高中數(shù)學(xué)模塊綜合測(cè)試（含解析）新人教A版必修

模塊綜合測(cè)試時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(sin(－30°)，cos(－30°))，則角α的一個(gè)值為(D)A．30° B．－30°C．－60° D．120°解析：Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，點(diǎn)P在第二象限，sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)，∴120°為角α的一個(gè)值．2．已知sinα＝eq\f(2,3)，則cos(π－2α)等于(B)A．－eq\f(\r(5),3) B．－eq\f(1,9)C．eq\f(1,9) D．eq\f(\r(5),3)解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×eq\f(4,9)－1＝－eq\f(1,9).3．對(duì)于函數(shù)f(x)＝2sinxcosx，下列選項(xiàng)中正確的是(B)A．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是遞增的B．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．f(x)的最小正周期為2πD．f(x)的最大值為2解析：f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，它在(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))上是單調(diào)遞減的，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，最小正周期是π，最大值為1，故B是正確的．4．已知?ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,3)，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，則eq\o(CO,\s\up6(→))的坐標(biāo)為(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))解析：由eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)．∵eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,10)．∴eq\o(CO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).故應(yīng)選C．5．已知e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，則a與b的夾角為(C)A．30° B．60°C．120° D．150°解析：依據(jù)題意a·b＝－3，|a|·|b|＝eq\r(3)×2eq\r(3)＝6，cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，故a與b的夾角為120°.6．設(shè)α∈(0，π)，sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，則cos2α的值是(C)A．eq\f(\r(17),9) B．－eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(17),9) D．eq\f(\r(17),9)或－eq\f(\r(17),9)解析：∵sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，∴1＋2sinαcosα＝eq\f(1,9)，即2sinαcosα＝－eq\f(8,9).∵α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，∴cosα－sinα<0，∴cosα－sinα＝－eq\r(cosα－sinα2)＝－eq\r(1－2sinαcosα)＝－eq\f(\r(17),3)，∴cos2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－eq\f(\r(17),9).7．將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的一個(gè)可能取值為(B)A．eq\f(3π,4) B．eq\f(π,4)C．0 D．－eq\f(π,4)解析：y＝sin(2x＋φ)eq\o(→,\s\up17(向左平移),\s\do15(\f(π,8)個(gè)單位))y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋φ)).當(dāng)φ＝eq\f(3π,4)時(shí)，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝eq\f(π,4)時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x，為偶函數(shù)；當(dāng)φ＝0時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)φ＝－eq\f(π,4)時(shí)，y＝sin2x，為奇函數(shù)．故選B．8．已知sin(α－β)＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(3,5)，且α－β∈(eq\f(π,2)，π)，α＋β∈(eq\f(π,2)，π)，則cos2β的值為(C)A．1 B．－1C．eq\f(24,25) D．－eq\f(4,5)解析：由題意知cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5)，所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝(－eq\f(3,5))×(－eq\f(4,5))＋eq\f(4,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(24,25).9．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，且－eq\f(π,2)<α<0，則eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))等于(A)A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(3\r(5),10)C．－eq\f(3\r(10),10) D．eq\f(2\r(5),5)解析：由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,2)，得tanα＝－eq\f(1,3).又－eq\f(π,2)<α<0，∴sinα＝－eq\f(\r(10),10).故eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(2sinαsinα＋cosα,\f(\r(2),2)sinα＋cosα)＝2eq\r(2)sinα＝－eq\f(2\r(5),5).10．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)cosx，\f(\r(2),2)sinx))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinx，\r(2)cosx))，f(x)＝a·b，要得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象，只需將f(x)的圖象(C)A．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位 B．向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位C．向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位 D．向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位解析：f(x)＝a·b＝sinxcosx＋sinxcosx＝sin2x.而y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，于是只需將f(x)的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位．故選C．11．將函數(shù)y＝sinωx(ω>0)的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位，平移后的圖象如圖所示，則平移后的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是(C)A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－π－\f(π,6)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))解析：將函數(shù)y＝sinωx(ω>0)的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位，平移后的圖象所對(duì)應(yīng)的解析式為y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))).由題圖象知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)＋\f(π,6)))ω＝eq\f(3π,2)，所以ωy＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).12．點(diǎn)O在△ABC所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：①eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)－\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)－\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)))＝0；③(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.則點(diǎn)O依次為△ABC的(C)A．內(nèi)心、重心、垂心 B．重心、內(nèi)心、垂心C．重心、內(nèi)心、外心 D．