證明等式（共16篇）

證明等式（共16篇）篇：如何用配方法證明等式

如何用配方法證明等式

配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個最基本的數(shù)學(xué)方法,通過它對代數(shù)式的恒等變形,使許多復(fù)雜的問題得以簡單化.現(xiàn)在我們就用配方法來證明恒等式和條件等式.一、通過配方直接證明等式成立

例1求證

(a?b?c)(x?y?z)?(ax?by?cz)

?(bx?ay)?(cx?az)?(cy?bz)222222222

2證明左邊=(a2x2?a2y2?a2z2?b2x2?b2y2?b2z2?c2x2?c2y2

?cz)?(ax?by?cz?2axby?2axcz?2bycz)22222222

?bx?2axby?ay?cx?2axcz?az?cy?2bycz?bz

?(bx?ay)?(cx?az)?(cy?bz)***

所以左邊=右邊

即:(a?b?c)(x?y?z)?(ax?by?cz)

?(bx?ay)?(cx?az)?(cy?bz)2222222222

例2已知(c?a)2?4(a?b)(b?c)?0，求證a、b、c成等差數(shù)列（即證明a?2b?c?0）

證明c2?2ac?a2?4ab?4ac?4b2?4bc?0

c?4b?a?4ab?4bc?2ac?0

(a?2b?c)?0222

2?a?2b?c?0

?b?a?c

2所以a、b、c成等差數(shù)列

二、通過配方,把已知的等式化為幾個實數(shù)的平方和等于零的形式，就是說化為a2+b2+c2=0則

a=b=c=0從而從而使所求的等式成立．例3已知a、b、c、x、y、z都是非零實數(shù)，且a?b?c?x?y?z?ax?by?cz，求證xa?y

b?z

c22222

2222222證明由已知條件可以得到：a?b?c?x?y?z?2ax?2by?2cz?0

即：(x?a)?(y?b)?(z?c)?0222

?x?a?0?x?a

????y?b?0??y?b

?z?c?0?z?c??

而a、b、c都不等于零，所以

例4xa?yb?zc已知a、b、m、n都是正數(shù)，并且a4?b4?m4?n4?4abmn?0求證a?b?m?n

證明將已知等式的左邊進行配方可得：

a?2ab?b?m?2mn?n?2ab?2mn?4abmn?0422442242222

(a2?b2)2?(m2?n2)2?2(ab?mn)2?0

?a2?b2?0

?22??m?n?0

?ab?mn?0?

?a?b??a?b?m?n?a,b,m,n都是正數(shù)??m?n

?22?b?n?0

綜上所述，我們在解題過程中一方面要充分認識完全平方公式的特點(a?b)?a?2ab?b，然后逆用公式進行證明如例1和例2.另一方面也要利用它的非負222

性的性質(zhì)：(a?b)2?0當且僅當a=b時等號成立。通過添加適當?shù)捻棙?gòu)造出完全平方式進行等式的證明如例3和例4.第2篇：等式·

數(shù)學(xué)基本功

等式·文正書院·

定義與形式

定義：含有等號的式子叫做等式。形式：把相等的兩個數(shù)(或字母表示的數(shù))用等號連接起來。等式的性質(zhì)：

1.等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得的結(jié)果仍是等式。即，如果a=b，那么a+m=b+m，a－m=b－m；

2.等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能為零)，所得的結(jié)果仍是等

式。即，如果a=b，那么am=bm，ab?(m?0)；mm

3.如果a=b，則b=a，這是等式的對稱性；

4.如果a=b，b=c，則a=c，這是等式的傳遞性；

5.等式的兩邊同時乘方(或開方)，兩邊依然相等(在代數(shù)式有意義的情況下)。即，如果a=b，那么有a?b或a?b。擴展：

?等式兩邊取相反數(shù)，結(jié)果仍相等。如果a=b，那么－a=－b；

?等式兩邊不等于0時，兩邊取倒數(shù)，結(jié)果仍相等。如果a=b≠0，那么cc11?；ab?自反性：對任意量a，a=a。這個性質(zhì)通常在數(shù)學(xué)證明中作為中間步驟，尤其幾何證明中；

?約等于的符號是≈，由“約等于”永遠推導(dǎo)不出“等于”。?解方程

由于等式的性質(zhì)，才能可以導(dǎo)出解方程中的移項法則及去分母法則：

移項法則：將含未知數(shù)的項移到左邊，同時進行變號；常數(shù)項移到右邊，同時進行變號。(在等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或式，等式仍然成立。)

去分母法則：等式兩邊同時乘以所有分母的最小公倍數(shù)。(在等式的兩邊同時乘以或除以同一個數(shù)或式，等式仍然成立。)

?解不等式移項法則可無條件的運用于解不等式；

而去分母法則在被乘數(shù)或被除數(shù)為正時成立，為負時，則需改變不等號的方向。?分式的基本性質(zhì):

分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變。由此而產(chǎn)生了分式的約分與通分。?約分是為了簡潔代數(shù)式，通分是為了分式的加減運算。?約分是濃縮，通分是膨脹；

?約分與通分都是代數(shù)式的自我運算。第3篇：等式教案等式及其性質(zhì)

【內(nèi)容】

教科書第77頁例

1、例2.【教學(xué)目標】1?認識等式，說出等式的意義。2?知道等量并會從實際情境中找出等量。3?理解和掌握等式的基本性質(zhì)。4能對等式的性質(zhì)進行簡單應(yīng)用?！窘虒W(xué)重、難點】1?理解等式的意義。2?能從實際情境中找出等量并寫出等式。3理解等式的基本性質(zhì)及簡單應(yīng)用?！窘叹邷蕚洹空n件?！窘虒W(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入課件出示：

1、用含字母的式子表示數(shù)量關(guān)系。2、用含字母的式子表示數(shù)量關(guān)系書寫要求填空。學(xué)生獨立完成后匯報結(jié)果。師：通過剛才的練習(xí)，同學(xué)們都能含字母的式子表示數(shù)量關(guān)系，提問：生活中有沒有相等的數(shù)量關(guān)系呢？二、引入新課：

（一）等式的意義師：讓我們來看看云嶺小學(xué)組織五年級同學(xué)們清明節(jié)掃墓活動。課件出示主題圖。師：你都知道了哪些數(shù)學(xué)信息？生：五年級共有55名學(xué)生，中巴車上有17人，大巴車上有38人。分析數(shù)量關(guān)系，建立模型師：要表示中巴車上的人數(shù)，可以怎樣表示？生：可以用17表示。（師板書17人）師：還能用其他的方式表示中巴車上的人數(shù)嗎？同桌議一議。生：我們還可以用（55-38）人表示中巴車上的人數(shù)。師板書：（55-38）人。師：同學(xué)們真會動腦筋，用總?cè)藬?shù)-大巴車上的人數(shù)=中巴車上的人數(shù)。師：請觀察，（指板書）現(xiàn)在我們用了哪些方法可以表示“中巴車上的人數(shù)”？同桌交流。抽生匯報。生：中巴車上的人數(shù)可以用17人表示，還可以用（55-38）人表示。師：那它們的大小怎樣？生：大小相等。師小結(jié)：一個量可以直接表示出來，也可以通過另外的量間接表示出來，這里的17人和（55-38）人都表示的是中巴車上的人數(shù)。師：數(shù)學(xué)上把表示等量的數(shù)或式子可以用等號連接起來。在17和（55-38）之間加上等號。（板書：添等號）提問：還能找出哪些等量關(guān)系？學(xué)生交流，抽學(xué)生說。（55=17+38，38=55-17等）

師：用字母a表示中巴車上的人數(shù)，用b表示大巴車上的人數(shù)，又可寫出哪些等量關(guān)系呢？生：抽學(xué)生說，師：寫出等量關(guān)系。板書：表示相等關(guān)系的式子是等式。試一試，在實際生活情景中，找出等式。出示課件生：交流找出等式并板書出來。提問：你知道什么是等式了嗎？生：知道哪我們來看看是否掌握了呢？出示題，判斷下列哪些是等式？（題中表示不等關(guān)系的式子叫什么呢？不等式）（二）等式有什么性質(zhì)呢？同學(xué)們知道天平稱嗎？課件出示：天平，認識天平及天平原理。師：天平平衡，說明什么？生：說明左右兩邊的質(zhì)量相同。師：所以，可以用等式表示它們的關(guān)系。（板書：a=b）探索性質(zhì)1：

