）假設(shè)°＜”九

（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

（ii）為使得甲、乙，所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

19.（17分）

已知雙曲線C：——「=機(jī)（掰＞°）,點(diǎn)小5'4）在。上，無為常數(shù)，0＜后＜1.按照如下方式依次

構(gòu)造點(diǎn)匕（〃=2,3,…），過々t作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)2-1,令勺為Qm關(guān)于7軸的對稱

點(diǎn),記匕的坐標(biāo)為（％'券）.

（1）若2,求％2，歹2；

\+k

（2）證明：數(shù)列｛“"一以｝是公比為1一%的等比數(shù)列；

（3）設(shè)S”為的面積，證明：對任意的正整數(shù)〃，S"=S,+1.

2024新課標(biāo)II卷數(shù)學(xué)參考答案及解析

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個

選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.【答案】C

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.

【詳解】若2=-1-i,則忖=J（T）+G°.

故選：C

2.【答案】B

【解析】

【分析】對于兩個命題而言，可分別取％=一1、%=1,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.

【詳解】對于°而言，取則有卜+"=°<1,故0是假命題，「夕是真命題，

對于1而言，取％=1,則有x3=F=i=x,故0是真命題，「4是假命題，

綜上，可和1都是真命題.

故選：B.

3.【答案】B

【解析】

【分析】由僅一2"）"得結(jié)合M=1」"+2耳=2,得1+4H+4片=1+6片=4,由

此即可得解.

\b-2a\Lb\b-2a]'b=Q7-置

【詳解】因?yàn)?），所以'），即b=2〃），

\a\=iJtz+2b\=2

又因知???

所以1+4Q?6+4b=1+66=4,

從而

故選：B.

4.【答案】C

【解析】

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)

極差計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于l°50kg,故人錯誤；

對于B,畝產(chǎn)量不低于I10°kg的頻數(shù)為24+10=34,

100-34

=66%

H

所以低于0°kg的稻田占比為100故B錯誤;

對于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故c正確；

對于D,由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在口050/100）的頻數(shù)為100-（6+12+18+24+10）=30,

—X（6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175）=1067

所以平均值為10°,故

D錯誤.

故選；C.

5.【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)用（XJ）,由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得尸（x，2y）,代入圓的方程即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)"（尤/）,則P（x，%），P（x,O）,

因?yàn)椤盀槭?的中點(diǎn)，所以為=2p，即「（無,2P），

又尸在圓1+/=163>0）上,

22

-1

所以X2+4.2j?=y1r6i(y>r\\0),即-1-6--14=1(>>0)

±+匕=l（y>0）

即點(diǎn)加的軌跡方程為164

故選：A

6.【答案】D

【解析】

【分析】解法一：令尸(x)=一+"LG(x)=cosx,分析可知曲線尸尸(x)與kG(x)恰有一

個交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得°=2,并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令

/z(x)=/(x)-g(x),xe(-l,l)；可知〃(％)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知〃(x)的零點(diǎn)只能為

0,即可得?=2,并代入檢驗(yàn)即可.

［詳解］解法一:令/(x)=g(x),即a(x+l)2—l=cosx+2ax,+a-l=cosx,

^F(x)=ax2+tz-l,G(x)=cosx

原題意等價于當(dāng)“e(—LD時，曲線'=/(幻與>=G(X)恰有一個交點(diǎn)，

注意到“(“'G(X)均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在》軸上，

可得“⑼⑼，即"1=1,解得。=2,

若a=2,令E(x)=G(x),可得21+1-cosx=0

因?yàn)閤e(Tl),貝20,1—cosxNO,當(dāng)且僅當(dāng)x=。時，等號成立,

可得ZY+l—cosxNO,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立,

則方程2x2+l-cosx=0有且僅有一個實(shí)根0,即曲線>=砥幻與N=G(x)恰有一個交點(diǎn)，

所以。=2符合題意;

綜上所述：。=2.

令〃(X)=/(X)-g(x)=ax2+a-1-cosx,xe(-1,1)

解法二:

原題意等價于h(“有且僅有一個零點(diǎn)，

因?yàn)榱?-x)=a(一+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=h(x)

則”(x)為偶函數(shù),

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知“X)的零點(diǎn)只能為0,

即人⑼一一2=0,解得”2,

若a=2,則力(%)=2/+1—cosx,xe(—l,l)

又因?yàn)?/20,l_cosx?0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立,

可得"x),0,當(dāng)且僅當(dāng)x=°時，等號成立，

即〃(x)有且僅有一個零點(diǎn)0,所以。=2符合題意；

故選：D.

