2017年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及標(biāo)準(zhǔn)答案全國(guó)卷3

2017年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及標(biāo)準(zhǔn)答案全國(guó)卷3

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）221.已知集合A={(x,y)|x+y=1}，B={(x,y)|y=x}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3B.2C.1D.B解析：A表示圓x2+y2=1上所有點(diǎn)的集合，B表示直線y=x上所有點(diǎn)的集合，故A∩B表示兩直線與圓的交點(diǎn)，由圖可知交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，即A∩B元素的個(gè)數(shù)為2，故選B。2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則z=（）A.1/2B.2C.2D.2解析：由題，z=2i/(1-i)=i+1，則|z|=√2，故z=2/√2=√2，故選C。3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)解析：由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選A。4.(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為（）A.-80B.-40C.40D.80解析：由二項(xiàng)式定理可得，原式展開(kāi)中含x3y3的項(xiàng)為23333x(C5)2(2x)(-y)+y(C3)2(2x)(-y)=40xy，則xy的系數(shù)為40，故選C。5.已知雙曲線C：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>b>0)的一條漸近線方程為y=x，且與橢圓(x^2/3)+(y^2/2)=1有公共焦點(diǎn)．則C的方程為（）A.123x^2-455y^2=810B.5x^2-5y^2=9ab^2C.2x^2-3y^2=6abD.3x^2-2y^2=6ab解析：∵雙曲線的一條漸近線方程為y=x，則(x^2/y^2)-(1/b^2)=1/a^2與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知c=√(a^2+b^2)，則a^2+b^2=9，又∵橢圓(x^2/3)+(y^2/2)=1與雙曲線C有公共焦點(diǎn)，故c^2=a^2+b^2=9是橢圓的焦距之一，又由橢圓的性質(zhì)可得c^2=a^2-b^2，解得a^2=5，b^2=4，代入(x^2/y^2)-(1/4)=5/4，化簡(jiǎn)得5x^2-5y^2=9ab^2，故選B。2.以A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即2ab/d=a。又因?yàn)閍>0，b>0，所以可以將a^2=3b^2化簡(jiǎn)為2a^2=6b^2，進(jìn)而得到e=√(a^2-b^2)/a=√3/3。11.將函數(shù)f(x)=x^2-2x+a(ex-1+e^-x+1)代入f(2-x)，可得f(2-x)=f(x)，即x=1為f(x)的對(duì)稱軸。又因?yàn)閒(x)有唯一零點(diǎn)，所以該零點(diǎn)只能為x=1，代入f(x)的表達(dá)式求解a=1/2。12.以A為原點(diǎn)，AD為軸正半軸，AB為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)。因?yàn)锽D為矩形的對(duì)角線，所以BD的長(zhǎng)度為√(1^2+2^2)=√5。因?yàn)锽D與圓相切于點(diǎn)E，所以CE⊥BD且CE是Rt△BCD中斜邊BD上的高，因此CE=5/√5=√5。由勾股定理可得圓的半徑為√5。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，則P點(diǎn)的軌跡方程為(x-2)^2+(y-1)^2=5。因?yàn)锳P=λAB+μAD，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為(x,y)=(2+λ,1+2μ)，代入圓的方程得到(λ-√5)^2+4μ^2=5。由于P點(diǎn)在圓上，所以(λ-2)^2+(μ-1)^2=5。將這兩個(gè)方程聯(lián)立解得λ=3/2，μ=1/2，因此λ+μ的最大值為3。解析：1.將公式中的“”和“”替換成“l(fā)ambda”和“mu”，使得公式更易讀懂。2.刪除第二段話，因?yàn)樗皇窃谥貜?fù)第一段話。3.第三段話中的“兩式相加得：”改為“將兩式相加，可得：”更加準(zhǔn)確。4.將“sin=525，cos=55”改為“sin(θ+?)=5/13，cos(θ+?)=2/13”，并解釋一下如何得出這個(gè)結(jié)果。5.在最后一段話中，將“目標(biāo)函數(shù)為z=3x-4y，則直線y=x+y-2=…”改為“設(shè)z=3x-4y，則可得出z的最小值為-1，此時(shí)x=1，y=1”。6.在第14小題中，將“a1-a3=-3”改為“a1-a3=3”，因?yàn)榍罢吲c題目中的條件不符。7.在第15小題中，將“f(x)={x+1,x≤1}”改為“f(x)={x+1,x≤0;1/x^2,x>0}”，因?yàn)檫@才是題目中給出的函數(shù)定義。同時(shí)，在解析中畫(huà)出的圖中，也應(yīng)該將x=1處的圓點(diǎn)改為實(shí)心點(diǎn)。三、解答題：（共70分。第17-20題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。）（一）必考題：共60分。17.（12分）已知三角形$\triangleABC$中，$\angleA$，$\angleB$，$\angleC$的對(duì)邊分別為$a$，$b$，$c$，且$\sinA+3\cosA=$，$a=27$，$b=2$。（1）求$c$；（2）設(shè)$D$為$BC$邊上一點(diǎn)，且$AD\perpAC$，求$\triangleABD$的面積?！窘馕觥浚?）由$\sinA+3\cosA=$得$2\sin\left(A+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}$，即$A+\frac{\pi}{3}=k\pi(k\inZ)$，又$A\in(0,\pi)$，$\thereforeA+\frac{\pi}{3}=\pi$，得$A=\frac{\pi}{3}$。由余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，又$a=27$，$b=2$，$\cosA=-\frac{1}{2}$，代入并整理得$2(c+1)=25$，故$c=4$。（2）由勾股定理$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{49}=7$。又$AC=2$，$AB=4$，$BC=27$，故$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{7}{26}$。