高中數(shù)學(xué)-1.2.3　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖引入新課計(jì)算下列各式的值：(1)sin290°+cos290°=sin230°+cos230°=sin260°+cos260°=(2)==教師提問(wèn)：根據(jù)第（1）組題的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？學(xué)生思考后回答。教師提問(wèn)：根據(jù)（2）組題的結(jié)果，猜想到一個(gè)怎樣的關(guān)系式？學(xué)生思考后回答。讓學(xué)生通過(guò)對(duì)引例的計(jì)算、觀察、比較、分析、歸納，體驗(yàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，有利于對(duì)公式的理解與記憶。同時(shí)感受數(shù)學(xué)建模的第一個(gè)環(huán)節(jié)：歸納猜想。公式探究利用幾何畫板展示：隨著角α終邊的變化，以下兩個(gè)公式的等號(hào)始終成立：sin2α+cos2α=1.=tanα證明公式：在單位圓中教師提問(wèn)：根據(jù)觀察是不是可以判斷兩個(gè)公式對(duì)任意α成立？學(xué)生思考回答。教師追問(wèn)：根據(jù)學(xué)過(guò)的有關(guān)三角的知識(shí)，怎樣證明兩個(gè)公式？學(xué)生思考回答，教師要求學(xué)生利用三角函數(shù)線進(jìn)行簡(jiǎn)單證明。引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程：檢驗(yàn)、論證。培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑求真的數(shù)學(xué)態(tài)度。公式深化1.公式的條件：sin2α+cos2α=1(α∈R).Sinα/cosα=tanα(α≠kπ+,k∈Z).2.變形公式：sin2α=1-cos2αcos2α=1-sin2αsinα=tanαcosαsinα/tanα=cosα教師提問(wèn)：第二個(gè)公式中cosα做分母，是不是限制了α的范圍？怎樣限定？學(xué)生思考回答。教師要求學(xué)生對(duì)兩個(gè)公式進(jìn)行變形，并在變形過(guò)程中進(jìn)行記憶。引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步完善數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，通過(guò)變形公式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維。公式應(yīng)用例1已知sinα=,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值。變式練習(xí)1：已知cosα=-12/13,,求sinα,tanα的值教師提問(wèn)：根據(jù)條件和要求解的值，首先選擇哪個(gè)公式？學(xué)生思考回答。教師要求學(xué)生套用公式作答。教師追問(wèn)：利用平方關(guān)系時(shí)，需要注意什么事項(xiàng)？學(xué)生思考回答，確定例1的符號(hào)。要求學(xué)生繼續(xù)作答變式訓(xùn)練1，體會(huì)象限、符號(hào)的重要性。讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)有效的聯(lián)想，并歸納解題流程：選用恰當(dāng)?shù)墓健龅介_(kāi)方，判斷符號(hào)→結(jié)論；象限不確定時(shí)，篩選信息，討論象限→選用恰當(dāng)?shù)墓健龅介_(kāi)方，確定符號(hào)→結(jié)論公式應(yīng)用例2：已知：sinα-cosα=-1/5，180°＜α＜270°，求tanα。變式訓(xùn)練2：已知tanα=-3/4，且α為第三象限角，求sinα，cosα。教師提問(wèn)：能不能直接套用公式？學(xué)生思考后回答。教師提示：方程的本質(zhì)是含有未知數(shù)的等式，兩個(gè)未知數(shù)不能同時(shí)解決，考慮其他途徑。學(xué)生思考：已知條件和同角三角函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立構(gòu)成二元方程組。學(xué)生通過(guò)變式訓(xùn)練，進(jìn)一步熟悉列方程求值的方法。讓學(xué)生拓展思路，領(lǐng)會(huì)函數(shù)方程的數(shù)學(xué)思想。例3化簡(jiǎn)變式練習(xí)3：求證：tan2x-sin2x=tan2xsin2x教師提問(wèn)：化簡(jiǎn)的目標(biāo)是化簡(jiǎn)為繁，減少函數(shù)名稱的個(gè)數(shù)，化分式為整式，通過(guò)怎樣的方法可以達(dá)到上述目標(biāo)？學(xué)生思考回答。學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練。讓學(xué)生掌握切化弦等技巧方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)公式的靈活運(yùn)用能力。例4求證：法一：法二：法三：要求學(xué)生用至少三種方法證明該例題，并總結(jié)證明恒等式等式的通性通法。在用多種方法證明過(guò)程中體會(huì)同角三角函數(shù)關(guān)系式的特點(diǎn)。教師投影展示學(xué)生的學(xué)案，在展示中，要求學(xué)生總結(jié)等式的證明方法：1.由左端→右端，由右端→左端。左端→過(guò)渡式←右端2.作差，差為“0”。3.分析法，注意過(guò)程的等價(jià)性。讓學(xué)生證明系統(tǒng)掌握證明等式的方法。進(jìn)一步體會(huì)同角三角函數(shù)關(guān)系式機(jī)器變形公式的魅力。歸納總結(jié)1.同角三角函數(shù)關(guān)系式中，涉及到正切函數(shù)，注意使用條件。2.根據(jù)一個(gè)任意角的的一個(gè)值，可以求出其余的函數(shù)值，要判斷符號(hào)。3.靈活運(yùn)用切化弦等方法，證明恒等式要選擇合適的方法。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧同角三角函數(shù)關(guān)系式的構(gòu)建過(guò)程，重溫?cái)?shù)學(xué)建模流程。學(xué)生自主歸納公式的應(yīng)用策略，總結(jié)求值題、證明題、化簡(jiǎn)題的解決方法。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建流程，自主歸納總結(jié)的習(xí)慣。課后作業(yè)P25，練習(xí)A1、2、3、4學(xué)生獨(dú)立完成，教師全批全改。培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣。1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)情分析學(xué)生門通過(guò)三角函數(shù)定義、三角函數(shù)線的學(xué)習(xí)，已經(jīng)比較熟練的掌握了三角函數(shù)定義及三角函數(shù)線，并且通過(guò)單位圓這一載體初步具有了數(shù)形結(jié)合的思想。我教的班級(jí)大部分學(xué)生能夠主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)。但是同學(xué)們探究能力普遍較弱，對(duì)數(shù)學(xué)建模的流程比較陌生。特殊角的三角函數(shù)值記憶的不夠牢固，三角函數(shù)值的正負(fù)號(hào)判斷不夠熟練，這些可能會(huì)影響本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程和教學(xué)效果。