7.【答案】B

【解析】

「4G

h----

【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高3，做輔助線，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)

…4百

特征求得3，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺“8C-44。補(bǔ)成正

三棱錐尸一4BC,4'與平面N2C所成角即為P4與平面N3C所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得噎血=18,

進(jìn)而可求正三棱錐產(chǎn)―的高，即可得結(jié)果.

【詳解】解法一：分別取8c4G的中點(diǎn)2〃，貝!AD=373,ZQi=V3

['\fi]

用4而=7x6x6x虧=9百,5口型心=；x2x■\/3=VJ

可知222

設(shè)正三棱臺“8C-481G的為〃，

力=迪

^ABC-A^C,=^973+73+7973x73jA=^-

解得3,

如圖，分別過4,作底面垂線，垂足為M，N,設(shè)AM=x,

2

AA{=個AM?+AlM~=Jx+—

則V3,

DN=AD-AM-MN=2s/3-x

2

DDX=JDN+DN=(2百-xV+—

可得Y'，3,

B

+DD2

結(jié)合等腰梯形8cq4可得l2J

八3=(2百—J+%4%=迪

即3'，3,解得3.

C一cAM

tanD4^D=-J—

所以A與A平面/2C所成角的正切值為AM

解法二：將正三棱臺"c-48c補(bǔ)成正三棱錐尸一/BC,

則4'與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，

尸4__1%4B￡=_L

因?yàn)镻AAB3,則VP-ABC27,

可——G27"jBc3,則乙^5,

V_ADC=—dx—x6x6x—=18r~

設(shè)正三棱錐尸—4SC的高為d,則P322，解得d=2j3,

取底面N8C的中心為°,則尸°工底面N8C,且幺°=2百,

tan/PAO=----=1

所以P/與平面/2C所成角的正切值A(chǔ)0.

故選：B.

8.【答案】C

【解析】

【分析】解法一：由題意可知："X)的定義域?yàn)?―分類討論一。與一41一6的大小關(guān)系，

結(jié)合符號分析判斷，即可得6=°+1,代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析M(x+6)的符

號，進(jìn)而可得x+a的符號，即可得6=a+l,代入可得最值.

【詳解】解法一：由題意可知：/⑴的定義域?yàn)?一“十°°),

令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=O解得x=l-6.

若—aW—b,當(dāng)xe(—"J')時，可知x+a〉0/n(x+A)<0,

此時不合題意；

若—當(dāng)xe(一見1一')時，可知x+a〉0/n(x+6)<0,

此時不合題意；

若-a=l-b,當(dāng)xe(一瓦1—3時，可知x+a<0,ln(x+b)<0,此時/(x)〉0；

當(dāng)》式1一8+°°)時，可知x+aN0/n(x+b)20,此時/⑴溝

可知若一0=1-6,符合題意；

若-a〉T—b,當(dāng)xe(l一九—。)時，可知x+a<O/n(x+b)〉0,

此時/(乃<°,不合題意；

綜上所述：_a="b,即b=a+l,

a1+b2=a2+(a+l)2=2^+-^+->-a=--b^-

貝UI2J22,當(dāng)且僅當(dāng)2'2時，等號成立，

j_

所以/+〃的最小值為萬；

解法二：由題意可知：小)的定義域?yàn)?一”十⑹，

令x+a=0解得x=-a；令ln(x+6)=0解得x=l—6；

則當(dāng)xe(-“1-6)時，ln(x+6)<0,故x+aWO,所以1-6+aWO；

》41一4+8)時，ln(x+6)〉0,故x+a?0,所以l—b+aNO；

a2+b2=a2+(a+1)2=1{a+^-\+—>—

故1—b+a=O,則I2)22,

1,1

a=-b="—

當(dāng)且僅當(dāng)2'2時，等號成立，

所以/+〃的最小值為萬.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求x+a=°、1n(x+6)=°的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小

分類討論，結(jié)合符號性分析判斷.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項(xiàng)即可.

