二輪復(fù)習(xí)梳理糾錯(cuò)預(yù)測(cè)學(xué)案十二不等式選講（文）

專題12不等式選講

命題趨勢(shì)

本部分主要考查均值不等式的應(yīng)用，含絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，恒成立問(wèn)題，利

用比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法證明不等式，柯西不等式的應(yīng)用等.總體而言難度不大.

知識(shí)點(diǎn)1.含絕對(duì)值不等式的解法

1.絕對(duì)值三角不等式

(1)定理I：如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+b|W|a|+網(wǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)ab20時(shí)，等號(hào)成立；

⑵性質(zhì)：|a|-聞W|a±b|W|a|+網(wǎng)；

(3)定理2:如果a,b,c是實(shí)數(shù)，則|a-c|W|a—果+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)20時(shí),等號(hào)成立.

2,絕對(duì)值不等式的解法

(1)含絕對(duì)值不等式⑶<a,|x|>a的解法

不等式a>0a=0a<0

|x|<a(x\—a<x<a]00

\x\>a{x\x>Q或％<—a}{x\x6R,且xH0}R

(2)|ax+b\<c(c>0)和|ax+b\>c(c>0)型不等式的解法

①|(zhì)ax+b\<c<=>—c<ax+b<c;

②+b\>c<=>ax+b>c或ax+b<-c.

(3)\x-a\+\x-b\>c(c>0)和-a\-i-\x-b\<c(c>0)型不等式的解法

解法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

解法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類(lèi)討論的思想；

解法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想.

知識(shí)點(diǎn)2:不等式的證明方法

1.基本不等式

定理一：設(shè)a,bER,則a2+b222ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

定理二：如果a,b為正數(shù)，則”NJ%,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

2

定理三：如果a,b,c為正數(shù)，則“+：+加互,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時(shí)，等號(hào)成立.

2.不等式的證明方法

(1)比較法

①作差比較：Q>b=a—b>0,a<h<=>a—d<0;

②作商比較：=。<。<0=@>1.

bb

(2)分析法：從待證的不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的

不等式；

(3)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過(guò)推理證明，推導(dǎo)出所要證明的不等式成

立；

(4)反證法

①作出與所證不等式相反的假設(shè)；

②從條件出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)論，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立.

(5)放縮法：要證a<b,可尋找合適的中間量c有a<c,c<b,從而證得a<b.

0精題集訓(xùn)

(70分鐘)

?經(jīng)典訓(xùn)練題

一、解答題.

1.已知函數(shù)f(x)=|2x-2|+|x-6|.

(1)求不等式/(x)>10的解集；

(2)記集合a={x|f(%)-V5a=0},若求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)或x>6}；⑵［V5,+oo).

【解析】(1)依題意|2x—Z+|x—6|>10.

一22

當(dāng)％<1,時(shí)，2—2x+6-x>10,則％<—,故不<—;

33

當(dāng)14工46時(shí)，2x-2+6-x>10,則％>6,無(wú)解；

當(dāng)x>6時(shí)，2%一2+工一6>10,則％>6,故x>6,

故不等式f(x)>10的解集為卜或x>6}.

(2)依題意，f(x)=45a,

-3x+8,x<1

而〃x)=|2x-2|+|x-6|=,x+4,l<x<6,

3%一8,x>6

則可知f(X)min=5,即“X)的值域?yàn)椋?,+8),

因?yàn)锳H0,故baZ5,則aN君,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［6,+oo).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對(duì)值為0時(shí)端點(diǎn)分段討論取絕對(duì)值進(jìn)行求解.

2.已知函數(shù)/(%)=3卜+1|+|3曾一2卜

(1)求不等式的解集；

(2)若關(guān)于久的不等式/(幻>21-9。恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)卜|—⑵,.

【解析】⑴f(x)<5,即為3|x+l|+|3x—2區(qū)5,

X<—1

等價(jià)于《或<或.

