初中數(shù)學(xué)線段的長短比較-題型練習(xí)

專題4.3線段的長短比較-重難點(diǎn)題型

【人教版】

?亦*一史三

【知識(shí)點(diǎn)線段的長短比較】

（1）兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡稱：兩點(diǎn)之間，線段最短。

連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離。

（2）線段的中點(diǎn)：線段上的一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn).

【題型1線段的和差】

【例1】（2021?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，。是CB上一點(diǎn)，下列說法中錯(cuò)誤的是（）

I111

ACDR

A.CD=AC-BDB.CD=*BCC.CD=-BDD.CD=AD-BC

【解題思路】根據(jù)CD=BC-BD和CD=A￡>-AC兩種情況和AC=8C對各選項(xiàng)分析后即不難選出答案.

【解答過程】解：是線段的中點(diǎn)，

：.AC^BC=

A、CD=BC-BD=AC-BD，故本選項(xiàng)正確；

B、。不一定是8C的中點(diǎn)，故C0=^C不一定成立；

C、CD=BC-BD=^AB-BD,故本選項(xiàng)正確.

。、CD=A￡>-AC=AD-BC,故本選項(xiàng)正確;

故選：B.

【變式1-1］（2021秋?荔灣區(qū)期末）延長線段AB到C,使反向延長AC到。，使A￡>=基C,

若AB=8c，"，則CD=18cm.

【解題思路】根據(jù)題中線段的長度關(guān)系，即能求出CQ的長度.

【解答過程】解：如圖，BC=^AB=4,AC=AB+BC=S+4=\2cm,

1

AD=^AC=6,CD=AD+AC=12+6=\Scm.

故答案為18.

????

nARc

【變式1-2］（2021春?長興縣月考）如圖，在線段A8上有C、。兩點(diǎn)，CD長度為1cm,A8長為整數(shù)，

則以A,B,C,。為端點(diǎn)的所有線段長度和不可能為（）

?______________?_____?_____________?

ACDB

A.16cmB.21cmC.22cmD.31cm

【解題思路】根據(jù)數(shù)軸和題意可知，所有線段的長度之和是AC+CD+D3+AO+C8+AB,然后根據(jù)8=1,

線段A8的長度是一個(gè)正整數(shù)，可以解答本題.

【解答過程】解：由題意可得，

圖中以A,B,C,D這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB=

CAC+CD+DB）+（AD+CB）+AB^AB+AB+CD+AB^3AB+CD,

...以A、B、C、。為端點(diǎn)的所有線段長度和為長度為3的倍數(shù)多1,

...以A、B、C、。為端點(diǎn)的所有線段長度和不可能為21.

故選：B.

【變式1-3］（2021秋?天津期末）如圖，B,C兩點(diǎn)把線段分成2：5：3三部分，M為4。的中點(diǎn)，BM

=6cm.求CM和AC的長.

ABMCD

【解題思路】設(shè)A8=2XC〃7,BC=5xcm,CD=3xcm,求出AO=IOxcm,根據(jù)m為4。的中點(diǎn)求出AM=

DM=5xcm,列出方程，求出X,即可求出答案.

【解答過程】解：設(shè)AB=2xcw,BC=5xcm,CD=3xcm,

則AD=AB+BC+CD^lOxcm,

為AQ的中點(diǎn)，

2

：.AM=DM=^AD=5xcm9

'：BM=AM-AB=6cm,

5x-2x=6,

解得：x=2,

即AD=l(kc〃2=20cm,DM=5xcm=1Ocm,CD=3xcm=6cm,

??CM=DM-CD=10cm-6cm=4cm.

【題型2線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】

【例2】(2021春?松北區(qū)期末)如圖，點(diǎn)G是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，則下

列式子不成立的是()

AMGCN~~B

1

A.MN=GBB.CN"(AG-GC)

11

C.GN=^(BG+GC)D.MN=*Q4C+GC)

【解題思路】由中點(diǎn)的定義綜合討論，??驗(yàn)證得出結(jié)論.