【詳解】A選項(xiàng)，令/(x)=sin2x=°,解得2',即為"X)零點(diǎn)，

g(x)=sin(2x--)=0x=—+—,A;eZ

令4,解得28,即為gW零點(diǎn)，

顯然/(x),g(x)零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯誤；

B選項(xiàng)，顯然/(x)max=g(x)max=1,B選項(xiàng)正確；

2兀

——兀

C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，/(x)，g(x)的周期均為2,C選項(xiàng)正確；

c7兀knTi]

2x—kitH—x----1—，左￡Z

D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足224

2x--=ATI+—<4>x=-+—,A;eZ

g(x)的對稱軸滿足4228,

顯然/(x),g(x)圖像的對稱軸不同，D選項(xiàng)錯誤.

故選：BC

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為》=-1,根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，R48三點(diǎn)共線

時，先求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項(xiàng)，根據(jù)盧4=2先算出2的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證腦1

是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，戶"=|尸司，于是問題轉(zhuǎn)化成歸"H比1的P點(diǎn)的存在性問題,

此時考察//的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個數(shù)即可，亦可直接設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.

【詳解】A選項(xiàng)，拋物線「=4x的準(zhǔn)線為產(chǎn)-1,

□N的圓心(°，4)到直線》=-1的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線/和□/相切，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，己48三點(diǎn)共線時，即尸4,/,則尸的縱坐標(biāo)力=支

由"=4打，得到馬=支故尸(4,4),

此時切線長因B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng),當(dāng)1psi=2時，Xp=l,此時，=4%=4,故P(1,2)或尸(1,-2),

42

k=上2=_2kAB=-=2

當(dāng)尸(1,2)時，2(0,4),8(—1,2),50-1,0-(-1),

不滿足⑥=-1；

/_4_(_2)=_￡卜=4_(-2)_6

當(dāng)P(l,-2)時，40,4),8(—1,2),%—(J〒一一°,AB0-(-1),

不滿足勺/^=—1；

于是P4_L4B不成立，C選項(xiàng)錯誤；

D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化

根據(jù)拋物線的定義，閘=|明，這里尸a，。)，

于是戶H引尸到時p點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成盧聞=lPFl時尸點(diǎn)的存在性問題,

化,2)

”(0,4),尸(1,0),中點(diǎn)12人中垂線的斜率為kAF、

2x+15

y=---------22

于是力/的中垂線方程為：,8,與拋物線廣=4》聯(lián)立可得/-16歹+30=°

A=162-4X30=136>0,即//的中垂線和拋物線有兩個交點(diǎn)，

即存在兩個p點(diǎn)，使得歸D選項(xiàng)正確.

方法二：(設(shè)點(diǎn)直接求解)

P—t

設(shè)〔4J由尸83可得8(山)，又工(0,4),又陷=附

J-+a-4)2=^+l

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，丫164,整理得

16/+30=0

△=16?-4x30=136〉0,則關(guān)于/的方程有兩個解，

即存在兩個這樣的尸點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

11.【答案】AD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為x=°，x=",根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號判斷出了(X)

在(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一個零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假

設(shè)存在這樣的凡6,使得x=b為/⑴的對稱軸，則/(》)=/(2辦一%)為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng),

若存在這樣的使得為/a)的對稱中心，則/(x)+/(2-x)=6-6a,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，

亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.

2

【詳解】A選項(xiàng),f'(^=6x-6ax=6x(x-a))由于。>1,

故xe(f°)。(凡+。)時/'(X)>0,故在S，°)，(d+“)上單調(diào)遞增,

xe(0,a)時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

貝V(x)在x=°處取到極大值，在％。處取到極小值，

3

由/(0)=1〉0,/(?)=1-?<0；則/(0)/伍)<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理/(X)在(°，。)上有一個零點(diǎn)，

又/(一1)=一1一3。<0,/(2a)=4/+l>0,則/(—l)/(0)<0J(a)/(2a)<0,

則/(幻在(-1，0)，(a，2。)上各有一個零點(diǎn)，于是a>1時，/⑴有三個零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，/'(x)=6x(x-a),"0時，xe(a,0),/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

xe(0,+8)時/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

此時"X)在x=°處取到極小值，B選項(xiàng)錯誤；

C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的凡6,使得x=b為"X)的對稱軸，

即存在這樣的口力使得/(X)=fQb-%),

即2x3-3ax2+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+1

根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊(2b—x)3展開式含有丁的項(xiàng)為2C；(26)°(-x)3=-2/,

于是等式左右兩邊V的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的見“，使得x=b為"X)的對稱軸，C選項(xiàng)錯誤；

D選項(xiàng)，

方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡

/(1)=3—3a,若存在這樣的使得(1，3-3。)為y(x)的對稱中心，

則/(x)+/(2_x)=6_6。，事實(shí)上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a

于是6-6a=(12-6a+(12。-24)x+18-12a

12-6a=0

<12a—24=0

即〔18-12。=6-6a,解得0=2,即存在。=2使得。，/⑴)是/⑴的對稱中心，D選項(xiàng)正確.