—3x—3—3x+2W5

3x+3—3x+2?53x+3+3x-245

2

解得一1W尤W4，

即不等式的解集為

(2)因?yàn)?(x)=3|x+l|+|3x-2|>|3x4-3-3x+2|=5,

2

當(dāng)且僅當(dāng)一1<x?§時(shí)取最小值，

所以由/(元)>2/一9〃恒成立，可得2/一9。<5,

1

即2。9~—9。一5<0,解得—<av5,

2

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[一;6].

【點(diǎn)評(píng)】絕對(duì)值不等式的解法：

法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想；

法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

3.已知函數(shù)f(x)=2\x-1|+|x+2|的最小值為tn.

(1)畫(huà)出函數(shù)/(x)的圖象，利用圖象寫(xiě)出函數(shù)最小值m;

(2)若Q,b,cGR,且a+b+c=?n,求證：ab+bc+caW3.

【答案】(1)圖象見(jiàn)解析，最小值為3；(2)證明見(jiàn)解析.

—3x,xv—2

【解析】⑴/(x)=2|x-l|+|x+2|=--x+4,-2<x<l,

3x,x>1

圖象如圖所示:

由圖可知當(dāng)X=1時(shí)/'(X)取得最小值m=3.

(2)由題意得a+b+c=3,

a,b,ceR,:.a2+b2>2ah,lr+C1>2hc,c2+a2>2ac,

三式相加并整理得a?+b2+c2>ab+be+ca,

兩邊同時(shí)加：2ab+2bc+2ca,并配方得(a+b+c)223(a6+be+ca),

?119>3(ab+be+ca),ab+be+ca<3成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)和利用基本不等式證明其它不等式，屬基礎(chǔ)題.畫(huà)圖象時(shí)關(guān)鍵是根據(jù)絕對(duì)

值得零點(diǎn)分段，然后分段繪制函數(shù)的圖象，證明不等式時(shí)要注意使用基本不等式，并注意時(shí)當(dāng)配湊，配方以便

使用已知條件證明結(jié)論.

―1111c

4.求證：記+齊+?++/<2-

【答案】證明見(jiàn)解析.

【解析】證明：因?yàn)閪4</I八二」"?一1

n~n(n-l)n-1n

一1111,1111

所以丁—7—7+,?-!--7<1H-----1-----1----+….+

I22232n21x22x33x4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了放縮法證明不等式，關(guān)鍵在于放縮的度的掌握，屬于中檔題.

5.若Q,&GR,ab>0,a24-b2=1.求證：--1--->1.

ba

【答案】證明見(jiàn)解析.

2

Q*b3_(/+)2)2_2crbI-2a2b2

【解析】—十—-2ab

baabababab

因?yàn)椤?+爐=122M，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，

所以

2

設(shè)ab=t,-2/(0</<-^),h'(t)=—2<0,

則無(wú)⑴在(0,；上單調(diào)遞減，所以/水)2〃(￡|=1,

所以當(dāng)0<。匕4,時(shí)，—-2ab>1,

2ab

a3檸,

所以丁+―21.

ba

【點(diǎn)評(píng)】證明不等式通常利用通分、因式分解、配方等變形，變形是為了更有利于判斷符號(hào).

6.已知函數(shù)/(#)=|%—2|+|燈.

(1)求不等式/(x)2x+2的解集；

(2)若函數(shù)f(x)的最小值為小，正數(shù)a,b滿足，+]=/〃，求翌二的最小值.

ab。+2。

【答案】⑴(F,0][4,+8);(2)最小值為1.

-2元+2,x<0

【解析】(1)f(x)=\x\+\x-2\=<2,0<x<2,

2x-2,x>2

x<00<x<2[x>2

由f(x)>%+2,得<<

-2x+22%+2[2>x+2[2x-2>x+2

解得x<?；?>4,

故不等式/"(x)2X+2的解集為(9,0][4,48).