【解答過程】解：A、I,點(diǎn)G是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是8C的中點(diǎn)，

：.GB=^AB,MC=^AC,NC=1?C,

：.MN=MC+NC=-AC+^/iC=^AB,

:.MN=GB,故A選項(xiàng)不符合題意；

B、?.?點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，

."G=BG,

：.AG-GC=BG-GC=BC,

1

■:NC=”C,

.,.7VC=1(AG-GO,故B選項(xiàng)不符合題意；

C、'：BG+GC=BN+NC+CG+GC=2CN+2CG=2GN,

:.GN=3(BG+GC),故C選項(xiàng)不符合題意；

。、,:MN='B,AB^AC+CB,

3

:.MN=3(AC+C8),

..?題中沒有信息說明GC=BC,

：.MN=i(AC+GC)不一定成立，故。選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【變式2-1](2021秋?邵陽縣期末)如圖，點(diǎn)C、力是線段4B上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)例是4c的中點(diǎn)，點(diǎn)N是

08的中點(diǎn)，若AB=a,MN=b,則線段C￡＞的長是()

111III

/MCDNB

1

A.2b-aB.2(a-h)C.a-hD.—(a+6)

2

【解題思路】先由AB-MN=a-b,得AM+BN=a-b,再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得AC+8O=2a-2b,最后由

CD=AB-(AC+BD)即可求出結(jié)果.

【解答過程】解：MN=b,

：.AB-MN=a-h,

:?AM+BN=a-b,

?.?點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是。8的中點(diǎn)，

：.AM=MC,BN=DN,

：.AC+BD^AM+MC+BN+DN^2(AM+BN)=2Ca-b)=2a-2b.

：.CD=AB-(AC+BD)=〃-(2a-2b)=26-a.

故選：A.

【變式2-2](2021秋?奉化區(qū)校級期末)兩根木條，一根長\Qcrn,另一根長12°",將它們一端重合且放

在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為()

A.\cmB.WemC.\cm或IlanD.2CMJ或Ilan

【解題思路】設(shè)較長的木條為A3,較短的木條為8C,根據(jù)中點(diǎn)定義求出8M、8N的長度，然后分兩種

情況：①BC不在A8匕時(shí)，MN=BM+BN,②2C在4?上時(shí)，MN=BM-BN,分別代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即

可得解.

【解答過程】解：如圖，設(shè)較長的木條為AB=12C/M,較短的木條為BC=10cm,

N分別為48、8c的中點(diǎn)，

BM~6cm,BN—5cm,

①如圖1,BC不在AB上時(shí)，MN=BM+BN=6+5=Hem,

4

②如圖2,8c在A8上時(shí)，MN=BM-BN=6-5=lcm,

綜上所述，兩根木條的中點(diǎn)間的距離是1。“或11a”，

故選：C.

II------------1II

AMBNC

圖1

IIa?，

4cMNB

圖2

【變式2-3](2021秋?江岸區(qū)校級月考)如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長線上，且線段MN=20,第一次操

作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)MLM；第二次操作：分別取線段AM1和4M的中點(diǎn)M2,M；第三

次操作：分別取線段AM2和4V2的中點(diǎn)M3,N3;……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的

所有線段之和M1M+M2N2+…+MioMo=()

~~K也芯M飛3^^M

1111inio10

A.20(-+—+—+?-?+—)B.20+與C.20-3D.20+3

2222321029210210

【解題思路】根據(jù)線段中點(diǎn)定義先求出MM的長度，再由MiM的長度求出M2N2的長度，從而找到

的規(guī)律，即可求出結(jié)果.

【解答過程】解：：線段MN=2O,線段AM和4N的中點(diǎn)Mi,M,

：.MiN\=AM\-AN\

=^AM-^AN

=2(AM-AN)

1

=*MN

1

=^x20

=10.

???線段AMi和AM的中點(diǎn)M2,N2；

:.M?N?=AM2-AN?

=^AMi-^ANi

=5(AM]-ANi)

5

=|A/INI

=1x1x20

=—yx20

22

=5.

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

1

MnN〃=/X20

/.MiN\+M2N2+,??+Mi0N10

1111

=2x20+-^2x20+x20+…+jox20

1111

=20(1+-7+―7+…+—TT)

22223210

故選：A.

【題型3線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】

【例3】(2021春?東平縣期末)如圖，已知AB和C。的公共部分BO=%B=/CD,線段AB,CO的中點(diǎn)

E,尸之間的距離是10?！?，則A8的長是12cm.