師：根據(jù)這幅圖，你能寫一個怎樣的等式？生：2a=b。課件出示：天平的左邊增加1個100g的物體，天平失去平衡。師：天平現(xiàn)在還是平衡的嗎？生：不是。師：現(xiàn)在你能找到等量關(guān)系嗎？生：不能找到。師：怎樣才能讓天平重新平衡呢？你能想出哪些方法？小組討論，請學(xué)生說一說想法。生1：可以在天平的右邊也放100g的東西，天平可能重新平衡。觀察天平你能寫出一個等式嗎？（能，2a+100=b+100）師：你發(fā)現(xiàn)了等式兩邊有什么變化？生：都加100，仍是等式。師：現(xiàn)在兩邊同時減100，天平平衡嗎？生：發(fā)現(xiàn)天平仍然平衡。師：你又能寫出一個等式嗎？（生：能，2a+100-100=b+100-100）師：觀察三個等式你發(fā)現(xiàn)等式有什么性質(zhì)？課件：出示等式性質(zhì)1探索性質(zhì)2：

師：右邊增加b后，天平平衡嗎？生：不平衡（右邊質(zhì)量是原來的2倍。）師：怎樣才能使天平平衡呢？生：左邊也放原來的2倍，天平就平衡。生：右邊增加后的質(zhì)量是原來的2倍。師：變化前和變化后，天平都處于平衡狀態(tài)，所以可以把這兩組算式用等號連接起來。教師板書：教師板書：2a×2=b×2師：你能得到什么結(jié)論呢？生：如果天平兩邊的質(zhì)量同時擴大2倍，天平依然平衡。師：如果同時擴大5倍、10倍、15倍呢？天平也平衡嗎？猜一猜。生：肯定也平衡。師：你們的猜測是正確的，只要兩邊同時擴大相同的倍數(shù)，天平仍然平衡。（課件出示）

師：剛才的實驗是“兩邊同時擴大相同的倍數(shù)”，這讓我想到了，假如兩邊同時縮小相同的倍數(shù)，天平也會平衡嗎？課件出示：兩邊同時縮小相同的倍數(shù)，天平也平衡。師：你發(fā)現(xiàn)等式又有什么性質(zhì)呢？生1：在等式的兩邊同時乘或同時除以一個相同的數(shù)，等式依然成立。師：在同時乘或除以一個數(shù)時，有沒有需要注意的地方？生2：除以的這個數(shù)不能為0。師：你提醒得很好。今天，我們通過大量的實驗，得到了這個非常重要的結(jié)論，它將為我們后面“方程”的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。指導(dǎo)學(xué)生勾出書上第78頁的結(jié)論，齊讀。師：這個結(jié)論就是“等式的性質(zhì)”。（板書）

鞏固應(yīng)用

課件出示：等式性質(zhì)簡單應(yīng)用

學(xué)生完成，抽學(xué)生說一說。課堂活動，根據(jù)時間情況安排。四、課堂小結(jié)：你有什么收獲或質(zhì)疑？1、等式意義

2、等式基本性質(zhì)。第4篇：幸福等式幸福等式

幸福=n+1=生活。幸福無處不在——有一個老太太，她的大兒子做了洗染店老板，小兒子做了雨傘店老板。老太太卻天天為他們憂慮：雨天，擔(dān)心洗染店衣服晾不干；晴天，生怕雨傘店雨傘賣不出??

摘不到的星星，總是最閃亮的；得不到的東西，總是最寶貴的。其實，老太太是幸福的，雨天，小兒子生意興隆；晴天，大兒子顧客盈門。這不就是一種令人滿足、向往的生活嗎？我們總是羨慕別人的幸福生活，便忽視了自己身邊的幸?！?/p>

學(xué)習(xí)=幸福

學(xué)習(xí)是幸福的，因為我們在汲取只是養(yǎng)分。或許有人覺得學(xué)習(xí)苦悶不堪，但人生就是一個不斷學(xué)習(xí)的過程。我們就像是一個方程式，而學(xué)習(xí)就是未知數(shù)“x”?！皩W(xué)到老，活到老”，我們不知道“x”是多少，也不知道要多久才能解開它?？赡苁俏覀儾欢忾_它，可能是我們不想解開它。我們永遠也離不開它，因為，學(xué)習(xí)給予我們養(yǎng)分，讓我們浸泡在無限幸福之中。助人=幸福

助人是幸福的，因為我們在奉獻愛心。助人有時候會“吃虧”，甚至惹來不必要的麻煩。但是，“吃小虧，賺大便宜”。助人不僅僅是付出，更是一種收獲。“贈人玫瑰，手有余香”。當我們付出的越多，內(nèi)心就越幸福。知足=幸福

知足是幸福的，因為你擁有的一切都是彌足珍貴的。永遠不要羨慕別人的生活，即使那個人看起來快樂富足。幸福，如人飲水，冷暖自知。所謂“知足者常樂”，懂得滿足自己的生活，也是一種幸福。生活=學(xué)習(xí)+助人+??=幸福

生活與幸福本就是一個等式，生活源于點點幸福，幸福源于種種生活。只要用心呼吸，身旁的空氣也充滿幸福的味道。旗峰中學(xué)初二:夢之彗星

第5篇：等式性質(zhì)4

教學(xué)內(nèi)容：等式的性質(zhì)（4）教學(xué)目標：

1.初步理解等式的性質(zhì)，學(xué)會用等式的性質(zhì)解ax±b=c這類形式的方程，能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系。2.通過分類、比較、轉(zhuǎn)化等方法，學(xué)會解形如ax±b=c這類方程。3.在教學(xué)活動中，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會檢驗的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。教學(xué)重點：會解形如ax±b=c這類方程。教學(xué)難點：會解形如ax±b=c這類方程。教學(xué)用具：多媒體課件等

教學(xué)方法：操作法，討論法，練習(xí)法教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)鋪墊，溫故引新。1.觀察信息，用方程表示下面的等量關(guān)系。先找出等量關(guān)系，再列方程并解答。2.解方程

12x=96x÷40=14

二、探索嘗試，解釋交流。1.回顧信息解決問題

（1）介紹東北虎有關(guān)信息（信息窗1）（2）提出問題

學(xué)生讀取有關(guān)東北虎的有關(guān)信息。學(xué)生提出：2003年繁育基地有多少只東北虎？2.思考交流探究方法（1）方程形式類比，引導(dǎo)知識遷移

提問：觀察這個方程的形式和前面學(xué)習(xí)過的方程有什么不同？你會計算嗎？自主探索解決問題的方法，找出等量關(guān)系，列出方程。3x+100=1000（2）運用轉(zhuǎn)化思想，嘗試解決新知。提問：能否用等式的性質(zhì)解這種形式的方程？怎樣算？（板書解方程書寫格式）學(xué)生獨立思考，嘗試解方程。在交流中明確，在解此類方程的過程中運用了兩次等式的性質(zhì)（3）檢驗方程結(jié)果，明確方程解法X=300是方程的解嗎？我們來檢驗一下方程。把x=300代入原方程板書檢驗格式

小結(jié)：解這種類型的方程，關(guān)鍵是要把看作是一個數(shù)，根據(jù)等式的性質(zhì)，先求出，再求出得多少。3.補充練習(xí)

根據(jù)剛才學(xué)過的方法，求出下面方程的解。1.2x-1.4=8.2提問：說說你是怎樣解方程的？應(yīng)該注意哪些問題？根據(jù)學(xué)生的回答，ax±b=c這類形式方程的解法。1.解方程

2+4x=3.68x+2=4.43x+1.5=62.5+10x=12.5讓學(xué)生說一說怎樣解方程？提示學(xué)生注意檢驗

2.根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列出方程并求出方程的解。（1）課本69頁自主練習(xí)第8題，先找出數(shù)量關(guān)系，列方程解答。（2）滇金絲猴體長約為80厘米，它的體長比間蜂猴的3倍多5厘米，間蜂猴的體長大約是多少厘米？列方程解決問題。說說你是怎樣想的?課堂總結(jié)：說一說這節(jié)課你有哪些收獲？板書設(shè)計：等式的性質(zhì)（4）

2003年的只數(shù)×3+100=2010年的只數(shù)