(2)由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)，可知|x-2|+|x|2|(x-2)-x|=2,

當(dāng)且僅當(dāng)x(x-2)<0時(shí)取“=”號(hào)，

12

—h—=2,即b+2ci=2ab.

ab

a1+b2a2+b21(ab\1.lab,

------=------=--+—>-x2J----=1,

b+2a2ab2\baJ2\ba

當(dāng)且僅當(dāng)￡=一,即a=〃=；時(shí)取等號(hào)，

ba2

故的最小值為i.

b+2a

【點(diǎn)評(píng)】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件:

(1)“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積

的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求

的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

?高頻易錯(cuò)題

一、解答題.

1.已知函數(shù)/(x)=/+1,g(x)=\x-a\-\2x-1|,a-~-

1,7

(i)當(dāng)。=/時(shí)，解不等式g(d)<-2；

(2)對(duì)任意%i，x2GR,若不等式f(Xi)?g(X2)恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

13

【答案】⑴(F,-2)(2,”)；(2)-<a<^.

［解析］⑴當(dāng)a=1■時(shí)，g(x)=x-g-|2》一1|=一龍一；

71717

不等式即一/一<一即|12一>

解得/>4或V<-3(舍去),

由/>4,解得x<-2或x>2.

7

所以不等式g(尤2)<-5的解集是(f，-2)U(2,+8).

(2)由題意知，只需滿足/'(x)min>9(x)max即可.

???/(x)=X2+1,???/(x)min=1,

,1

x+a—1,x<一

2

依題意，當(dāng)a2g時(shí)，g(%)=■

—3x+〃+l,—WxWa

2

-x-a+l,x>a

由一次函數(shù)性質(zhì)知，g(x)在，8,；)上單調(diào)遞增，在8，1和(a,+o))上單調(diào)遞減,

13

由fOOmin>9(X)max)得124-],即。4/?

13

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是:<?<-?

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=f(x),x6[a,b],y=g(x),xe[c,d]

(1)若VX16[a,/?],VX2e[c,d],總有/'(xj<g(>2)成立，故/'(x)max<g(%2)min

(2)若\/久16[a,b],BX2e[c,d],有/'(xj<g(%2)成立，故/'(x)max<g(Z2)max；

(3)若三/6[a,b],3X2G[C,d],有/(/)<9(不)成立，故/'(x)min<g(x2)max；

(4)若Vx】e[a,b],3X2e[c,d],有"xi)=g(X2),則/'(x)的值域是g(x)值域的子集.

?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題

一、解答題.

1.已知函數(shù)/(x)=|x-4+X+，.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式/(x)>3的解集；

(2)若不等式/(x)2m2-m對(duì)任意實(shí)數(shù)x及a恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)[xlxv-?或x>：｝;(2)-l<m<2.

【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí)，不等式/(x)>3為卜―2|+x+g>3.

所以彳c1,或<，或〈/.\

X—2+Xd-->3二1c/1]o

22—x+x+—>3-(x-2)-[尤+萬(wàn)>3

39

解得x<一~7或，

44

綜上所述，不等式的解集為或

](11

(2)/(x)=|x-df|+x+—>(X-6Z)-x+—=Q+

而a+/=時(shí)+：>2^?|-|||=2,當(dāng)且僅當(dāng)|a|=1時(shí)等號(hào)成立.

即當(dāng)x和a變化時(shí)，f(x)的最小值為2,

因?yàn)椴坏仁?CO>m2-m對(duì)任意實(shí)數(shù)x及“恒成立,

.\2>m2—m,1<m<2.

【點(diǎn)評(píng)】本題是含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題；不等式的解集為R是指不等式的恒成立問(wèn)題，而不等式的解集0

的對(duì)立面(如/(x)>m的解集是空集，則/(x)<m恒成立)也是不等式的恒成立問(wèn)題，此兩類(lèi)問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化

為最值問(wèn)題，即/(x)<a恒成立oa>/(x)max，/(x)>a恒成立=a</(x)mjn.