1nilI1

AEDBFC

【解題思路】設(shè)8D=x,則AB=3x,CZ)=4x,由中點(diǎn)的定義可得EF=9(3x+4x)=10,即可求解x值，

進(jìn)而可求得AB的長.

【解答過程】解：設(shè)

■:BD=！AB=1CD,

?"8=3x,CD=4xf

???線段A8,CD的中點(diǎn)E,尸之間的距離是10o〃，

EF=BE+BF=/8+-CD-BD=g(AB+CD)-BD=1(3.r+4.r)-x=10cm,

解得x=4,

.'.AB=3x=l2(cm).

故答案為12cM.

【變式3-1](2021春?奉賢區(qū)期末)如圖，已知8。=16c機(jī)，8。=|48,點(diǎn)C是線段8。的中點(diǎn)，那么AC

6

=32cm.

AD—C~B

【解題思路】先由BD=16cm,BD=鏟8知AB=|BD=40cw,再由點(diǎn)C是線段BD的中點(diǎn)知BC=^BD

=8的，根據(jù)AC=48-8c求解可得答案.

【解答過程】解：：BO=16C〃3BD=|AZJ,

.?.AB=|5D=|xl6=40(cw),

又：點(diǎn)C是線段BD的中點(diǎn)，

1

：.BC=^BD=Scm,

則4C=AB-8C=40-8=32(cm),

故答案為：32.

【變式3-2](2021秋?寶雞期末)如圖，P是線段48上一點(diǎn)，AB=ncm,M、N兩點(diǎn)分別從P、8出發(fā)以

lcm/s.3cvn/s的速度同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)(M在線段4P上，N在線段BP上)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為fs.

IIIII

AMP.VB

(1)若M、N運(yùn)動(dòng)Is時(shí)，且PN=34M,求AP的長；

(2)若M、N運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PN=3AM,4P的長度是否變化？若不變，請求出AP的長；若

變化，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，。是直線AB上一點(diǎn)，且AQ=PQ+8Q,求尸。的長.

【解題思路】(1)由AM+MP+PN+8N=A8,列出方程可求4W的長，即可求解；

(2)由線段的和差關(guān)系可求解；

(3)由題設(shè)畫出圖示，根據(jù)A。-8Q=PQ求得AQ=PQ+3Q；然后求得AP=8Q,從而求得尸。與AB

的關(guān)系.

【解答過程】解：⑴根據(jù)M、N的運(yùn)動(dòng)速度可知：BN=3cm,PM=\cm,

；AM+MP+PN+BN=AB,且PN=3AM,

...AM+1+3AM+3=12,

*.AP=3cmx

(2)長度不發(fā)生變化,

7

理由如下：

根據(jù)M、N的運(yùn)動(dòng)速度可知：BN=3PM,

;AM+MP+PN+BN=AB,且PN=3AM,

???4AA/+4PM=12,

?'.AP=3ctn,

(3)如圖：

?____?_______i______l

APQB

9：AQ=PQ+BQ,AQ=AP^PQ,

：.AP=BQf

：.PQ=AB-AP-BQ=6cm；

當(dāng)點(diǎn)0在A8的延長線上時(shí)，

AQ1-AP=PQf,

所以AQ'-BQ1=PQ=AB=\2cm.

綜上所述，PQ=6cin或12cm.

【變式3-3](2021秋?甘井子區(qū)期末)已知，點(diǎn)。是射線AB上的點(diǎn)，線段A8=4mBD=nAB(0<n<l),

點(diǎn)C是線段AQ的中點(diǎn).

(1)如圖1,若點(diǎn)。在線段AB上，當(dāng)a=l,時(shí)，求線段8的長；

(2)如圖2,若點(diǎn)。在線段AB的延長線上，當(dāng)時(shí)，求線段CC的長；(用含〃的式子表示)

(3)若點(diǎn)。在射線AB上，請直接寫出線段C￡>的長2”-2”“或2〃+2"4.(用含a和"的式子表示)

ACDBAC_BD~

圖1圖2

【解題思路】(1)根題意求得A8與8。的長，利用線段間數(shù)量關(guān)系求得的長，然后根據(jù)線段中點(diǎn)

定義求CO的長；

(2)解題思路同第(1)問；

(3)利用(1)(2)間的解題思路，分點(diǎn)。在線段AB和48延長線上兩種情況分類解答.