由正弦定理$S_{\triangleABD}=\frac{1}{2}AD\cdotAB\cdot\sin\angleDAB=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4\cdot\sin\angleDAB$。又$\sin\angleDAB=\sin(180^\circ-\angleCAB)=\sin\angleCAB=\frac{c}{2b}=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}$，故$S_{\triangleABD}=\frac{6}{13}$。答：（1）$P(X=200)=\frac{2}{30}$，$P(X=300)=\frac{16}{35}$，$P(X=500)=\frac{7}{30}$；（2）設(shè)進(jìn)貨量為$x$，售出量為$y$，則當(dāng)$y\leq500$時(shí)，利潤(rùn)為$2y-(x-y)\cdot4$，當(dāng)$y>500$時(shí)，利潤(rùn)為$2\cdot500+(y-500)\cdot2-(x-y)\cdot4$?；?jiǎn)得$Y=6y-4x$。由條件可得$y=200$時(shí)，$x=500$；$y=300$時(shí)，$x=450$；$y=500$時(shí)，$x=375$。故六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為375瓶時(shí)，$Y$的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?！咀⒁狻勘绢}中的“=”是排版錯(cuò)誤，應(yīng)為“$=$”。已知拋物線$C:y=2x^2$，過(guò)點(diǎn)$(2,0)$的直線交$C$于$A,B$兩點(diǎn)，圓$M$是以線段$AB$為直徑的圓。（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)$O$在圓$M$上；（2）設(shè)圓$M$過(guò)點(diǎn)$P(4,2)$，求直線與圓$M$的方程。解析：（1）顯然，當(dāng)直線斜率為$0$時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意。設(shè)$l:x=my+2$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則有：$$\begin{cases}y=2x^2\\x=my+2\end{cases}$$聯(lián)立得：$$y^2-2my-4=0\qquad\Rightarrow\qquad\Delta=4m^2+16\geq0$$因此，$m\neq0$，且原點(diǎn)$O$在直線$l$上。設(shè)$O$的坐標(biāo)為$(a,b)$，則有：$$\begin{cases}b=2a^2\\a=mb+2\end{cases}$$聯(lián)立得：$$4a^2=m^2b^2+4mb+4=m^2a^4+4ma^2+4$$化簡(jiǎn)得：$$a^2=\frac{4}{m^2+1}\qquadb^2=\frac{8}{m^2+1}$$因此，$O$在以$P$為圓心，半徑為$\sqrt{\frac{85}{16}}$的圓上，即$O$在圓$M$上。（2）若圓$M$過(guò)點(diǎn)$P$，則有：$$AP\cdotBP=(x_1-4)(x_2-4)+(y_1+2)(y_2+2)=(2mx_1-4)(2mx_2-4)+(y_1+y_2+4)$$又因?yàn)?A,B$在拋物線上，故有：$$y_1+y_2=2mx_1+2mx_2+4$$$$y_1y_2=-4$$代入得：$$AP\cdotBP=-(m^2+1)+8=7-m^2$$因?yàn)?AP\cdotBP$為正，故$m=\pm\sqrt{2}$。當(dāng)$m=-\sqrt{2}$時(shí)，直線$l:2x+y-4=0$，圓心為$Q\left(\frac{1}{3},-\frac{5}{3}\right)$，半徑為$r=\sqrt{\left(\frac{9}{4}+\frac{25}{9}\right)}=\frac{7}{3}$，因此圓$M:\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\left(y+\frac{5}{3}\right)^2=\frac{49}{9}$；當(dāng)$m=\sqrt{2}$時(shí)，直線$l:x-y-2=0$，圓心為$Q(3,1)$，半徑為$r=\sqrt{\left(\frac{9}{2}+1\right)}=\frac{\sqrt{19}}{2}$，因此圓$M:\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{19}{4}$。綜上所述，直線與圓$M$的方程為$l:x-y-2=0$或$l:2x+y-4=0$。2.已知圓M的圓心坐標(biāo)為(3,1)，半徑為r=√(32+12)=√10，則圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10。21.(1)對(duì)于函數(shù)f(x)=x-1-alnx，當(dāng)f(x)≥0時(shí)，求a的值。解：f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=1-1/x=a-1/x，當(dāng)a≤1時(shí)，f'(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，因此f(x)<f(1)對(duì)于x∈(0,1)不成立；當(dāng)a>1時(shí)，f'(x)<0，f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增，因此f(x)<f(1)對(duì)于x∈(1,a)不成立；當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，因此f(x)≥f(1)對(duì)于所有x成立，即a=1。(2)設(shè)m為整數(shù)，對(duì)于任意正整數(shù)n，(1+1/2)(1+1/22)...(1+1/2n)>m，求m的最小值。解：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，原式等價(jià)于ln[(1+1/2)(1+1/22)...(1+1/2n)]>ln(m)，即ln(1+1/2)+ln(1+1/22)+...+ln(1+1/2n)>ln(m)。由于ln(x+1)≤x，對(duì)于x>0，因此ln(1+1/2)+ln(1+1/22)+...+ln(1+1/2n)<1/2+1/22+...+1/2n，而1/2+1/22+...+1/2n=1-1/2n<1，因此ln(1+1/2)+ln(1+1/22)+...+ln(1+1/2n)<1。另一方面，(1+1/2)(1+1/22)...(1+1/2n)>(1+1/2)(1+1/22)(1+1/23)=2，因此(1+1/2)(1+1/22)...(1+1/2n)∈(2,e)，即ln[(1+1/2)(1+1/22)...(1+1/2n)]∈(ln2,1)。因此，當(dāng)ln(m)∈(ln2,1)時(shí)，存在整數(shù)m使得(1+1/2)(1+1/22)...(1+1/2n)>m成立，最小的這樣的m為3，因此m的最小值為3。2