1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式效果分析本著突出教師為主導(dǎo)、學(xué)生主體的原則,整節(jié)課給學(xué)生留下了足夠的探究時(shí)間和空間。本節(jié)采用“計(jì)算觀察——?dú)w納猜想——提出問(wèn)題──合作探究──變式應(yīng)用”的流程展開(kāi)。首先通過(guò)兩組題的計(jì)算，學(xué)生歸納規(guī)律，提出假設(shè)，然后通過(guò)合作探究的方式探究出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，讓學(xué)生深入體驗(yàn)了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)和數(shù)學(xué)建模過(guò)程。通過(guò)四道例題設(shè)置問(wèn)題，進(jìn)一步深化了對(duì)關(guān)系式的理解，每一道例題又進(jìn)行了科學(xué)的變形，讓學(xué)生在自主探索中對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行了靈活運(yùn)用。從課堂授課過(guò)程中學(xué)生的表現(xiàn)，聽(tīng)講認(rèn)真、活動(dòng)積極、探究深入，學(xué)生有問(wèn)題意識(shí)，學(xué)會(huì)了觀察、歸納、猜想、論證、應(yīng)用反饋的建模方法。從學(xué)生變式練習(xí)來(lái)看，公式的應(yīng)用比較靈活。本節(jié)課達(dá)到了預(yù)期效果。1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教材分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：了解同角三角函數(shù)關(guān)系；能用同角三角函數(shù)關(guān)系解決簡(jiǎn)單的恒等變形題目。教材圍繞這一目標(biāo)進(jìn)行組織材料。同角三角函數(shù)基本關(guān)系式是學(xué)習(xí)三角函數(shù)定義、三角函數(shù)線后，安排的一節(jié)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的內(nèi)容。本知識(shí)點(diǎn)式求同角函數(shù)值、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、證明三角恒等式的基本工具，是整個(gè)三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在教材中起承上啟下的作用。同時(shí)，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想與方法在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起重要作用。教材安排了關(guān)系式的推證，但是過(guò)程較為簡(jiǎn)單，沒(méi)有安排學(xué)生探究活動(dòng)。用大的篇幅設(shè)置了6個(gè)例題，其中例題6安排了三種證法。教材鮮明突出地體現(xiàn)了公式的應(yīng)用。因?yàn)楸竟?jié)課是很好的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的載體，同時(shí)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式是誘導(dǎo)公式、量和與差的三角函數(shù)、和差化積、積化和差等一系列公式的第一組公式，所以有必要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行細(xì)致的探究，為以后學(xué)習(xí)鋪好路。1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式導(dǎo)學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過(guò)計(jì)算、猜想、探究、證明同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模流程，感悟數(shù)學(xué)探究的魅力。2.在例題及變式訓(xùn)練過(guò)程中進(jìn)一步記憶、掌握、并能運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。3.通過(guò)同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用使學(xué)生養(yǎng)成探究、分析的習(xí)慣,提高三角恒等變形的能力,樹(shù)立轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)課本的兩個(gè)個(gè)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.三、教學(xué)過(guò)程（一）導(dǎo)入：計(jì)算下列各式的值：(1)sin290°+cos290°=sin230°+cos230°=sin260°+cos260°=(2)==（二）探究：猜想：請(qǐng)學(xué)生回憶任意角的三角函數(shù)定義和三角函數(shù)線，能否對(duì)上述猜想進(jìn)行證明？問(wèn)題一：在以下兩個(gè)等式中的角是否都可以是任意角?sin2α+cos2α=1(等式1).=tanα(等式2).α≠kπ+,k∈Z（三）應(yīng)用示例：例1已知sinα=,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值。