【解答過程】解：(1)'：a=l,n=\,

，4B=4a=4,

8

BD=nAB=夕8=2,

.*.A￡>=AB-80=4-2=2,

???點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，

：.CD=^AD=1.

(2)'：n=I，AB=4a,

1

：.BD=nAB=^AB=2af

AD=ABJfBD=4〃+2〃=6a,

1

：.CD=^AD=3a.

(3)①當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上時(shí)，

*：AB=4afBD=nAB=4ncb

：.AD=AB-BD=4a-4M

?，?CD=^AD=*(4a-4na)=2a~Ina.

②當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，

\'AB=4atBD=nAB=4na1

：.AD=AB+BD=4a+4naf

：.CD=^AD=1(4a+4na)=2a+2na.

綜上，線段CO的長為：2a-或24+2”a.

故答案為：2a-2na或2a+2na.

【題型4線段的數(shù)量關(guān)系】

【例4】(2021秋?江門期末)如圖，點(diǎn)B在線段4C上，。是AC的中點(diǎn).若BC=b,則BD=()

42BDc

111111

bbcb

----Q----Q-

2-2aB.222D.2

【解題思路】根據(jù)已知條件可得AC=A8+8C="+b,由。是AC的中點(diǎn)，可得CD=yC,由題意可知

BD=BC-CD,代入計(jì)算即可得出答案.

【解答過程】解：；AB=a,BC=b,

：.AC=AB+BC=a+b,

9

?.?。是AC的中點(diǎn)，

111

CD—=2。+36，

?：BC=b,

：.BD=BC-CD=b-（|cz+!b）=^b-|a.

故選：A.

【變式4-1］（2021秋?沙灣區(qū)期末）如圖，已知A,B,C,。是同一直線上的四點(diǎn)，看圖填空：AC=4B

+BC,BD=AD-AB,AC<AD.

~4RC5

【解題思路】從圖上可以直觀的看出各線段的關(guān)系及大小.

【解答過程】解：由圖可知各線段的關(guān)系為AC=AB+BC,BD^AD-AB,AC<AD.

故答案為A8；A8；AD.

【變式4-2］（2021春?萊陽市期末）線段AB的長為2c〃?，延長到點(diǎn)C,使AC=3AB,再延長8A到點(diǎn)

。，使BD=28C,則線段C￡>的長為12cm.

【解題思路】根據(jù)已知分別得出8C,的長，即可得出線段CD的長.

【解答過程】解：：線段A8=2tro,延長AB到C,使AC=348,再延長BA至Q,使8D=28C,

I______________II__________I

DABC

BC=2AB=4C〃3BD=4AB=8cni,

：.AD=BD-AB^3>AB=6cm

：.CD=AD+AB+BC=6+2+4=\2（cm）,

故答案為：12.

【變式4-3］（2021秋?成都期末）已知點(diǎn)C在線段AB上，AC=2BC,點(diǎn)。，E在直線AB上，點(diǎn)。在點(diǎn)E

的左側(cè).

若AB=15,DE=6,線段OE在線段AB上移動(dòng).

①如圖1,當(dāng)E為2c中點(diǎn)時(shí)，求AO的長；

②點(diǎn)尸（異于A,B,C點(diǎn)）在線段A3上，AF=3AD,CF=3,求AO的長；

?-------?-------0---1--??-------------?------?

ADCEBACB

圖1備用圖

【解題思路】根據(jù)已知條件得到8c=5,AC=\0,

10

①由線段中點(diǎn)的定義得到CE=2.5,求得8=3.5,由線段的和差得到AD=AC-8=10-3.5=65

②如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。的右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，由線段的和差即可得到結(jié)論；

【解答過程】解：??,4C=28CA3=15,

：.BC=5,AC=10,

①YE為BC中點(diǎn)，

：.CE=2.5,

,:DE=6,

，CD=3.5,

：.AD=AC-CD=10-3.5=6.5；

②如圖1,

?--------------?----------?------???

ADCEFB

圖1

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，

\"CF=3,BC=5,

：.AF=AC+CF=\3,

113

：.AD=^AF=~

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。的左側(cè)時(shí)，

??????