解：設(shè)2003年繁育基地有東北虎x只。3x+100=10003x+100-100=1000-1003x=9003x÷3=900÷3X=300教后反思：在本節(jié)課中，我引導(dǎo)學(xué)生用轉(zhuǎn)化的思想探究兩次運用等式的性質(zhì)求出方程的解的這一類方程題，學(xué)生在嘗試中，有的解出方程，但不敢肯定自己做的對還是不對，我又對他們說，有什么辦法能證明自己做的對不對呢？讓學(xué)生自己經(jīng)濟進行驗算。經(jīng)過驗算之后，知道自己做對了，學(xué)生那個嘗到了探

第6篇：會計等式教案

鄭州市經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)校

試講教案

會計等式

主講：嚴超

重點：會計等式的表達式難點：經(jīng)濟業(yè)務(wù)對會計等式的影響

一、會計基本等式：

（一）會計等式的概念：是指會計核算中反映各個會計要素數(shù)量關(guān)系的等式，又稱會計方程式或會計平衡公式。會計等式是對會計要素的性質(zhì)及相互之間的內(nèi)在經(jīng)濟關(guān)系所作的概括和科學(xué)的表達，是正確地設(shè)置賬戶、復(fù)式記賬、試算平衡、編制會計報表的重要理論依據(jù)。（二）會計基本等式：

概念：是指企業(yè)的資產(chǎn)與權(quán)益之間所存在的總額上必然相等的一種關(guān)系式，又叫會計恒等式。公式：資產(chǎn)=權(quán)益

資產(chǎn)=負債+所有者權(quán)益

原理：企業(yè)開展經(jīng)營活動，必須擁有一定的經(jīng)營資金，它的來源渠道有兩個：一個是企業(yè)的所有者投入的，叫所有者權(quán)益；另一個是由企業(yè)的債權(quán)人提供的，叫負債；二者合稱為權(quán)益。而經(jīng)營資金的運用形態(tài)則表現(xiàn)為五類資產(chǎn)。而同一部分經(jīng)營資金的來源與運用，其總額肯定相等，所以資產(chǎn)=負債+所有者權(quán)益。（此處可補充企業(yè)創(chuàng)建必須獲得法定資本金，才能夠成立為企業(yè)，因而必須得擁有一定數(shù)量的資金。）

作用：該等式反映的是資產(chǎn)、負債、所有者權(quán)益三個會計要素之間的聯(lián)系和基本數(shù)量關(guān)系，是企業(yè)財務(wù)狀況的表達式，是復(fù)式記賬、試算平衡和編制資產(chǎn)負債表的理論依據(jù)。二、會計基本等式的擴展：

（思路：此處引導(dǎo)學(xué)生思考，會計要素有六項，剛才介紹了三項要素之間的關(guān)系，那剩余的三項要素之間是否也存在一定的等式關(guān)系呢？通過提示“利潤”這一會計要素的含義即可得出如下內(nèi)容）收入—費用=利潤

（再次分析收入與費用的特性，得出）資產(chǎn)=負債+所有者權(quán)益+（收入—費用）資產(chǎn)=負債+所有者權(quán)益+利潤（—虧損）1鄭州市經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)校

試講教案

（過渡：剛才我們介紹了會計等式的組成內(nèi)容，其中有一個等式還稱之為會計恒等式，那么會計恒等式為何恒等呢？下面通過企業(yè)經(jīng)濟業(yè)務(wù)的發(fā)生類型，我們來觀察恒等式的恒等表現(xiàn)。）

三、經(jīng)濟業(yè)務(wù)對會計（恒）等式的影響：

（一）經(jīng)濟業(yè)務(wù)的類型：經(jīng)濟業(yè)務(wù)：即企業(yè)所發(fā)生的能以貨幣計量的經(jīng)濟活動，又叫會計事項。經(jīng)濟業(yè)務(wù)的類型，一般有以下四大類九小種：資產(chǎn)與權(quán)益同時增加。①資產(chǎn)與負債同增；②資產(chǎn)與所有者權(quán)益同增。資產(chǎn)與權(quán)益同時減少。①資產(chǎn)與負債同減；②資產(chǎn)與所有者權(quán)益同減。資產(chǎn)內(nèi)部一增一減。一項資產(chǎn)增加，一項資產(chǎn)減少。權(quán)益內(nèi)部一增一減。①一項負債增加，一項負債減少。②一項所有者權(quán)益增加，另一項減少。③一項負債增加，一項所有者權(quán)益減少。④一項負債減少，一項所有者權(quán)益增加。經(jīng)濟業(yè)務(wù)類型舉例：參考教材第17頁的華美公司2008年1月份經(jīng)濟業(yè)務(wù)。五、總結(jié)鞏固：會計等式是會計要素之間存在的關(guān)系式，而企業(yè)的任何一項經(jīng)濟業(yè)務(wù)的發(fā)生，都會引起會計要素的變動，因而了解會計等式，經(jīng)濟業(yè)務(wù)類型及其對會計等式的影響，是我們學(xué)習(xí)《基礎(chǔ)會計學(xué)》必須掌握的基礎(chǔ)知識，也是今后學(xué)習(xí)專業(yè)會計知識的基礎(chǔ)，必須準確清晰地掌握。六、布置作業(yè)：經(jīng)濟業(yè)務(wù)對會計恒等式有何影響？七、板書內(nèi)容：

會計等式

一、資產(chǎn)=負債+所有者權(quán)益（會計基本等式）

三、六大會計要素之間的關(guān)系

A、將兩個等式合并:

（一）會計恒等式

[資產(chǎn)=負債+所有者權(quán)益]+[收入-費

資金到哪里去=資金從哪里來用=利潤]

B、由于“利潤”可增加“所有者權(quán)益”，資產(chǎn)=權(quán)益

變化為:

資產(chǎn)=債權(quán)人權(quán)益+所有者權(quán)益資產(chǎn)=負債+所有者權(quán)益+利潤（凈收益）

（會計擴展等式）

資產(chǎn)=負債+所有者權(quán)益

或:資產(chǎn)=負債+所有者權(quán)益+（收入-費用）

（二）經(jīng)濟業(yè)務(wù)對會計恒等式的影響

資產(chǎn)=負債+所有者權(quán)益C、將上面B中的第一個公式移項即成:

資產(chǎn)+費用=負債+所有者權(quán)益+收入(資金運動的靜態(tài)表現(xiàn)）

二、收入-費用=利潤（資金運動的動態(tài)表現(xiàn)）

第7篇：第一章三角形的證明、第二章不等式練習(xí)題第一章三角形的證明、第二章不等式練習(xí)題

一選擇題：

1、如圖1給出下列四組條件：AD

①AB=DE，BC=EF，AC=DF

②AB?DE，?B??E，BC?EF；

③?B??E，BC?EF，?C??F；

BE④AB?DE，AC?DF，?B??E．圖

1其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（）

A．1組B．2組C．3組D．4組2、等腰三角形底邊長為7，一腰上的中線把其周長分成兩部分的差為3，則腰長是

（）

A、4B、10C、4或10D、以上答案都不對

3、如圖2，AE⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D為AB中點，有以下結(jié)論：(1)DE=AC；

(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE其中結(jié)論正確的是（）

A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)

4、下列不等式變形正確的是（）

A．由a?b，得ac?bcB．由a?b，得?2a??2b

C

．由，得?a??bD．由a?b，得a?2?b?