2.設(shè)函數(shù)f(%)=A/%2—2ax+a24-yjx2—8%4-16(aH0).

(0當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/(%)<%的解集；

4

(2)若/(x)+l-,20恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)(3,5)；(2)(-a),0)U[l,-^).

5-2x,x<1

【解析】⑴當(dāng)a=l時(shí)，”力=上一1|+上一4|=3,1<%<4,

2元一5,x>4

當(dāng)無(wú)工1時(shí)，/(%)<%,無(wú)解；

當(dāng)1<%<4時(shí)，由/(%)<%,可得3VXV4;

當(dāng)無(wú)24時(shí)，由/'(%)<%,可得44工<5,

故不等式/(X)<X的解集為(3,5).

44

(2)因?yàn)閥(x)+i——NO恒成立，即/(切代之一―1,

'?'/(%)=|x-a|+1%-4|>|(%-a)-(x-4)|=|a-4|,

/.|tz-4|>--1.

aa

當(dāng)aV0或QN4時(shí)，不等式顯然成立；

4ci_

當(dāng)0<QV4時(shí)，4—Q2------,得Q?—5a+4<0,貝]I1WQV4,

a

故a的取值范圍為(—8,0)[1,+8).

【點(diǎn)評(píng)】絕對(duì)值不等式的解法，

法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想；

法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

3.已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-3|.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(x)的最小值；

(2)當(dāng)xe[a,2a-2]時(shí)，不等式“X)4X+5卜恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

5(12'

【答案】(1)最小值為不；(2)2,—.

2I5」

2—3x,xv—1

3

【解析】⑴當(dāng)。=1時(shí)，/(X)=|JC+1|+|2X-3|=<4-x,-\<x<^,

3x—2,x>一

2

由解析式可知，f(x)在(一8,-1)和-1,|上單調(diào)遞減，且在X=-l處連續(xù)，在(T,+s]上單調(diào)遞增，

3(3、55

故/⑶在工=不處取得最小值，且/5=5,所以八乃的最小值為

乙\乙j乙乙

(2)vxE[a,2a—2],???2Q—2>a,???a>2,

又x6[ci,2Q_2],x+a>0,2x—3>0,%4-5>0,

???/(%)W|x+5|=+a|+|2x—3|W|x+5|=%+Q+2%—3Wx+5.

即a4-2%+8在工€[a,2a-2]上恒成立，

令y=-2%+8在％E[Q,2Q-2]上單調(diào)遞減，ymin=4a+12,

12

Aa<-4a4-12,解得?！恫?，

綜上，a的取值范圍為(2,葭.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類(lèi)討論解絕對(duì)值不等式,含有絕對(duì)值的不等式的恒成立問(wèn)題，不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：

①分離參數(shù)a>/Xx)恒成立(a>/(x)max即可)或a<f(x)恒成立(a<f(x)min即可)；

②數(shù)形結(jié)合(y=f(x)圖象在y=g(x)上方即可)；

③討論最值"%)min或fGOmax恒成立.

4.設(shè)函數(shù)/(%)=|2%-1|一忱+1|+Q%,aGR.

(1)若a=g,求不等式/(x)>0的解集；

(2)若函數(shù)八久)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)(-應(yīng)。)($+8)；⑵(1,3).

【解析】(1)若a=g，不等式/。)>0,即|2x—1|—區(qū)+1|+；%>0,

r/I,1

x<-\-1<X<—

2

則1i或4

\72(l-2x)-(x+l)+-x>0

、2

f1

x>-

52

或j，

(2x-1)-(x+l)H—x>0

、2

4

解得工4—1或-1<%<0或x>一,

3

故原不等式的解集為(-8,0)1(g，+0C)

(2)由/(%)=\2x—1|—|x4-11+ax=0,得|2%—1|—|x4-1|=-ax,

2—x,x<-1

設(shè)8(工)=-11—|x+1|=*-3x,-1<x<—,/i(x)=—CLX,

x—2,x之一

2

在平面直角坐標(biāo)系中做出g(x)的大致圖象，如圖所示，

結(jié)合圖象分析，可知當(dāng)一3＜一。＜-1,即1VQV3時(shí)，

。(外、人(%)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

故函數(shù)f(x)恰有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3).