ADpECB

圖2

'.'AC=10,CF=3,

:?AF=AC-CF=1,

：.AF=3AD=7f

7

???AO=（；

137

綜上所述，AD的長為二或不

【題型5兩點(diǎn)之間線段最短】

【例5】（2021春?萊州市期末）如圖，A,。兩村相距6kmB,。兩村相距5Am.現(xiàn)要建一個(gè)自來水廠,

使得該廠到四個(gè)村的距離之和最小.下列說法正確的是（）

11

,C

B.

?D

A.自來水廠應(yīng)建在AC的中點(diǎn)

B.自來水廠應(yīng)建在8。的延長線上

C.自來水廠到四個(gè)村的距離之和最小為Wkm

D.自來水廠到四個(gè)村的距離之和可能小于

【解題思路】根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短；結(jié)合題意，要使自來水廠與四個(gè)村的距離之和最

小，就要使它在AC與8。的交點(diǎn)處.

【解答過程】解：如圖所示，連接AC,8。交于點(diǎn)E,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)E,連接AE1,BE,CE,DE,

'：AE+CE^AC,BE+DE^BD,

J.AE+CE+BE+DEBD+AC^Ukm,

當(dāng)自來水廠建在點(diǎn)E處時(shí)，來水廠到四個(gè)村的距離之和最小為Uh”,

【變式5-1］（2021秋?叢臺(tái)區(qū)校級期末）下列生活，生產(chǎn)現(xiàn)象：①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上；

②植樹時(shí)，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡

可能沿著直線AB架設(shè)；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程，其中可用“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋

的現(xiàn)象有（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

【解題思路】①②根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”解釋，③④根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解釋.

【解答過程】解：①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上，②植樹時(shí)，只要定出兩棵樹的位置，就能確

定同一行樹所在的直線根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，

故選：A.

12

【變式5-2]（2021秋?興義市期末）如圖，一只螞蟻從長方體的一個(gè)頂點(diǎn)4沿表面爬行到頂點(diǎn)C處，有多

條爬行線路，其中沿AC爬行一定是最短路線，其依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是兩點(diǎn)之間，線段最短.

【解題思路】根據(jù)連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短的公理解答.

【解答過程】解：???螞蟻從長方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿表面爬行到頂點(diǎn)C處有多條爬行線路，

只有4c是直線段，

...沿4C爬行一定是最短路線，其科學(xué)道理是：兩點(diǎn)之間，線段最短.

故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短.

【變式5-3]（2021秋?渠縣期末）知識(shí)是用來為人類服務(wù)的，我們應(yīng)該把它們用于有意義的方面.下面就

兩個(gè)情景請你作出評判.

情景一：從教室到圖書館，總有少數(shù)同學(xué)不走人行道而橫穿草坪，這是為什么呢？試用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來

說明這個(gè)問題.

情景二：A、B是河流/兩旁的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修一個(gè)抽水站向兩村供水，間抽水站修在什么地方

才能使所需的管道最短？請?jiān)趫D中表示出抽水站點(diǎn)尸的位置，并說明你的理由：

R?

你贊同以上哪種做法？你認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)為人類服務(wù)時(shí)應(yīng)注意什么？

【解題思路】因?yàn)榻虒W(xué)樓和圖書館處于同一條直線上，兩點(diǎn)之間線段最短；連接A8,使48兩點(diǎn)同在一

條直線上，與河流的交點(diǎn)既是最佳位置.

【解答過程】解：情景一：因?yàn)榻虒W(xué)樓和圖書館處于同一條宜線上，兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短;

情景二：（需畫出圖形，并標(biāo)明P點(diǎn)位置）

13

/p

理由：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短.

贊同情景二中運(yùn)用知識(shí)的做法.應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)為人類服務(wù)時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用數(shù)學(xué)不能以破壞環(huán)境為代價(jià).

【題型6兩點(diǎn)間的距離】

【例6】（2021秋?羅湖區(qū)校級期末）如果在數(shù)軸上的A、8兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)分別是x,y,且|x|=3,|y|

=1,則4,B兩點(diǎn)間的距離是（）

A.4B.2C.4或2D.以上都不對

【解題思路】先根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出x,y的值，再分兩種情況討論，當(dāng)x與），是同號(hào)時(shí)和x與y是異

號(hào)時(shí)，然后根據(jù)距離公式即可求出答案.

【解答過程】解：；兇=3,

.'.x=±3.