24、設(shè)“▲”、“●”、“■”分別表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平秤兩次，情況如圖所示，那么▲、●、■這三種物體按質(zhì)量從大到小排列應(yīng)為（）A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■圖

3圖2

5、已知不等式x?1?0，此不等式的解集在數(shù)軸上表示為（）

6、下列命題：①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；②等腰三角形兩腰上的高相等；③等腰三角形的最小邊是底邊；④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；⑤等腰三角形都是銳角三角形.其中正確的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個7.如圖3，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于點D，交AB于點E，如果cm，cm，那么△的周長是（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

8.等腰三角形的底邊長為a，頂角是底角的4倍，則腰上的高是（）

A.32aB.3aC.6a

D.2a

9、下列說法中，錯誤．．的是（）A.不等式x?2的正整數(shù)解中有一個B.?2是不等式2x?1?0的一個解

C.不等式?3x?9的解集是x??3D.不等式x?10的整數(shù)解有無數(shù)個10．如圖4示，一次函數(shù)y＝kx＋b（k、b為常數(shù)，且k?0）與正比例函數(shù)y＝ax（a為常數(shù)，且a?0）相交于點P，則不等式kx+b>ax的解集是（）

A．x>1B．x2D．x

2二、填空題

11、等腰三角形的兩邊長分別為5或6，則這個等腰三角形的周長是．12、已知函數(shù)y＝3－2x，當x＿＿＿＿＿時，y≤0．13、如圖5，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于點D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，則D到AB的距離為cm.14、如圖6，一次函數(shù)y?ax?b的圖象經(jīng)過A、B兩點，則關(guān)于x的不等式ax?b?0的解

集是．15、△ABC中，AM平分∠，cm，則點M到AB的距離是_________.16、如圖7，已知的垂直平分線

交于

點，則

.圖5圖7圖

4圖6

三、解答題

17、解不等式并把解集在數(shù)軸上表示出來。3x?2?1?2x??13x?22x

?15?3?

118、已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常數(shù))的解集是x＜3，求m。19、如圖⊿ABC中，∠ACB的平分線交AB于E，∠ACB的補角∠ACD的平分線為CG，EG∥BC交AC于F，EF會與FG相等嗎？為什么？20、有20名工人，每人每天加工甲種零件5個或乙種零件4個．在這20名工

人中，派一部分工人加工甲零件，其余的加工乙種零件．已知每加工甲種零件可獲利16元，每加工乙種零件可獲利24元．（1）寫出此車間每天所獲利潤y（元）與生產(chǎn)甲種零件人數(shù)x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式（用x表示y）．（2）若要使車間每天獲利不少于1800元，問最多派多少人加工甲種零件？21、一家小型放映廳的盈利額y（元）同售票數(shù)x（張）之間的關(guān)系如圖所示，其中保險部門規(guī)定：超過150人時，要繳納公安消防保險費50元。試根據(jù)關(guān)系圖，回答下列問題：（1）當售票數(shù)滿足0＜x≤150時，盈利額y（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式是___________；（2）當售票數(shù)滿足150＜x≤200時，盈利額y（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式是_____________；

（3）當售票數(shù)x為____________時，不賠不賺；當售票數(shù)x滿足_________時，放影廳要賠本；當售出的票數(shù)x為____________時，此放映廳能賺錢；（4）當售出的票數(shù)x為何值時，此時所獲得利潤比x＝150時多？22、某社區(qū)活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個羽毛球，供社區(qū)居民免費借用．該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標價均為30元，每個羽毛球的標價為3元，目前兩家超市同時在做促銷活動：A超市：所有商品均打九折（按標價的90%）銷售；B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球．設(shè)在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA（元），在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yB（元）．請解答下列問題：（1）分別寫出yA、yB與x之間的關(guān)系式；

（2）若該活動中心只在一家超市購買，你認為在哪家超市購買更劃算？（3）若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設(shè)計出最省錢的購買方案．23、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿過B點的一條直線BE折疊這個三角形，使C點與AB邊上的一點D重合．(1)當∠A滿足什么條件時，點D恰為AB的中點?寫出一個你認為適當?shù)臈l件，并利用此條件證明D為AB的中點；(2)在(1)的條件下，若DE＝1，求△ABC的面積．第8篇：等式性質(zhì)教學(xué)反思

《等式的性質(zhì)》教學(xué)反思

商丹高新學(xué)校張彥剛

《等式的性質(zhì)》這部分內(nèi)容是在學(xué)生已學(xué)用方程表示簡單情境中的數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過天平這一直觀教具，引導(dǎo)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)等式性質(zhì)，它是解方程的認知基礎(chǔ)，因此學(xué)習(xí)和理解等式的性質(zhì)就顯得尤為重要。根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)情，我將教學(xué)重點確定為：掌握等式的基本性質(zhì)；教學(xué)難點為：理解并掌握等式的性質(zhì)，能根據(jù)具體情境列出相應(yīng)的方程。一、成功之處

1.游戲熱身，點燃熱情。課堂開始，我設(shè)計了一個請學(xué)生用身體模仿天平的熱身游戲，伸開兩臂，猶如人體天平，我用課件給出天平兩邊不同的重量或是相同的重量，讓學(xué)生模仿不同的天平狀態(tài)，學(xué)生玩得高興，學(xué)得輕松，他們對天平只要兩邊重量相等才會平衡加深了認識。2.先扶后放，研究性質(zhì)。在教學(xué)中，我將等式的第一個性質(zhì)作為引導(dǎo)重點研究內(nèi)容，讓學(xué)生仔細觀察第一個天平圖，并說一說：通過圖你知道了什么？學(xué)生比較輕松觀察到：天平的左邊放了一把茶壺，右邊放了兩個茶杯，天平保持平衡，從而發(fā)現(xiàn)一個茶壺的重量=2個茶杯的重量。接著通過課件動態(tài)展示在天平的兩邊同時各放上一個茶杯，引導(dǎo)學(xué)生思考：此時天平會發(fā)生什么變化呢？為什么？你是怎么想的？通過一系列不斷追問，鼓勵學(xué)生完整說出自己的思考過程。然后課件動態(tài)再演示這一過程，接著提出不同的問題：如果同時加上兩個、三個、五個、六個同樣的茶杯，天平會怎樣呢？為什么？這樣學(xué)生有理有據(jù)地表述自己的觀點。同時引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建出天平與等式之間的聯(lián)系，將天平上的實物抽象到等式的計算中，從而一步步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，等式的兩邊相等”的性質(zhì)。然后再放手讓學(xué)生通過觀察、理解、操作，共同探索得出等式的第二個性質(zhì)：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，左右兩邊仍然相等。我盡可能地放手，給予適時地點撥，總結(jié)。在“為什么等式兩邊不能除以0？”這個問題時組織學(xué)生交流，使他們理解：0不能做除數(shù)。3.開放練習(xí)，激活思維。為了激活學(xué)生思維，我將鞏固練習(xí)設(shè)計為思維開放的題目，使學(xué)生積極主動思考。我設(shè)置了以下題目：

（1）如果2x-5=9,那么2x=9＋（）（2）如果5=10＋x,那么5x-（）=10（3）如果3x=7,那么6x=（）（4）如果5x=15,那么x=（）先讓學(xué)生回憶等式的性質(zhì)，再利用等式的性質(zhì)填空。對于不同層次的學(xué)生，他們的思維廣度和深度是不同的，做到了使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展。二、改進之處

1.在等式性質(zhì)的探究中，為了加強對比，我覺得應(yīng)該再增加在天平的兩邊同時加、減、乘、除去不同質(zhì)量的物品，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這時天平不平衡，通過這一層次的實驗，從而讓學(xué)生清楚地加深加上對“同一個數(shù)”的認識，進行更深入地思考。2.對于等式的性質(zhì)應(yīng)不僅僅停留在說的這一環(huán)節(jié)，而應(yīng)在實驗的基礎(chǔ)上讓學(xué)生靈活地運用字母表示數(shù)的知識，將等式寫出來加以表示，這樣不僅有效地訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)的思維，還使學(xué)生對等式的性質(zhì)有了更深一層的認識，為以后的學(xué)習(xí)做好鋪墊?？傊?，在課堂上我逐漸放手，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、驗證的過程，使他們不斷加深對等式性質(zhì)的理解，同時為后面學(xué)習(xí)解方程奠定良好的基礎(chǔ)。第9篇：如何解不等式

如何解不等式

①如果x>y，那么yy；②如果x>y，y>z；那么x>z；

③如果x>y，而z為任意實數(shù)或整式，那么x+z>y+z；④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，zy，z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y，zy，m>n，那么x+m>y+n。⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn。⑧如果x>y>0，那么x的n次冪>y的n次冪（n為正數(shù)）。不等式的特殊性質(zhì)有以下三種：

①不等式性質(zhì)1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；

②不等式性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；

③不等式性質(zhì)3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向變?？偨Y(jié)：當兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值；當兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值。證明方法比較法

①作差比較法：根據(jù)a-b>0?a>b，欲證a>b，只需證a-b>0；②作商比較法：根據(jù)a/b=1，當b>0時，得a>b，當b>0時，欲證a>b，只需證a/b>1，當b

