2021年浙江省高中競賽試題和解答

2021年浙江省高中競賽試題和解答

、選擇題1?集合AA.Ap|Bc.A解：因為2.當oA.f2(x)2021年浙江省高中競賽試題和解答

〔本大題總分值

1,x,B

1時，f(x)

C.f(x)解：當0x又因為3?設解:f(x2

)f(x2)f(x)f2(x)1時"lgx2^2x2xxlgxlgx2lgx(2f(x)在［0,1］上有定義,1)函數(shù)f(xa)

時,

4.P為三角形ABC一定為(A.直角三角形;

解：因為PBBx

2

xx20

B.

An

Byy2D.A

B

yy1,或x2,因此有

36分，每題6分〕

xx那么以下大小關(guān)系正確的選項是〔

R,2或

y

B

x)x2lgx

要使函數(shù)

那么以下正確的選項是〔

,正確答案為A.

f(x2)f2(x)f(x)f(x2)

f(x2)f(x)f2(x)

x2

f2(x)

lgx0?因此f(x)

f(xa)f(x

f(xa)的定義域為

[a,1a]

應有a1a，即a

ABC內(nèi)部任一點〔不包括邊

界〕

a,1f(x2)

f2(x).

選C.

a)有定義，那么

a].當a0時,

a的取值范疇為

應有a1a，即

，且滿足

因此，選B.

(PBPA)(PB^A2PC)0,

那么△

等邊三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形

B,PBPA2PCCBCA，因此條件可改寫為AB(CBCA)

0.容

易得到此三角形為等腰三角形.因此選D.

5.xx2a2b21xa22abb2是偶函數(shù)，那么函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標的最

大值是〔

22由條件可知,a2b2

cos,bsin,那么

22

2abbcos2sincossin2cos2sin2,2.因此選A.

6.圓錐的軸截面SAB是邊長為底面內(nèi)〔包括圓周〕?假設AM

2的等邊三角形,

丄MP，那么

O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐P點形成的軌跡的長度為〔〕

A...7

解：建立空間直角坐標系.A(0,-1,0),

/3

B(0,1,0),S(0,0,、、3),M(0,0,),P(x,y,0)?因此有

2

AM(0,1,-^),MP

2(x,y,込由于AM丄MP，因此2

(0,1,(x,y,f)

0,即y;，此為P點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為

因此選

二、填空題〔此題總分值54分，每題9分〕

7.cos(、1x25x7x25x6)=

2

解：依照題意要求，x5x60,05x

71?因此有x25x71?因此cos(.1x25x7,x25x6)cos0因此答案為1.

a

當0當a4時，空集.a1時，有x2;

x1情形.現(xiàn)在不等式為x2a因此有〔5分〕

當1a4時，有x2;當a4時，

〔10分〕

.x

x2

x2當a1〕一0時，有0a0「

0a0時，〔4〕可得2

xx2

x

0時，有xR;當015?設非負等差數(shù)列an〔1〕假設m,n,

p

〔2〕假設

a503

的公差x2

a0時,4時，有

1時，有ax1；當a1時，空集.

空集.d0，記Sn為數(shù)列，且mn2p，那么丄

2021

1

1005,那么n1S2021

。

〔15分〕

an1Sn

a

4時，x1.…〔20分〕

4

的前n項和，證明:

2Sp;

〔1〕因為mn2p，因此m2n22p2,p2

mn

,a

ma

n

2ap

-

事實上，A

122021

10202111020212III102021

2021)

20211

1020212

1020213III102021

〔10分〕

從而有(ap)am?n.因為Sn

―噸n&

，因此有

22

n(n1)m(m1),SnSm(mn)ai

d22

nm2p,

2pa

d

........

2

2

2pa12p22pd2Sp

n(aian)m(aiam

)mna2

a(aa)aa

a1

ai(aman)aman

224

2021

1

20212021

—

10052021.............................

..............〔20分〕

n1Sn

S

I004

1004

四、附加題〔本大題總分值50分?解承諾寫出文字講明，證明過程或演算步驟.

選考B卷的學生

選做本大題，不計入總分.〕

16?設1,2,|||,2021為2021個整數(shù)，且1i9〔i1,2^1,2021丨.假如存在某個

k{1,2,川,2021}，使得2021位數(shù)kk；|||20211川k1被101整除，試證明：對一切

ii1川20211川i1均能被

101

整除?

〔5分〕

SnSm

2

p4

2a

1

2qap

apap

2

P@1ap)

2

2

Sp

因此

1

Sm

1Sm&

2Sp2SnSmS

n

SpSpSp

〔10分〕

2021

1

11

11

〔2]

n1Sn

S1

S

2021

S?

S2021

2*100312021

S1004

S1004

IO

11

S003

S1005

1

S004

〔15分〕

又因為S10041004a1

10042021d