"1=1，

-*.y=±L

???當(dāng)x與y是同號(hào)時(shí)，A、8兩點(diǎn)間的距離是2；

當(dāng)x與y是異號(hào)時(shí)，A、8兩點(diǎn)間的距離是4：

；.A、B兩點(diǎn)間的距離是2或4；

故選：C.

【變式6-1］（2021秋?奉化區(qū)校級期末）如圖，已知點(diǎn)4、點(diǎn)8是直線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AB上，且

BC=4厘米.點(diǎn)P、點(diǎn)。是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)。的速度為2厘米/秒.點(diǎn)

P、。分別從點(diǎn)C、點(diǎn)8同時(shí)出發(fā)在直線上運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過多少時(shí)間線段P。的長為5厘米.

ACB1

【解題思路】由于8c=4厘米，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段尸。的長為

5厘米時(shí)，可分三種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)P向左、點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)；②點(diǎn)P、Q都向右運(yùn)動(dòng)：③點(diǎn)P、Q

都向左運(yùn)動(dòng)；④點(diǎn)P向右、點(diǎn)。向左運(yùn)動(dòng)；都可以根據(jù)線段PQ的長為5厘米列出方程，解方程即可.

【解答過程】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

①如果點(diǎn)尸向左、點(diǎn)。向右運(yùn)動(dòng)，由題意，得：f+2f=5-4,解得t=最

②點(diǎn)尸、Q都向右運(yùn)動(dòng)，由題意，得：2/-t=5-4,解得7=1；

14

③點(diǎn)P、。都向左運(yùn)動(dòng)，由題意，得：2「/=5+4,解得f=9.

④點(diǎn)P向右、點(diǎn)。向左運(yùn)動(dòng)，由題意，得：2t-4+t-5,解得r=3.

綜上所述，經(jīng)過1或1或3秒9秒時(shí)線段PQ的長為5厘米.

ACB1

【變式6-2］（2021秋?秦淮區(qū)期末）直線/上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C,若滿足BC=則稱點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于

點(diǎn)8的“半距點(diǎn)”.如圖1,BC=^AB,此時(shí)點(diǎn)C就是點(diǎn)4關(guān)于點(diǎn)B的一個(gè)“半距點(diǎn)”.

若M、N、P三個(gè)點(diǎn)在同一條直線加上，且點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，MN=6cm.

（1）MP=3cm或9cm；

（2）若點(diǎn)G也是直線團(tuán)上一點(diǎn)，且點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，求線段GN的長度.

ABC1

（圖1）

（備用圖）

【解題思路】（1）根據(jù)點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，可得PN=分兩種情況畫圖求解;

（2）根據(jù)點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，結(jié)合（1）分兩種情況即可求線段GN的長度.

【解答過程】解：（1）如圖所示：

,/點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，

：.PN=^MN,

?'：MN=6cm.PiN=3MN=3cm,

：.MP\=MN-P\N=3cm；

②,?MN=6cm.P2N=^MN=3cm,

MP2=MN+P2N=9cm；

；.MP=3cm或9cm；

故答案為：3CT7?或9；

15

-----------------------1-------------m

G2----------P2

(2)如圖所示：

①點(diǎn)G\是線段MPi的中點(diǎn)，

13

/.MG\=2MP\=臥HT,

:.G\N=MN?MG\=6*(cm)；

②點(diǎn)G2是線段MP2的中點(diǎn)，

19

??MG2=2Mp2=臥：〃2,

93

???G2N=MN-MG2=6-2=]Gm).

93

線段GN的長度為一cm或；cm.

22

【變式6?3】(2021秋?姜堰區(qū)期末)如圖，點(diǎn)。在線段上，AC=6cni,CB=4c〃z,點(diǎn)M以lc〃?/s的速

度從點(diǎn)A沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N以2ca/s從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上做來回往返運(yùn)動(dòng)(即沿

C-C->8—…運(yùn)動(dòng))，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為fs.

(1)當(dāng)1=1時(shí)，求MN的長；

(2)當(dāng)[為何值時(shí)，點(diǎn)。為線段MN的中點(diǎn)？

(3)若點(diǎn)尸是線段CN的中點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)間段，使PM的長度保持不變？如

果存在，求出PM的長度；如果不存在，請說明理由.

????????