由因?qū)ЧＷC明不等式時，從已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運用不等式性質(zhì)及適當變形推導(dǎo)出要證明的不等式.合法又叫順推證法或因?qū)Ч?。分析?/p>

執(zhí)果索因。證明不等式時，從待證命題出發(fā)，尋找使其成立的充分條件.由于”分析法“證題書寫不是太方便，所以有時我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用”綜合法“進行表述。放縮法

將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達到證題目的，已知A

證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式時，可用數(shù)學(xué)歸納法證之。用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法。反證法證明不等式時，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認的簡單事實相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法。換元法

換元的目的就是減少不等式中變量的個數(shù)，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。構(gòu)造法

通過構(gòu)造函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列、向量等來證明不等式。[1]重要不等式柯西不等式

柯西不等式的幾種變形形式

1.設(shè)xi∈R,yi>0(i=1,2,?,n)則，當且僅當bi=l*ai(i=1,2,3,?,n)時取等號。2.設(shè)ai，bi同號且不為零(i=1,2,?,n)，則，當且僅當b1=b2=?=bn時取等。證法

柯西不等式的一般證法有以下幾種：

①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數(shù)分別是ai,bi，則有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.我們令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)則我們知道恒有f(x)≥0.用二次函數(shù)無實根或只有一個實根的條件，就有Δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0.于是移項得到結(jié)論。②用向量來證。m=(a1,a2......an)n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/

2乘

以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．因為cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2，這就證明了不等式．柯西不等式的證明方法還有很多種，這里只取兩種較常用的證法?？挛鞑坏仁降膽?yīng)用柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學(xué)中應(yīng)給予極大的重視。例（巧拆常數(shù)）：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a、b、c均為正數(shù)∴為證結(jié)論正確只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>92(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又9=(1+1+1)(1+1+1)證

明

：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又a、b、c各不相等，故等號不能成立∴原不等式成立。[2]排序不等式

排序不等式又稱排序原理。而對于兩組有序的實數(shù)x1≤x2≤?≤xn，y1≤y2≤?≤yn，設(shè)yi1，yi2，?，yin是后一組的任意一個排列，記S=x1yn+x2yn-1+?+xny1，M=x1yi1+x2yi2+?+xnyin，L=x1y1+x2y2+?+xnyn，那么恒有S≤M≤L。當且僅當x1=x2=??=xn且y1=y2=??yn時，等號成立。即反序和≤亂序和≤順序和。例題例1判斷下列命題的真假，并說明理由。若a>b，c=d，則ac>bd(假，因為c，d符號不定)若a+c>c+b，則a>b；(真)若a>b且abb；(真)若|a|b2；(充要條件)說明：本題要求學(xué)生完成一種規(guī)范的證明或解題過程，在完善解題規(guī)范的過程中完善自身邏輯思維的嚴密性。例2a，b∈R且a>b，比較a3-b3與ab2-a2b的大小。(≥)說明：強調(diào)在最后一步中，說明等號取到的情況，為今后基本不等式求最值作思維準備。例3設(shè)a>b，n是偶數(shù)且n∈N*，試比較an+bn與an-1b+abn-1的大小。說明：本例條件是a>b，與正值不等式乘方性質(zhì)相比在于缺少了a，b為正值這一條件，為此我們必須對a，b的取值情況加以分類討論。因為a>b，可由三種情況(1)a>b≥0；(2)a≥0>b；(3)0>a>b。由此得到總有an+bn>an-1b+abn-1.通過本例可以開始滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想。第10篇：認識等式和方程

《認識等式和方程》教學(xué)設(shè)計

一、課前部分

（一）教材分析

此課是學(xué)生已學(xué)過整數(shù)四則運算法則和定律，掌握了用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，同時又是即將學(xué)習(xí)的“解方程”的基礎(chǔ)。教材提出了“觀察天平圖、用式子表示天平兩邊物體質(zhì)量關(guān)系”的要求。在學(xué)生觀察、按要求寫式子，以及對寫出的式子進行分析歸納的基礎(chǔ)上，認識等式和方程。（二）學(xué)生分析

生活中，學(xué)生已經(jīng)獲得了有關(guān)“輕重”直觀、具體的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，經(jīng)歷過對實際的量的比較活動；學(xué)生理解了用字母表示數(shù)的意義?？茖W(xué)課上學(xué)生用過天平，但在數(shù)學(xué)課上用天平還很少。學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述天平的等量關(guān)系時有困難；已有的解決數(shù)學(xué)問題的算術(shù)解法思路對列方程造成一定的干擾作用。學(xué)生對于利用天平解決實際問題較感興趣，對于從各種具體情境中尋找發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系并用數(shù)學(xué)的語言表達則表現(xiàn)出需要老師引導(dǎo)和同伴互助，需要將獨立思考與合作交流相結(jié)合。（三）教學(xué)目標

1、結(jié)合天平示意圖，在觀察、用式子表示數(shù)量關(guān)系、歸納、類比等活動中，經(jīng)歷認識等式和方程的過程。2、了解等式和方程的意義，能判斷哪些是等式、哪些是方程，能根據(jù)具體的情境列出方程。3、主動參與學(xué)習(xí)活動，獲得積極的學(xué)習(xí)體驗，激發(fā)學(xué)習(xí)新知識的興趣。（四）教學(xué)重點與難點：重點：認識等式和方程，能判斷哪些是等式、哪些是方程。了解等式和方程的意義。難點：理解等式和方程的關(guān)系。能根據(jù)具體情境列出方程。（五）教學(xué)策略1.學(xué)法

葉圣陶先生說過：“教是為了不教.”我們不僅要教給學(xué)生知識,更要教會學(xué)生如何去學(xué).因此,在學(xué)法中,讓學(xué)生通過“感知交流→觀察比較→得出概念→分析概念”的探究過程去發(fā)現(xiàn)新知,從而達到發(fā)展思維,提高能力的目的.2.教法

學(xué)習(xí)是學(xué)生自己進行知識建構(gòu)的過程.因此,根據(jù)教學(xué)目標的要求和學(xué)生實際,我采用以小組合作觀察探究為主,多媒體為輔的教學(xué)方式來培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力、觀察探究的能力以及分析解決問題的能力.（六）教學(xué)用具：簡易天平、砝碼、一袋80克砝碼，給每個學(xué)生準備帶有式子的小紙條。二、課堂系統(tǒng)部分——教學(xué)過程

一、謎語引入，激發(fā)興趣

謎語

一、像糖不是糖，不能用口嘗，幫你改錯字，紙上來回忙。謎語

二、一個小矮個，身上挑副擔(dān)，如果挑不平，頭偏心不甘。一個鐵漢挑扁擔(dān)，東西放在兩邊籃，生來個性最公道，偏心事兒總不干。（打一儀器）

［設(shè)計意圖：通過師生謎語的游戲，最大程度的調(diào)動學(xué)生好奇心，激發(fā)學(xué)習(xí)本課的興趣，拉近師生之間的距離。］

二、情景呈現(xiàn)，抽象模型1．師：老師這有一臺科學(xué)課上用的天平，關(guān)于天平，你們都了解些什么?2、師：課件出示老師使用天平的過程，天平由平衡（空天平）——不平衡（一端有物品）——平衡（兩端都有物品）。你看到了什么？天平平衡又說明了什么？師板書：天平平衡－－左邊右邊

［設(shè)計意圖：天平的呈現(xiàn)，讓學(xué)生認知從平衡-不平衡-平衡這一過程，通過三步教學(xué)設(shè)計，使每個學(xué)生都能充分意識到天平中存在著關(guān)系，特別是用等式來表示天平兩端平衡這一狀態(tài)，為進一步研究做好鋪墊。］三、探究新知活動一：感知平衡

1、出示天平，左右托盤內(nèi)均放著50克砝碼，天平處于平衡狀態(tài)。教師提問：現(xiàn)在，就請同學(xué)們看一看老師的天平，仔細觀察天平的狀態(tài)，說一說，你發(fā)現(xiàn)了什么？2、學(xué)生交流。3、教師小結(jié)：看來，天平的左右兩邊都是50克的砝碼，此時，就存在著一種平衡的關(guān)系。這種平衡的關(guān)系，就使得左右砝碼的質(zhì)量畫上了等號。看，我這兒有一些小米，我把它放進左邊的托盤內(nèi)，天平會怎樣？4、實際操作，引導(dǎo)學(xué)生用一個比較簡便的方式表示出小米和砝碼之間的關(guān)系。5、調(diào)節(jié)砝碼使天平再次平衡，并分別用式子表示。［設(shè)計意圖：天平的二次呈現(xiàn)，目的是讓學(xué)生通過自己的方式來描述等量關(guān)系，從而使得學(xué)生產(chǎn)生用字母表示未知數(shù)的需求，并且在各種方法的比較中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)用含字母的等式來表示等量關(guān)系的優(yōu)越性，為下一步教學(xué)打下基礎(chǔ)。］