外心、垂心、重心解析：①由于eq\o(OA,\s\up6(→))＝－(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－2eq\o(OD,\s\up6(→))，其中D為BC的中點(diǎn)，可知O為BC邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近線段BC)，所以O(shè)為△ABC的重心；②向量eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)分別表示在AC和AB上的單位向量eq\o(AC′,\s\up6(→))和eq\o(AB′,\s\up6(→))，它們的差是向量eq\o(B′C′,\s\up6(→))，當(dāng)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)－\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝0，即OA⊥B′C′時(shí)，則點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，同理由eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)－\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)))＝0，知點(diǎn)O在∠ABC的平分線上，故O為△ABC的內(nèi)心；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))是以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，而eq\o(AB,\s\up6(→))是該四邊形的另一條對(duì)角線，eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝0表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|，同理有|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，于是O為△ABC的外心．第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝eq\f(4,3).解析：設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a，eq\o(AE,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b－A．代入條件得λ＝μ＝eq\f(2,3)，∴λ＋μ＝eq\f(4,3).14．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)的值為2.解析：由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(1,2)，解得tanα＝3，所以eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(4,2)＝2.15．已知函數(shù)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最大值為3，f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，其相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝4030.解析：由最大值為3知A＝2，f(x)＝2cos2(ωx＋φ)＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋2，由交點(diǎn)(0,2)及0<φ<eq\f(π,2)知φ＝eq\f(π,4).∴f(x)＝2－sin2ωx.又周期為4，∴ω＝eq\f(π,4).∴f(x)＝2－sineq\f(π,2)x，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝8.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝503[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝503×8＋6＝4030.16．給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)y＝tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)(kπ＋eq\f(π,2)，0)(k∈Z)對(duì)稱(chēng)；②函數(shù)f(x)＝sin|x|是最小正周期為π的周期函數(shù)；③設(shè)θ為第二象限的角，則taneq\f(θ,2)>coseq\f(θ,2)，且sineq\f(θ,2)>coseq\f(θ,2)；④函數(shù)y＝cos2x＋sinx的最小值為－1.其中正確的命題是①④.解析：①由正切曲線，知點(diǎn)(kπ，0)，(kπ＋eq\f(π,2)，0)是正切函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心，∴①對(duì)；②f(x)＝sin|x|不是周期函數(shù)，②錯(cuò)；③∵θ∈(2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋π)，k∈Z，∴eq\f(θ,2)∈(kπ＋eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(π,2))，k∈Z.當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，sineq\f(θ,2)<coseq\f(θ,2).∴③錯(cuò)；④y＝1－sin2x＋sinx＝－(sinx－eq\f(1,2))2＋eq\f(5,4)，∴當(dāng)sinx＝－1時(shí)，ymin＝1－(－1)2＋(－1)＝－1.∴④對(duì)．三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)計(jì)算：(1)coseq\f(π,5)＋coseq\f(2π,5)＋coseq\f(3π,5)＋coseq\f(4π,5)；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)＋cos\f(4π,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)＋cos\f(3π,5)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,5)))))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,5)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)－cos\f(π,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)－cos\f(2π,5)))＝0.(2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.18．(12分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b的方向上的投影為－1，求：(1)a與b的夾角θ；(2)(a－2b)·B．解：(1)由題意知，|a|＝2，|b|＝1，|a|cosθ＝－1，∴a·b＝|a||b|cosθ＝－|b|＝－1，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2).由于θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3)即為所求．(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．解：(1)由題圖象可知A＝2，eq\f(T,2)＝eq\f(3π,8)－(－eq\f(π,8))＝eq\f(π,2)，∴T＝π，ω＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)，將點(diǎn)(－eq\f(π,8)，2)代入得－eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∵|φ|<π，∴φ＝eq\f(3,4)π.∴函數(shù)的解析式為y＝2sin(2x＋eq\f(3π,4))．(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(3π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(5π,8)≤x≤kπ－eq\f(π,8)(k∈Z)．∴函數(shù)y＝2sin(2x＋eq\f(3π,4))的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－eq\f(5π,8)，kπ－eq\f(π,8)](k∈Z)．20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)))＝－eq\f(2,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值．解：(1)因?yàn)閒(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函數(shù)，而y1＝a＋2cos2x為偶函數(shù)，所以y2＝cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，又θ∈(0，π)，得θ＝eq\f(π,2)，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0得－(aa＝－1.(2)由(1)得，f(x)＝－eq\f(1,2)sin4x，因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)))＝－eq\f(1,2)sinα＝－eq\f(2,5).即sinα＝eq\f(4,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，從而cosα＝－eq\f(3,5).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝sinαcoseq\f(π,3)＋cosαsineq\f(π,3)＝eq\f(4－3\r(3),10).21．(12分)如圖，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝6，∠BAC＝60°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AE,\s\up6(→))，(1)若eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(AC,\s\up6(→))，求證：點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)．(2)在(1)的條件下，求eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))的值．解：(1)證明：因?yàn)閑q\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,10)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)Aeq\o(E,\s\up6(→))，所以F為DE的中點(diǎn)．(2)由(1)可得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→)))，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,10)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\