AMCNBACB

備用圖

【解題思路】(1)當(dāng)f=l時(shí)，AM=\cm,CN=2cm,MN=7cm；

(2)由題意，得：AM=tcm,MC=(6-r)cm,根據(jù)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動(dòng)，可得

0W/W6,分三種情況：①當(dāng)0W/W2時(shí)，點(diǎn)N從C向8運(yùn)動(dòng)，可求得1=2；②當(dāng)2V/W4時(shí)，點(diǎn)N從3

向C運(yùn)動(dòng)，求出，=2不合題意；③當(dāng)4V/W6時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng),可求得f=竽；

(3)存在某個(gè)時(shí)間段，使PM的長度保持不變，與(2)一樣分三種情況分別探究即可.

【解答過程】解：(1)當(dāng)，=1時(shí)，AM=\crnfCN=2cm,

：.MC=AC-AM=6-1=5(cm),

:?MN=MC+CN=5+2=7Cem）；

16

(2)由題意，得：AM=tan,MC=(6-f)cm,

???點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動(dòng)，

①當(dāng)0WfW2時(shí)，點(diǎn)N從C向8運(yùn)動(dòng)，CN=2tcm,

???點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)，

:.MC=CN,即6-f=2f,

解得:t—2；

②當(dāng)2<7W4時(shí)，點(diǎn)N從8向C運(yùn)動(dòng)，BN=(2/-4)cm,CN=4-(2/-4)=(8-2t)cm,

???點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)，

：.MC=CN,BP6-r=8-2t,

解得：f=2(舍去)；

③當(dāng)4<7W6時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，CN=(2r-8)cm,

:點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)，

：.MC=CN,即6-r=2f-8,

解得：仁竽；

綜上所述，當(dāng)f=2或m時(shí)，點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn).

(3)如圖2,①當(dāng)0WfW2時(shí)，點(diǎn)N從C向B運(yùn)動(dòng)，CN=2tcm,

二?點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，

:.CP=^CN—tcm,

：.PM=MC+CP=6-t+t=^6cm,此時(shí)，PM的長度保持不變；

②當(dāng)2<7V4時(shí)，點(diǎn)N從8向C運(yùn)動(dòng)，CN=(8-2r)cm,

?.?點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，

11

：.CP=^CN=1(8-2/)=(4-r)cm,

：.PM=MC+CP=6-t+(4-/)=(10-2Z)cm,此時(shí)，PM的長度變化；

③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N從C向8運(yùn)動(dòng)，CN=(2z-8)cm,

:點(diǎn)尸是線段CN的中點(diǎn)，

11

：.CP=^CN=^(2r-8)=(r-4)cm,

17

：.PM=MC+CP=6-t+（/-4）=2cm,此時(shí)，RW的長度保持不變：

綜上所述，當(dāng)0W/W2或4W/W6時(shí)，使PM的長度保持不變；PM的長度分別為6c,"或2cm.

??????

AMCPNB

圖2

AMCNB

圖1

【題型7簡單的線段的長短比較】

【例7】（2021秋?攀枝花校級期中）從A地到8地有兩條路，第一條從A地直接到B地，第二條從A地

經(jīng)過C,。到B地，兩條路相比，第一條的長度=第二條的長度（填）

【解題思路】由圖可得，大圓的直徑為小圓直徑的3倍，根據(jù)周長C=Tid求出半圓的周長，然后對兩個(gè)

路徑進(jìn)行比較即可.

【解答過程】解：設(shè)小圓的直徑為“，則大圓的直徑為3d,

則第一條線路的長度為：Tr?3d+2=1.5m/,

第二條線路的長度為：3伍/+2=1.5丘4,

故這兩條線路長度一樣.

故答案為：=.

【變式7-1］（2021秋?雙流區(qū)期末）體育課上，小明在點(diǎn)。處進(jìn)行了四次鉛球試投，鉛球分別落在圖中的

M,N,P,。四個(gè)點(diǎn)處，則表示他最好成績的點(diǎn)是（）

A.MB.NC.PD.Q

【解題思路】比較線段OM、ON、OP、OQ的長短即可.

【解答過程】解：由點(diǎn)M、N、P、。所在扇形區(qū)域中的位置可知，

OP>ON>OQ>OM,

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故選：c.

【變式7-2］（2021秋?南海區(qū)期末）我們知道，比較兩條線段的長短有兩種方法：一種是度量法，是用刻

度尺量出它們的長度，再進(jìn)行比較；另一種方法是疊合法，就是把其中的一條線段移到另一條線段上去，

將其中的一個(gè)端點(diǎn)重合在一起加以比較.