活動二：分類，認識等式和方程

1、出示天平示意圖，學(xué)生寫式子。2、師：剛才我們通過操作和觀察示意圖得到了這么多的式子，那么你能用你喜歡的方法把它們分類嗎？3、學(xué)生分類。4、學(xué)生匯報不同的分類方法并貼在黑板上。5、教師梳理：綜合學(xué)生的分類標準，介紹等式和方程的概念，形成板書。［設(shè)計意圖：學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對式子進行比較、綜合、分析，讓學(xué)生根據(jù)不同的標準將這些式子分成幾兩類，然后不失時機地指出綜合學(xué)生的分類標準，從不同的維度深入領(lǐng)會等式和方程的內(nèi)涵，抽象概括出概念的本質(zhì)屬性，從而內(nèi)化方程的概念。這樣既清晰明了地揭示出概念的差別，又溝通了不同概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。同時，分類比較的過程將方程這一數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過程與數(shù)學(xué)認知過程自然地融合在一起，也效地滲透了分類的數(shù)學(xué)思想。］

6、教師提問：請同學(xué)們仔細觀察這一類式子（左上角的式子），并且畫上紅色。它們具備怎樣的特點？學(xué)生匯報，相機介紹方程的概念。7、教師總結(jié)：同學(xué)們真了不起，你們說的和數(shù)學(xué)家給出的定義一模一樣，出示方程的含義。（指名兩名同學(xué)讀）看來數(shù)學(xué)并不難，只要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，去探索，所有問題都會迎刃而解。8、播放錄音：方程的數(shù)學(xué)史。［設(shè)計意圖：在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史，有利于幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念、方法、思想的理解；有利于幫助學(xué)生體會活的數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力；有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們鍥而不舍的精神。］

三、深化概念、實際應(yīng)用

1.、試一試：判斷下面的式子，哪些是方程？哪些不是方程？為什么？師：通過這幾道題的練習(xí)，你對方程有了哪些新的認識？誰能用自己的話說說方程與等式的關(guān)系？并用集合圖表示。2、看圖列出方程。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)同一幅圖列出不同的方程。3、完成三四題。四、課堂總結(jié)。1、學(xué)生通過這節(jié)課談收獲。2、教師總結(jié)：其實，在數(shù)學(xué)的世界，還有好多我們沒見過的方程。（出示課件）它們帶領(lǐng)著人們探索更多的未知世界，把許多的未知慢慢的變成已知。就讓我們帶著對方程的好奇，去探索更多的數(shù)學(xué)奧秘吧?。墼O(shè)計意圖：呈現(xiàn)更多的方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)作適當?shù)劁亯|。］

三、課后系統(tǒng)部分——教學(xué)后記本課所體現(xiàn)的教育理念是要讓學(xué)生在廣泛的探究時空中，在民主平等、輕松愉悅的氛圍里，應(yīng)用已有知識經(jīng)驗，通過觀察比較、質(zhì)疑問難、釋疑解惑、合作交流，理解并掌握方程的意義，知道等式和方程之間的關(guān)系，并能進行辨析。使學(xué)生學(xué)會用方程表示具體甚或情境中的等量關(guān)系，進一步感受數(shù)學(xué)與生活之間的密切聯(lián)系。同時提高學(xué)生的觀察能力、分析能力和解決實際問題的能力。初步建立分類的思想。這節(jié)課改變了傳統(tǒng)的教法，從天平的平衡與不平衡引出等式，通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生去動腦筋思考，展示了學(xué)習(xí)的過程。學(xué)習(xí)的整個過程符合兒童認知發(fā)展的一般規(guī)律。從生活實際引進學(xué)生已有生活的經(jīng)驗，很自然地想到兩種不同情況，并用式子表示，引出等式；其中有含有未知數(shù)、不含未知數(shù)的兩種形式。體現(xiàn)“生活中有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)可以展現(xiàn)生活”這一大眾數(shù)學(xué)觀，也體現(xiàn)了科學(xué)的本質(zhì)是“來源于生活，運用于生活”。通過觀察，探尋式子特點，再把這些式子進行兩次分類，在分類中得出方程的意義，也看出了構(gòu)成方程的兩個條件，反映了認識事物從具體到抽象的一般過程。其中的觀察、比較、分類，也是人類學(xué)習(xí)的基本手段、方法。信任學(xué)生，充分發(fā)揮主體積極性。在教學(xué)過程中，放手讓學(xué)生把各自的想法用式子表示出來，展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果；學(xué)習(xí)小組互相交流、檢查，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的自主性；學(xué)習(xí)的過程、結(jié)果也由學(xué)生自己來體驗、評價，大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。創(chuàng)新是永恒的，數(shù)學(xué)教學(xué)需要不斷的革新，這樣的課堂教學(xué)體現(xiàn)了當前小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革和課堂教學(xué)改革的精神，注重從學(xué)生的生活實際出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生大量收集反映現(xiàn)實生活的“式子”，初步建立式子的觀念；再組織學(xué)生對這些式子進行比較、分類，逐步了解等式的意義；最后在對等式的去粗取精，對選定的素材通過觀察、比較，明確方程的所有本質(zhì)屬性。本課注重了概念教學(xué)的一般要求，對方程這一概念的本質(zhì)屬性的探索全部由學(xué)生主動進行，注重呈現(xiàn)形式，從細微之處顯示出教學(xué)的風(fēng)格。第11篇：等式性質(zhì)教案1

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2.1.2等式性質(zhì)（2）（第二課時）

【知識技能】（1）通過解一元一次方程進一步理解等式的性質(zhì)；

（2）會用等式的性質(zhì)解簡單的（兩次運用用等式的性質(zhì)）一元一次方程；；

（3）培養(yǎng)學(xué)生言必有據(jù)的思維能力和良好的思維品質(zhì)；；

（4）初步具有解方程中的“化歸”的能力．?！緮?shù)學(xué)思考】（1）初步體會有條理的推理；

（2）經(jīng)歷運用等式性質(zhì)解方程的過程，能有條理地闡述自己的觀點?！窘鉀Q問題】能解簡單的一元一次方程?！厩楦袘B(tài)度】（1）能積極的參與數(shù)學(xué)活動；

（2）感受數(shù)學(xué)的嚴謹性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性?！窘虒W(xué)重點】用等式的性質(zhì)解方程?！窘虒W(xué)難點】需要兩次運用等式的性質(zhì)，并且有一定的思維順序?！窘虒W(xué)過程】一．復(fù)習(xí)引入：

解下列方程：（1）x＋5=1.4;（2）

23x?32在學(xué)生解答后的講評中圍繞兩個問題：

①每一步的依據(jù)分別是什么？②求方程的解就是把方程化成什么形式？這節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)用等式的性質(zhì)解一元一次方程。二．探究新知：

對于簡單的方程，我們通過觀察就能選擇用等式的哪一條性質(zhì)來解，下列方程你也能馬上做出選擇嗎？例1利用等式的性質(zhì)解方程：（）0.6－x=2.4（2）?1x?5?43先讓學(xué)生對第（1）題進行嘗試，然后教師進行引導(dǎo)：

①要把方程0.6－x=2.4轉(zhuǎn)化為x=a的形式，必須去掉方程左邊的0.6，怎么去？②要把方程－x=1.8轉(zhuǎn)化為x=a的形式，必須去掉x前面的“－”號，怎么去？然后給出解答：

解：兩邊減0.6，得0.6－x－0.6=2.4－0.6化簡，得

－x=1.8兩邊同乘－1，得lx=－1.8小結(jié)：（1）這個方程的解答中兩次運用了等式的性質(zhì)（2）解方程的目標是把方程最終化為x=a的形式，在運用性質(zhì)進行變形時，始終要朝著這個目標去轉(zhuǎn)化．你能用這種方法解第（2）題嗎？在學(xué)生解答后再點評．解：兩邊加5，得?化簡，得?1x?5?5?4?531x?93兩邊同乘-3，得x=27解后反思：①第（2）題能否先在方程的兩邊同乘“一3”？梯田文化