方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，

/(x)=2x3-3ax2+1/'(%)=6x2-6ax,/"(x)=12x-6a

/"(x)=0ox=9，/1萬］

由2,于是該三次函數(shù)的對稱中心為I"

—<^>q=2

由題意(L/⑴)也是對稱中心，故2,

即存在。=2使得(1，/⑴)是“冷的對稱中心，D選項(xiàng)正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)/⑴的對稱軸為X=A=/(X)=/(2'—X)；(2)/(x)關(guān)于(。，6)對稱

=/(x)+/(2"x)=2b；⑶任何三次函數(shù)+加：2+cx+d都有對稱中心，對稱中心是三

，，，，小々I、

次函數(shù)的拐點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)是/〃(》)=°的解，即I3"I3a〃是三次函數(shù)的對稱中心

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】95

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出％”,再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答

案.

%+2d+a1+3d—7a】=—4

【詳解】因?yàn)閿?shù)列0〃為等差數(shù)列，則由題意得13（6+"）+%+4"=5,解得〔"=3,

10x9

品=叫+-----d=10x(—4)+45x3=95

則2

故答案為：95.

2A/2

13.【答案】3

【解析】

【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得tan（a+"）=—2/，再縮小傘+’的范圍，最后結(jié)

合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

tan（a+m=*+--=\_20

1-tan6Ztanpi_（J2+1）

【詳解】法一：由題意得\），

因?yàn)镮2廠I2人k,meZ,

a+/?e（（2加+2人）兀+兀,（2加+2左）兀+2兀）

則k,meZ

又因?yàn)閠an(a+#=-2/<0

則"?"+2左）兀+^（2切+2左）兀+2兀［鼠…,則仙（"）<0

sin(a+￡).20./公_2V2

則cosja+夕)，聯(lián)立sin2(a+0+cos2(a+夕)=1,解得sm(a+#--亍

法二：因?yàn)镮為第一象限角，￡為第三象限角，貝ucosa>°,cos〃<0.

cosa1Qcos/?-1

cosa=/__COSP=/.=I=

Vsin26z+cos2a,1+tan2aJsi「尸+cos2〃Jl+tan?"

貝［jsin(6Z+/?)=sinacos°+cosasinfi=cosacos尸(tana+tan/?)

-4-4-42V2

尸

=4cosacos=—j=-

Vi+tan2a^/1+tan2/?J(tana+tan分了+(tanatan/一J，+2"I

2V2

故答案為：3.

14.【答案】

①.24

②.112

【解析】

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可

能結(jié)果，即可求解.

【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，

則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，

第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為(處"G"),劣"Gd分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)

所以選中的方格中，(氏21，33,43)的4個數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，

利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【答案】

A,=—兀

(1)6

(2)2+76+372

【解析】

【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件sin"+Geos"=2進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利

用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；

（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出B,然后根據(jù)正弦定理算出A，即可得出周長.

【小問1詳解】

方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）

.,rr,八一sm/+——cosA=1sin(/+一)=l

由sm/+A/3cosN=2可得22，即3

，小、,兀/兀4兀、.7171,71

T4+—€(—,—)A+—=—Z=￡

由于333,故32,解得6

方法二：常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)

由sin/+Gcos/=2,又sin?4+cos?4=1,消去sin/得到：

4cos24—4GCOS/+3=OO(2COS/—G)2=0,解得—2

A=-

又4W(0,TI),故6

方法三：利用極值點(diǎn)求解

/(x)=2sin[x+；卜0<x<兀)

設(shè)/(%)=sinx+Gcosx(0<x<71)則

x=-r（x_9/（4）=sinZ+VicosZ=2=2sin（4+巴）

顯然6時，JWmax-2,注意到3,

/（X）max=/（"）,在開區(qū)間（°，兀）上取到最大值，于是X=Z必定是極值點(diǎn)，

即/'⑷=0=cosN-百sin/,即an-5，

A=-

又“e（0,無），故6

方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）

=(l,V3),S=(sinJ,cos^)；由題意，Z4=sin/+百cosN=2,

a-b=\a\\b\cos(a.b)=2cos(N,B

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，?'l?