I____________________________________I________________________II1111

ACBADCEB

圖①國②

（I）已知線段AB,C是線段AB上一點(diǎn)（如圖①）.請你應(yīng)用疊合法，用尺規(guī)作圖的方法，比較線段

AC與BC的長短，并簡單說明理由（要求保留作圖痕跡）；

（2）如圖②，小明用刻度尺量得AC=4cm,8c=3cw,若。是AC的中點(diǎn)，E是2C的中點(diǎn)，求。E的

長.

【解題思路】（1）先以點(diǎn)A為圓心，以8c的長為半徑畫圓，此圓與直線A8相交于點(diǎn)8',則線段A8'

的即為線段8c的長：

（2）先根據(jù)〃是AC的中點(diǎn)，E是8C的中點(diǎn)求出C。及CE的長，故可得出結(jié)論.

【解答過程】解：（1）如圖所示：

AIj*CB.

（2）?.?AC=4cro,BC^3cm,。是AC的中點(diǎn)，E是8c的中點(diǎn)，

CD=C=x4=2cin,CE=±8C=X3=1.5CVM,

DE=CD+CE^2+1.5=3.5a”.

【變式7-3］（2021秋?寧波期末）已知數(shù)軸上的三點(diǎn)A、B、C所對應(yīng)的數(shù)a、b、c滿足a<b<c、abc<0

和a+Hc=0.那么線段AB與BC的大小關(guān)系是（）

A.AB>BCB.AB=BCC.AB<BCD.不確定的

【解題思路】先根據(jù)a<b<c、岫cVO和“+b+c=0判斷出a、b、c?的符號(hào)及關(guān)系，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間

的距離比較出線段AB與BC的大小即可.

【解答過程】解：'：a<b<c,abc<0,a+b+c=O,

：.a<0,b>0,c>0,|a|=6+c,

.\AB=\a-b\=b-a>\a\,BC=\b-c\=c-h<\a\,

：.AB>BC.

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故選:A.

【題型8與線段的長短比較有關(guān)的應(yīng)用】

【例8】（2021秋?南沙區(qū)期末）如圖，某工廠有三個(gè)住宅區(qū)，A、B、C各區(qū)分別住有職工15人、20人、

45A,且這三個(gè)區(qū)在一條大道上（4、B、C三點(diǎn)共線），已知AB=1500機(jī)，BC=1000m,為了方便職工

上下班，該工廠打算從以下四處中選一處設(shè)置接送車?？奎c(diǎn)，為使所有的人步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最

小，那么該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）

D

????

ABC

住宅區(qū)住宅區(qū)住宅區(qū)

A.A住宅區(qū)B.B住宅區(qū)

C.C住宅區(qū)D.B、C住宅區(qū)中間。處

【解題思路】根據(jù)題意分別計(jì)算?？奎c(diǎn)分別在各點(diǎn)時(shí)員工步行的路程和，選擇最小的即可解答

【解答過程】解：當(dāng)?？奎c(diǎn)在A區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程和是：20X1500+45X2500=142500m；

當(dāng)停靠點(diǎn)在8區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程和是：15X1500+45X1000=67500〃?；

當(dāng)?？奎c(diǎn)在C區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程和是：15X2500+20X1000=57500〃?；

當(dāng)?？奎c(diǎn)在。區(qū)時(shí)，設(shè)距離8區(qū)x米，

所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程和是：15X（1500+x）+20X+45（1000-x）=-10x+67500,

由于k=70,所以，x越大，路程之和越小，

/.當(dāng)?？奎c(diǎn)在C區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程和最小.

故選：C.

【變式8-1］（2021秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，在公路MN兩側(cè)分別有Ai,A2…A7,七個(gè)工廠，各工廠與

公路（圖中粗線）之間有小公路連接.現(xiàn)在需要在公路上設(shè)置一個(gè)車站，選擇站址的標(biāo)準(zhǔn)是“使

各工廠到車站的距離之和越小越好”.則下面結(jié)論中正確的是（）

①車站的位置設(shè)在C點(diǎn)好于B點(diǎn)；

②車站的位置設(shè)在B點(diǎn)與C點(diǎn)之間公路上任何一