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②比較這兩種方法，你認為哪一種方法更好？為什么？允許學(xué)生在討論后再回答．例2（補充）服裝廠用355米布做成人服裝和兒童服裝，成人服裝每套平均用布3．5米，兒童服裝每套平均用布1．5米．現(xiàn)已做了80套成人服裝，用余下的布還可以做幾套兒童服裝？在學(xué)生弄清題意后，教師再作分析：如果設(shè)余下的布可以做x套兒童服裝，那么這x套服裝就需要布1.5x米，根據(jù)題意，你能列出方程嗎？解：設(shè)余下的布可以做x套兒童服裝，那么這x套服裝就需要布1.5米，根據(jù)題意，得80×3.5＋1.5x＝355．化簡，得

280＋1.5x＝355，兩邊減280，得

280＋1.5x－280＝355－280，化簡，得

1.5x＝75，兩邊同除以1.5，得x＝50．答：用余下的布還可以做50套兒童服裝．解后反思：對于許多實際間題，我們可以通過設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程，以求出問題的解．也就是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．問題：我們?nèi)绾尾拍芘袆e求出的答案50是否正確？在學(xué)生代入驗算后，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出方法：檢驗一個數(shù)值是不是某個方程的解，可以把這個數(shù)值代入方程，看方程左右兩邊是否相等，例如：把x=50代入方程80×3.5＋1.5x=355的左邊，得80×3.5＋1.5×50=280＋75=355方程的左右兩邊相等，所以x=50是方程的解。你能檢驗一下x=－27是不是方程?1x?5?4的解嗎？3三．鞏固新知：

1．課本P73練習(xí)（3）、（4）解答：（3）x=-4

（4）x??452．補充練習(xí)：小剛帶了18元錢到文具店買學(xué)習(xí)用品，他買了5支單價為1.2元的圓珠筆，剩下的錢剛好可以買8本筆記本，問筆記本的單價是多少？（用列方程的方法求解）解：設(shè)筆記本的單價為x元

根據(jù)圓珠筆和筆記本的錢的總和為18元，得方程5×1.2+8x=18化簡，得6+8x=18兩邊減6，得6+8x-6=18-6化簡，得8x=12兩邊同除以8，得x=1.5答：筆記本的單價是每本1.5元。四、歸納總結(jié)：

（學(xué)生總結(jié)，教師評價和補充）

（1）這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。（2）我有哪些收獲？（3）我應(yīng)該注意什么問題？五．課后作業(yè)：梯田文化

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1．課本P73習(xí)題2.1的4題

(答案：（1）x=33（2）x=8（3）x1（4）x=1)2．補充作業(yè)

1用等式的性質(zhì)解方程：①3＋4x=13;②4?x?5

25（答案：①x?②x=-2）

23．P74第10題

【設(shè)計理念】

1、力求體現(xiàn)新課程理念：數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者．本設(shè)計從新課的引人、例題的處理（包括解題后的反思）、反饋練習(xí)及小結(jié)提高等各環(huán)節(jié)都力求充分體現(xiàn)這一點．2、在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，教師往往通過大量地講解，把學(xué)生變成任教師“灌輸”的“容器”，學(xué)生只能接受、輸入并存儲知識，而教師進行的也只不過是機械地復(fù)制文化知識．新課程的一個重要方面就是要改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，將被動的、接受式的學(xué)習(xí)方式，轉(zhuǎn)變?yōu)閯邮謱嵺`、自主探索與合作交流等方式．本設(shè)計在這方面也有較好的體現(xiàn)．3、為突出重點，分散難點，使學(xué)生能有較多機會接觸列方程，本章把對實際問題的討論作為貫穿于全章前后的一條主線．對一元一次方程解法的討論始終是結(jié)合解決實際問題進行的，即先列出方程，然后討論如何解方程，這是本章的又一特點．本設(shè)計充分體現(xiàn)了這一特點．第12篇：等式性質(zhì)教學(xué)反思等式性質(zhì)教學(xué)反思在例4得出等式性質(zhì)時，雖說是一步一步引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)的，學(xué)生掌握的不錯，但講的還是多，不如直接獨立完成，小組討論發(fā)現(xiàn)，總結(jié)時強調(diào)一下，如何去記住這個性質(zhì)，而不是背下來。對于例5，讓學(xué)生列方程后獨立完成，會的自己做，不會的可以看書，再獨立完成，有意識的選了三名同學(xué)上黑板板演，結(jié)果三個都出現(xiàn)了不同的問題，對于出現(xiàn)的問題，我讓每位同學(xué)根據(jù)你自己寫的和書上進行對比，看看自己能挑出多少毛病，三位同學(xué)犯的錯誤還典型，一位沒寫解，“=”號沒對齊，（全班只有7名學(xué)生全對）另兩個X+10+10=50+10和X+10-10=50-40，以分析錯誤的形式將例題解決，學(xué)生就掌握的很好，這從后面的練習(xí)就看出來。課堂一定要關(guān)注學(xué)生，認真思考的學(xué)生在課堂上總會帶給你一些驚喜，如果你忽視了，就不僅僅是錯過了那一次精彩。這節(jié)課在學(xué)生總結(jié)等式的性質(zhì)的時候，有一個學(xué)生將書上的等式的性質(zhì)中“所得的結(jié)果仍是等式”替換成“數(shù)量不變”，這也是我在備課時所想的，能不能替換一下，所以我在備課本上寫了“結(jié)果不變”，可是沒過一會，這個同學(xué)又舉手了，說自己的“數(shù)量不變”不能替換書上的話，當然也包括了我的“結(jié)果不變”，因為等式兩邊同時加或減去同一個數(shù)（0除外），結(jié)果肯定會發(fā)生變化的。就是因為這樣一個能不能替換的問題，學(xué)生對等式的性質(zhì)的理解肯定會更好。第13篇：《矩陣的秩的等式及不等式的證明》

摘要

矩陣的秩是矩陣的一個重要特征，它具有許多的重要性質(zhì).本文總結(jié)歸納出了有關(guān)矩陣的秩的等式和不等式命題，以及證明這些命題常用的證明方法，即從向量組、線性方程組、線性空間同構(gòu)、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度給出多種證明方法.本文主要解決以下幾個問題：用矩陣已知的秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；用線性空間的方法證明矩陣秩的等式和不等式問題；用向量組秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式問題.-i

湖南科技大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文

第一章緒論

矩陣的秩是矩陣的一個重要特征，是矩陣理論中研究的一個重要內(nèi)容，它具有許多的重要性質(zhì).研究矩陣的秩對于解決矩陣的很多問題具有重要意義.矩陣的秩的等式及不等式的證明對于學(xué)習(xí)矩陣也是重點和難點，初學(xué)者在做這方面的題目往往不知如何下手.筆者歸納了矩陣的秩的常見等式和不等式以及與之相關(guān)的一些結(jié)論，并從向量組、線性方程組、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度探索了多種證明方法，它有助于學(xué)習(xí)者加深對秩的理解和知識的運用，也方便教師教學(xué).目前對矩陣秩的研究已經(jīng)比較成熟了，但是由于秩是矩陣論里的一個基本而重要的概念，它仍然有著重要的研究價值，有關(guān)它的論文時見報端.很多國內(nèi)外的有關(guān)數(shù)學(xué)書籍雜志對矩陣的秩都有講述，如蘇育才、姜翠波、張躍輝在《矩陣論》（科學(xué)出版社、2006年5月出版）中較完整地給出了矩陣秩的理論.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編寫的《高等代數(shù)》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介紹了秩的一些性質(zhì).但是對秩的等式及不等式的介紹都比較分散，不全面也沒有系統(tǒng)化，不方便初學(xué)者全面掌握秩的性質(zhì).因此有必要對矩陣的秩的等式和不等式進行一個歸總，便于學(xué)習(xí)和掌握.本文通過查閱文獻資料，總結(jié)歸納出有關(guān)矩陣的秩的等式和不等式命題，以及證明這些命題常用的證明方法，從向量組、線性方程組、線性空間同構(gòu)、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度給出多種證明方法.主要內(nèi)容有：（1）用矩陣已知的秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（2）用線性空間的方法證明矩陣秩的等式和不等式問題；（3）用向量組秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（4）用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式問題.-1

