2023新教材高中數(shù)學(xué)第7章隨機變量及其分布章末綜合提升教師用書新人教A版選擇性必修第三冊

第7章隨機變量及其分布章末綜合提升類型1條件概率條件概率是概率的重要內(nèi)容之一，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．在高考中經(jīng)常涉及，一般以選擇和填空的形式考查，試題難度不大，屬基礎(chǔ)題．求條件概率的常用方法為：(1)定義法，分別求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)．(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)．【例1】壇子里放著7個大小、形狀相同的鴨蛋，其中有4個是綠皮的，3個是白皮的，如果不放回地依次拿出2個鴨蛋，求：(1)第1次拿出綠皮鴨蛋的概率；(2)第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率．[解]設(shè)“第一次拿出綠皮鴨蛋”為事件A，“第2次拿出綠皮鴨蛋”為事件B，則“第一次和第二次都拿出綠皮鴨蛋”為事件AB．(1)從7個鴨蛋中不放回地依次拿出2個的事件數(shù)為n(Ω)＝Aeq\o\al(2,7)＝42．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n(A)＝Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,6)＝24，∴P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(24,42)＝eq\f(4,7)．(2)因為n(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(12,42)＝eq\f(2,7)．法一：第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(2,7)÷eq\f(4,7)＝eq\f(1,2)．法二：因為n(AB)＝12，n(A)＝24，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2)．類型2離散型隨機變量的期望與方差期望與方差是概率統(tǒng)計中的兩個重要概念．常與實際問題相結(jié)合，綜合考查學(xué)生的應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．試題難度為中檔，解決該類問題的方法和步驟為：【例2】隨著社會的發(fā)展，家用轎車已經(jīng)走進千家萬戶．某品牌汽車4S店舉辦國慶大促銷活動．規(guī)定在本店交兩萬元購車定金的客戶都可以參加抽獎活動．抽獎活動規(guī)則：在一個不透明的盒子中現(xiàn)場放入大小完全相同的1個紅球與4個白球共5個球，充分?jǐn)嚢杈鶆?，客戶從中隨機取出1個球，如果取出紅球即為第1次摸球中獎，停止摸球；否則把球放回充分?jǐn)嚢瑁缓笤購闹须S機取出1個球，如果取出紅球即為第2次摸球中獎，停止摸球；以此類推最多4次摸球，無論中不中獎都停止摸球．活動并且規(guī)定第1次摸球中獎獲獎金2000元，第2次摸球中獎獲獎金1000元，第3次摸球中獎獲獎金500元，第4次摸球中獎獲獎金300元，直到第4次摸球不中獎，獲參與獎獎金100元．若某客戶甲參加了此次交定金購車摸獎活動，問：(1)記事件A為“客戶甲一共摸了4次球”，求事件A發(fā)生的概率；(2)若該客戶參加此次抽獎活動獲得的獎金為X元，求X的分布列及均值．[解](1)由題意可得每次摸得紅球中獎事件的概率為eq\f(1,5)，不中獎概率為eq\f(4,5)，每次摸球中獎相互獨立，∵A＝{客戶甲一共摸了4次球}，說明前3次摸球都未摸得紅球，∴P(A)＝eq\f(4,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(64,125)．(2)由題意知X的所有可能取值為：100，300，500，1000，2000；P(X＝100)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(4)＝eq\f(256,625)，P(X＝300)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,5)＝eq\f(64,625)，P(X＝500)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,5)＝eq\f(16,125)，P(X＝1000)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(4,25)，P(X＝2000)＝eq\f(1,5)．∴X的分布列為X10030050010002000Peq\f(256,625)eq\f(64,625)eq\f(16,125)eq\f(4,25)eq\f(1,5)E(X)＝100×eq\f(256,625)＋300×eq\f(64,625)＋500×eq\f(16,125)＋1000×eq\f(4,25)＋2000×eq\f(1,5)＝eq\f(17392,25)＝695.68．類型3n重伯努利試驗與二項分布n重伯努利試驗和二項分布是概率中的重要模型，是學(xué)習(xí)方差、均值的基礎(chǔ)．是高考中?？純?nèi)容，以選擇、填空的形式出現(xiàn)．有時在解答題中有所涉及，題目難度不大，屬低檔題，二項分布的實際應(yīng)用是常考題型，解題思路為(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機變量．(2)分析出隨機變量服從二項分布．(3)找到參數(shù)n(試驗的次數(shù))和p(事件發(fā)生的概率)．(4)寫出二項分布的分布列．【例3】甲、乙兩隊參加世博會知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為eq\f(2,3)，乙隊中3人答對的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各人答對與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊的總得分．(1)求隨機變量ξ的分布列；(2)設(shè)C表示事件“甲隊得2分，乙隊得1分”，求P(C)．[解](1)由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，故ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)(2)甲隊得2分，乙隊得1分，兩事件相互獨立，由(1)得，甲隊得2分的概率P(ξ＝2)＝eq\f(4,9)，乙隊得1分的概率P＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,18)．根據(jù)獨立事件概率公式得，“甲隊得2分，乙隊得1分”的概率P(C)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,18)＝eq\f(10,81)．類型4正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布是概率統(tǒng)計的重要內(nèi)容，也是高考的重要內(nèi)容．既可以以選擇題、填空題的形式單獨考查，難度較小，又可以與離散型隨機變量的均值、方差及實際應(yīng)用問題綜合考查，難度中等偏上．求正態(tài)分布的概率主要有兩種方法：(1)注意“3σ原則”的應(yīng)用．記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率．(2)注意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運用對稱性結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點問題．【例4】某學(xué)校高三2500名學(xué)生第二次模擬考試總成績服從正態(tài)分布N(500，502)，請你判斷考生成績X在550～600分的人數(shù)．