則2cos方,B=2ocos1,B=l,此時。,3=。，即凡書同向共線,

1-cosN=G?sinNotanN=

根據(jù)向量共線條件，3

/=一

又/e(0,兀)，故6

方法五：利用萬能公式求解

,+N.人A4、2tV3(l-?2)

t=tan—sin/+cosA=2=------+——-——

設(shè)2，根據(jù)萬能公式，1+廠1+廠

整理可得，干-2(2-5t+(2-V3)2=0=(r-(2-6))2,

tan—=/=2-73tanA==—

解得2,根據(jù)二倍角公式，1一/3,

A=-

又/右（0,兀），故6

【小問2詳解】

由題設(shè)條件和正弦定理

42bsinC=csin2Bo也sin8sinC=2sinCsinBcosB,

arm、.?.?cosB=—B=-

又比Ce(0,兀)，貝ijsmBsmCHnO,進(jìn)而2,得到4

C^n-A-B=—

于是12

V2+V6

sinC=sin(?！狝—B)=sin(Z+B)=sinAcos5+sin5cosA

4

2b_c

.兀.7兀

sin—sm——

由正弦定理可得，sin/sinBsinC,即6412

b=20c=瓜+亞

故口480的周長為2+6+3a

16.【答案】

⑴（e-1卜7-1=0

⑵…）

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

（2）解法一：求導(dǎo)，分析a4°和°>°兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得

/+lna—1〉0,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知/‘（x）=e*一口有零點(diǎn)，可得a>°,進(jìn)

而利用導(dǎo)數(shù)求/（“）的單調(diào)性和極值，分析可得/+lna-l〉0,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.

【小問1詳解】

當(dāng)。=1時，則/（x）=e'—xT,/'（x）=e*T,

可得〃l）=e-2,/”）=e-1,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為（l'e—力，切線斜率后=e—l,

所以切線方程為'不一2）=（e-1）（1）,即（e-1=0.

【小問2詳解】

解法一：因?yàn)椤癤）的定義域?yàn)镽,且/'（x）=e，—a,

若aK0,則/'（X）-0對任意xeR恒成立，

可知/（*）在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；

若。>0,于（）>°,解得x>lna；令/'（x）<0,解得x<lna；

可知/（X）在（fina）內(nèi)單調(diào)遞減，在（Ma，+8）內(nèi)單調(diào)遞增，

則?。┯袠O小值/（Ma）="aIna-/,無極大值，

由題意可得：/（lna）="alna-/〈0,即/+山”1〉（），

構(gòu)建g（a）“2+lna—l,a〉0,則g'（"）=+7°,

可知g(")在(°,+")內(nèi)單調(diào)遞增,且g⑴=°,

不等式/+lna—1>0等價于g(a)>g(l),解得a>1,

所以a的取值范圍為0,十°°)；

解法二：因?yàn)榱刷说亩x域?yàn)镽,且/'(%)=d-a,

若/⑴有極小值，則/‘(X)=e'一0有零點(diǎn)，

x

令/‘(X)=e'—a=0,可得e=at

可知V=e，與>=a有交點(diǎn)，則a>0,

若'()>°，解得X>111。；令/'(x)<0,解得X<lna；

可知/⑶在(一00[11")內(nèi)單調(diào)遞減，在('a，+°°)內(nèi)單調(diào)遞增，

則/(x)有極小值/(lna)="alna-/,無極大值,符合題意.

由題意可得：/(lna)="alna—a'<o,即/+比”1>。,

="+1口。-1,。〉0

構(gòu)建、7，

因?yàn)閯t〉=//=111”1在(°，+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

可知g⑷在(Q+")內(nèi)單調(diào)遞增,且g(l)=°,

不等式力+lna—1〉0等價于g(a)>目⑴，解得a>1,

所以。的取值范圍為0,+°°).

17.【答案】

(1)證明見解析

8而

(2)65

【解析】

【分析】(1)由題意，根據(jù)余弦定理求得石尸=2,利用勾股定理的逆定理可證得所140,則

EF1PE，EF±DE,結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；

(2)由(1),根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明PELE。，建立如圖空間直角坐標(biāo)系

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