高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.3空間中的平行關(guān)系11.3.1平行直線與異面直線學(xué)案新人教B版必修第四冊(cè)_第1頁(yè)
高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.3空間中的平行關(guān)系11.3.1平行直線與異面直線學(xué)案新人教B版必修第四冊(cè)_第2頁(yè)
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11.3空間中的平行關(guān)系11.3.1平行直線與異面直線課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助長(zhǎng)方體,通過(guò)直觀感知,了解空間中直線與直線的關(guān)系,了解以下基本事實(shí)和定理.基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行.定理:如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,并且方向相同那么這兩個(gè)角相等.2.重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一基本事實(shí)4文字表述:平行于同一條直線的兩條直線________.這一性質(zhì)叫做空間平行線的________.符號(hào)表述:a∥bb知識(shí)點(diǎn)二等角定理如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別________,并且方向________,那么這兩個(gè)角________.狀元隨筆思考:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,這兩個(gè)角具有什么關(guān)系?[提示]相等或互補(bǔ).知識(shí)點(diǎn)三異面直線(1)定義:把既不相交又不平行的直線叫做異面直線.(2)畫(huà)法:(通常用平面襯托)知識(shí)點(diǎn)四空間兩條直線的位置關(guān)系共面直線狀元隨筆思考:不在同一平面的兩條直線是異面直線,對(duì)嗎?[提示]不對(duì),是不同在任何一個(gè)平面內(nèi).知識(shí)點(diǎn)五空間四邊形1.空間四邊形的定義:順次連接____________所構(gòu)成的圖形稱(chēng)為空間四邊形.其中4個(gè)點(diǎn)都是空間四邊形的頂點(diǎn).2.空間四邊形的對(duì)角線:連接__________________稱(chēng)為空間四邊形的對(duì)角線.狀元隨筆(1)空間四邊形與四面體是一回事嗎?[提示]不是一回事.空間四邊形可以看成由一個(gè)四面體的四條棱構(gòu)成的圖形,空間四邊形不是四面體.(2)梯形是空間四邊形嗎?[提示]不是.因?yàn)樘菪问且粋€(gè)平面圖形,它的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)平面上,所以它不是空間四邊形.基礎(chǔ)自測(cè)1.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,則∠PQR等于()A.30° B.30°或150°C.150° D.以上結(jié)論都不對(duì)2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是()A.平行或異面 B.相交或異面C.異面 D.相交3.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是線段C1D,BC的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是________.4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為AA1,CC1的中點(diǎn),則四邊形D1PBQ是()A.正方形 B.菱形C.矩形 D.空間四邊形課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1空間兩條直線的位置關(guān)系概念的理解例1下列說(shuō)法中,正確的是()A.空間中沒(méi)有交點(diǎn)的兩條直線是平行直線B.一條直線和兩條平行直線中的一條相交,則它和另一條直線也相交C.空間四條直線a,b,c,d,若a∥b,c∥d且a∥d,則b∥cD.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線是平行直線方法歸納理解空間兩條直線的位置關(guān)系的定義共面直線跟蹤訓(xùn)練1分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是()A.一定平行B.一定相交C.一定異面D.相交或異面題型2基本事實(shí)4、等角定理的應(yīng)用例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).(1)求證:四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)求證:∠BMC=∠B1M1C1.狀元隨筆(1)欲證四邊形BB1M1M是平行四邊形,可證其一組對(duì)邊平行且相等;(2)可結(jié)合(1)利用等角定理證明或利用三角形全等證明.方法歸納1.空間兩條直線平行的證明一是定義法:即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn);二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì),如三角形中位線,梯形,平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì);三是利用基本事實(shí)4:找到一條直線,使所證的直線都與這條直線平行.2.求證角相等一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊12AD,BE綊12FA,G,H分別為FA,(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)判斷C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)是否共面?