變式練習(xí)1：已知cosα=-12/13,,求sinα,tanα的值。例2：已知：sinα-cosα=-1/5，180°＜α＜270°，求tanα。變式訓(xùn)練2：P25， 練習(xí)A1(3)已知tanα=-3/4，且α為第三象限角，求sinα，cosα。例3化簡(jiǎn)變式練習(xí)3：求證：tan2x-sin2x=tan2xsin2x例4求證:法一：法二：法三：課堂小結(jié)①同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及成立的條件。②根據(jù)一個(gè)任意角的正弦、余弦、正切中的一個(gè)值求出其余的兩個(gè)值(可以簡(jiǎn)稱“知一求二”)時(shí)要注意這個(gè)角的終邊所在的位置，從而出現(xiàn)一組或兩組或四組(以兩組的形式給出)。③“知一求二”的解題步驟一般為：先確定角的終邊位置,再根據(jù)基本關(guān)系式求值，若已知正弦或余弦,則先用平方關(guān)系，再用其他關(guān)系求值；若已知正切或余切，則構(gòu)造方程組求值。④靈活運(yùn)用變形公式、切化弦。課后作業(yè)：P25，練習(xí)A1、2、3、4 1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式課后反思本節(jié)課，我確定引領(lǐng)學(xué)生探究同角三角函數(shù)的兩個(gè)關(guān)系式，通過(guò)整合例題、例題變式訓(xùn)練學(xué)生對(duì)公式的靈活運(yùn)用作為重點(diǎn)和難點(diǎn)。突破第一個(gè)重點(diǎn)的策略方法：以練習(xí)題組引入新課，讓學(xué)生在活動(dòng)中進(jìn)行觀察歸納、猜想質(zhì)疑、論證完善，循序漸進(jìn)的引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的數(shù)學(xué)建模。在這一過(guò)程中，充分應(yīng)用幾何畫板等信息技術(shù)手段，讓學(xué)生在感性中增強(qiáng)對(duì)公式的認(rèn)識(shí)。突破第二個(gè)難點(diǎn)的策略方法：將例題進(jìn)行整合，每道例題配置一道變式訓(xùn)練，在訓(xùn)練中，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)公式應(yīng)用過(guò)程中存在的問(wèn)題，在比較中找出異同，在細(xì)節(jié)關(guān)注中，強(qiáng)化了公式的應(yīng)用條件，角的終邊和函數(shù)值符號(hào)的關(guān)系。在教學(xué)手段上，通過(guò)學(xué)生板演，展示學(xué)生的做題思路和過(guò)程，利用實(shí)物展臺(tái)，大密度展示、點(diǎn)評(píng)學(xué)生的訓(xùn)練結(jié)果，及時(shí)的評(píng)價(jià)反饋，讓學(xué)生暴露問(wèn)題，解決問(wèn)題。課堂教學(xué)效果基本令人滿意，但是感覺(jué)還有兩點(diǎn)需要改進(jìn)：本節(jié)課的容量偏大，學(xué)生自行反思的時(shí)間有點(diǎn)少；公式的證明過(guò)程應(yīng)該再嚴(yán)謹(jǐn)些。1.2.3任意角的三角函數(shù)關(guān)系式課標(biāo)分析

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在高中數(shù)學(xué)課程性質(zhì)中談到：有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，形成解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力。

在課程理念方面，

倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。同時(shí)，高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建?！钡葘W(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)。而且要注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合，現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響。數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)之一：通過(guò)不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

提高空間想像、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力。提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問(wèn)題（包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題）的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

三角恒等變換在數(shù)學(xué)中有一定的應(yīng)用，同時(shí)有利于發(fā)展學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力。在本模塊中，學(xué)生將運(yùn)用向量的方法推導(dǎo)基本的三角恒等變換公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角恒等變換公式，并