【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題：若方程可解，通過(guò)解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)

合思想的應(yīng)用.

5.已知函數(shù)/'(x)=|3-x|+|x-m|(m>2)的最小值為1.

(1)求不等式/(x)+|x-m|>2的解集；

3

(2)若/+2〃+3c?=-，〃，求ac+2bc的最大值.

2

【答案】⑴(-8,3)(￡,+，!；⑵3.

【解析】(1)-.1|3-x|4-|x-m|>|3-x+x-m|=|3-m|,

當(dāng)且僅當(dāng)(3-x)(x-m)L0時(shí),f(x)取得最小值|3-m|.

又■.?/■(X)=|3-x|+|x-m|的最小值為1,.'.|3-m|=1,

'：m>2,.'.m=4.

：.f(x)+|x-m|>2,等價(jià)于|x-3|+2憂一4|>2.

當(dāng)xW3時(shí)，所求不等式等價(jià)于-3x+11>2,解得x<3,符合題意；

當(dāng)3cx<4時(shí)，所求不等式等價(jià)于一方+5>2,解得x<3,與條件矛盾;

13

當(dāng)x24時(shí)，所求不等式等價(jià)于3刀-11>2,解得x>],符合題意，

綜上，原不等式的解集為(—8,3)

3

(2),,-771=4,cr+2b2+3c2=—m=6,

2

6=a2+2b2+3c2=a2+c2+2(h2+c2)>2(ac+2bc),

.'.ac+2bc<3.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=±1時(shí)，ac+2bc取得最大值3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想，在應(yīng)用

基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；

三相等一等號(hào)能否取得“，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

6.已知不等式-2|>3的解集與關(guān)于x的不等式/一ax一％>0的解集相同.

(1)求實(shí)數(shù)。，匕的值；

(2)求函數(shù)/(%)=八/「+匕屈右的最大值及取最大值時(shí)的“值.

【答案】(1)a=4,b=5；(2)x=19時(shí)，/(x)的最大值為41.

【解析】⑴由僅一2|>3,得x-2>3或x—2<-3,

即x>5或x<-1.

，不等式|x-2|>3的解集為{x|x>5或x<-1},

二不等式產(chǎn)-ax-b>。的解集為{x|x>5或x<-1};

從而—1,5為方程M—ax-b=o的兩根，

a=—1+5(a=4

：.■{，則《

-b=-lx5b=5

（2）因?yàn)楹瘮?shù)=+人屈二［的定義域?yàn)椋?,44］,

又a=4,b=5,

由柯西不等式可得：

/（x）=4Vj^+5j44-xWJ42+52+44T2=41-

當(dāng)且僅當(dāng)=4聞=即x=19時(shí)等號(hào)成立，

二/（X）max=41,此時(shí)x=19.

【點(diǎn)評(píng)】求解本題第一問(wèn)的關(guān)鍵在于利用絕對(duì)值不等式的解法求出不等式解集，再利用三個(gè)二次之間關(guān)系的求

解即可；第二問(wèn)求解時(shí)，只需直接利用柯西不等式求解即可，要熟記柯西不等式.

7.（1）比較2岔與m+1的大??；

（2）已知a>0,b>0,且a+b=l,證明：y/2a+2+y/2b+2<2V3.

【答案】（1）2V5>V10+1;（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】（1）因?yàn)椋?通產(chǎn)一（同+1）2=20-（11+2同）=9-2舊>0,

所以（2花/>（V10+1）2,

因?yàn)?b>0,V10+1>0,所以2通>>/TU+l.

（2）證明：因?yàn)閖3（2a+2）、3+；'+2=a+|（當(dāng)且僅當(dāng)