為什么?狀元隨筆(1)證明四邊形BCHG的一組對(duì)邊平行且相等.(2)只需證明C,H,F(xiàn),E四點(diǎn)共面,即可推出C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面.題型3空間兩直線位置關(guān)系的判定例3(1)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,判斷下列直線的位置關(guān)系:判斷兩直線的位置關(guān)系,主要依據(jù)定義判斷.①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________;②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________;③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________;④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________.(2)已知a,b,c是三條直線,且a與b異面,b與c異面,試判斷a與c的位置關(guān)系,并畫(huà)圖說(shuō)明.狀元隨筆選擇恰當(dāng)?shù)钠矫孀鳛橐r托,畫(huà)出可能出現(xiàn)的情況.方法歸納(1)判定兩條直線平行與相交可用平面幾何的方法去判斷.(2)判定兩條直線是異面直線有定義法和排除法,由于使用定義判斷不方便,故常用排除法,即說(shuō)明這兩條直線不平行、不相交,則它們異面.跟蹤訓(xùn)練3(1)如果兩條異面直線稱(chēng)為“一對(duì)”,那么正方體的12條棱中,異面直線共有()A.12對(duì) B.24對(duì)C.36對(duì) D.48對(duì)(2)如圖所示,已知α∩β=a,b?β,a∩b=A,且c?α,c∥a.求證:b,11.3空間中的平行關(guān)系11.3.1平行直線與異面直線新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識(shí)點(diǎn)一互相平行傳遞性a∥c知識(shí)點(diǎn)二對(duì)應(yīng)平行相同相等知識(shí)點(diǎn)四相交直線平行直線異面直線知識(shí)點(diǎn)五1.不共面的4點(diǎn)2.不相鄰頂點(diǎn)間的線段[基礎(chǔ)自測(cè)]1.解析:因?yàn)锳B∥PQ,BC∥QR,所以∠PQR與∠ABC相等或互補(bǔ).因?yàn)椤螦BC=30°,所以∠PQR=30°或150°.答案:B2.解析:如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1與BC是異面直線,又AA1∥BB1,AA1∥DD1,顯然BB1∩BC=B,DD1與BC是異面直線,故選答案:B3.解析:直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1,EF?平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交.答案:相交4.解析:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,直接計(jì)算可知四邊形D1PBQ各邊均為5,又四邊形D1PBQ是平行四邊形,所以四邊形D1PBQ是菱形.答案:B課堂探究·素養(yǎng)提升例1【答案】C跟蹤訓(xùn)練1答案:D例2【證明】(1)∵ABCD-A1B1C1D1為正方體.∴AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M、M1分別為棱AD、A1D1的中點(diǎn),∴AM=A1M1且AM∥A1M1,∴四邊形AMM1A1為平行四邊形,∴MM1=AA1且MM1∥AA1.又AA1=BB1且AA1∥BB1,∴MM1=BB1且MM1∥BB1,∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)證法一:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同,∴∠BMC=∠B1M1C1.證法二:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1=BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1=CM.又∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1,∴∠BMC=∠B1M1C1.跟蹤訓(xùn)練2解析:(1)證明:由已知FG=GA,F(xiàn)H=HD,可得GH綊12AD.又BC綊12AD,所以GH綊所以四邊形BCHG為平行四邊形.(2)共面.理由:由BE綊12AF,G為FA的中點(diǎn)知,BE綊FG所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,所以EF與CH共面.又D∈FH,所以C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面.例3【解析】(1)根據(jù)題目條件知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中,且沒(méi)有交點(diǎn),則兩直線“平行”,所以①應(yīng)該填“平行”;點(diǎn)A1,B,B1在一個(gè)平面A1BB1內(nèi),而C不在平面A1BB1內(nèi),則直線A1B與直線B1C“異面”.同理,直線AB與直線B1C“異面”.所以②④都應(yīng)該填“異面”;直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn),所以③應(yīng)該填“相交”.(2)直線a與c的位置關(guān)系有三種,如圖所示.直線a與c可能平行(如圖①所示),也可能相交(如圖②所示),還可能異面(如圖③所示).【答案】(1)①平行②異面③相交④異面(2)見(jiàn)解析跟蹤訓(xùn)練3解析:(1)如圖所示,正方體中與AB異面的棱有CC1,DD1,B1C1,A1D1.因?yàn)楦骼饩哂邢嗤奈恢?,且正方體有12條棱,排除兩棱的重復(fù)計(jì)算,所以異

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