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第二章預(yù)備知識

定義1矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；

矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩；矩陣的行秩和列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩.定義2如果兩個向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價.定義3數(shù)域P上的矩陣的初等行（列）變換是指下列三種變換：

（1）以數(shù)域P中的一個非零數(shù)乘以矩陣的某一行（列）；（2）把矩陣的某一行（列）的c倍加到另一行（列）；（3）互換矩陣中兩行（列）的位置.定義4在一個s?n矩陣A中任意選定k行和k列，位于這些選定的行列交叉點上的k2個元素按原來的次序組成的k級行列式稱為A的一個k級子式.定義5設(shè)A為m?n矩陣,稱線性方程組Ax?0的解空間為A的零空間(即核空間)，記作N?A?,即N?A???xAx?0?.引理1[1]矩陣的行秩等于列秩.引理2[1]任意兩個等價的向量組必有相同的秩.引理3n階方陣A可逆?A?0.111證明:充分性:當d?A?0,由A(A*)?(A*)A?E知A可逆，且A?1?A*.ddd必要性:如果A可逆，那么有A?1使AA?1?E.兩邊取列式，得AA?1?E?1，因而A?0.引理4[1]矩陣的秩是r的充要條件為矩陣中有一個r級子式不為0，同時所有的r?1級子式全為0.引理5[1]如果向量組???可以由向量組????線性表出，那么???的秩不超過????的秩.證明：根據(jù)已知可知向量組???極大線性無關(guān)組可由????的極大線性無關(guān)組線性表出，根據(jù)向量組的基本性質(zhì)(見參考文獻[1])可得，向量組???極大線性無關(guān)組的向量個數(shù)不超過????的極大線性無關(guān)組的向量個數(shù)，即???的秩不超過????的秩.引理6[1]在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個數(shù)為n?r，這里r表示系數(shù)矩陣的秩，n?r也是自由未知量的個數(shù).-2

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第三章用矩陣的秩的理論證明秩的等式和不等式本章主要是利用矩陣已知的秩的理論證明秩的等式和不等式問題，例如行秩等于列秩，秩為r的充要條件，常見的秩的不等式等等.要掌握并且靈活運用這些知識才能證明下面的命題.這些命題都是一些基本的命題.命題3.1r?A??r?AT?．證明：由矩陣轉(zhuǎn)置的定義,A的行向量組就是AT的列向量組，因此A的行秩就是AT的列秩，又由引理1知r?A??r?AT?，命題證畢.命題3.2r?kA??r?A?（其中k?0）.證明：kA的行向量組可由A的行向量組線性表出，A的行向量組也可由kA的行向量組線性表出，因此kA的行向量組與A的行向量組等價.由引理2它們的秩相等，再由秩的定義知kA與A的秩相等,命題證畢.命題3.3A是一個s?n矩陣，如果P是s?s可逆矩陣，Q是n?n可逆矩陣，那么r?A??r?PA??r?AQ?.證明：令B?PA,由矩陣乘積的秩不超過各因子的秩可知r?B??r?A?,但是由A?P?1A，又有r?A??r?B?．所以r?A??r?B??r?PA?.另一個等式可以同樣地證明,命題證畢.?n,如r?A??n?命題3.4[2]設(shè)A是一個n階方陣，則r?A*???1,如r?A??n?1?0,如r?A??n?2?.證明：若r?A??n，由引理3，A?0，知A可逆，A*?AA?1可逆，故r?A???n．若r?A??n?1，由引理4，A存在n?1階子式不為0，因此A*?0,r?A???1，又因為AA*?AE?0，有r?A??r?A*??n，即r?A*??n?r?A??1，從而r?A*??1．若r?A??n?2，則由引理4，A存在n?1階子式全為0，于是A*=0，即r?A*??0．命題證畢.從這個命題可以得出r?A*??r?A?的結(jié)論.-3湖南科技大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文

命題3.5［３］設(shè)A是一個m?n矩陣，任取A的s行t列,交叉處的s?t個元素按原來的相對位置構(gòu)成s?t子矩陣C，則r?C??m?n?r?A??s?t．證明:設(shè)D為A的s行所構(gòu)成的s?t子矩陣，它由C所在的s行確定.設(shè)r?D??d.則A的任意一個大于d?m?s階的子式M必須至少有d?1行出現(xiàn)在D中.根據(jù)行列式的性質(zhì)，對這個子式M按出現(xiàn)在D中的那些行進行拉普拉斯展開，則可以看出，這個M可以表示成D的一些階子式的線性組合，其中k為某個大于d的數(shù).由引理3這些子式全為零.因此任意一個大于d?m?s階子式M必須等于零.由秩的定義,r?A??r?D??m?s.由行與列的對稱性類似地可推出r?D??r?C??n?t,兩式相加即可得到

r?C??m?n?r?A??s?t，命題證畢.命題3.6［４］設(shè)A,B都是n階矩陣,證明:r?AB?A?B??r?A??r?B?.證

明:r?AB?A?B??r?A?B?E??B??r?A?B?E??B??r?A??r?B?，命題證畢.例3.1設(shè)A為n階方陣，求證必存在正整數(shù)m使得r?Am??r?Am?1?.證明:由于A為n階方陣，則n?r?A??r?A2???r?Ai????0,其中i為正整數(shù),而n是有限數(shù)，上面的不等式不可能無限不等下去，因而必存在正整數(shù)m使得r?Am??r?Am?1?.例3.2設(shè)A，B都是n階方陣，E是n階單位矩陣，證明

r?AB?E??r?A?E??r?B?E?.證明:因為AB?E??A?E??A?B?E?,所以

r?AB?E??r??A?E??A?B?E???r?A?E??r?A?B?E???r?A?E??r?B?E?.命題3.7設(shè)A為n階矩陣，證明:如果A2?E,那么

r?A?E??r?A?E??n.證明：因為?A?E??A?E??A2?A?A?E?E?E?0,由命題5.3知

r?A?E??r?A?E??n.①

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又r?A?E??r?A?E??r?A?E?A?E??r?2A??r?A?

而A2?E，所以A2?1,即A?0，r?A??n.因此

r?A?E??r?A?E??n.②

由①，②可得r?A?E??r?A?E??n.例3.3[5]設(shè)A,B為n階方陣,且ABA=B?1,則r?E?AB??r?E?AB??n.證明:因為ABA?B?1,所以?AB?2?E.由命題3.7知

r?AB?E??r?AB?E??n(1)由r?E?AB??r?AB?E?，r?E?AB??r?AB?E?(2)由(1),(2)知有r?E?AB??r?E?AB??n成立.例3.4設(shè)A為n階矩陣,且A2?A,證明r?A??r?A?E??n.證明：由A2?A，可得A?A?E??0.r?A??r?A?E??n①

又因為E?A和A?E有相同的秩,所以

n?r?E??r?A?E?A??r?A??r?E?A?②

由①，②可得r?A??r?A?E??n.-5

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第四章用線性空間的理論證明秩的等式和不等式

本章主要是利用線性空間的維數(shù)公式，同構(gòu)，直和分解，核與值域的一些性質(zhì)和定理來證明矩陣的一些秩的等式和不等式命題.線性空間和線性變換的知識本來就比較抽象，還要和矩陣的聯(lián)系起來，是有一定的難度的.這其中要構(gòu)造一些映射．命題4.1A設(shè)為n階方陣，如果A的列向量所生成的Rn的子空間R?A?與A的零空間（即核空間）N?A?的直和為Rn，則r?A??r?A2?.證明:根據(jù)引理6，要證r?A??r?A2?，只要證AX?0與A2X?0同解．AX?0的解顯然為方程組A2X?0的解.下面我們用反證法證明A2X?0的任一解Y同時也是A2X?0的解.若AY?0，因A?AY??0,故AY?N?A?.另一方面，AY??yi?i?R?A?，其中

i?1nA???1,?2,?,?n?，Y??y1,y2,?,yn?,從而0?AY?R?A??N?A?,這與Rn?R?A??N?A?矛盾,所以A2X?0的任一解同時也是AX?0的解,于是它們同解,故r?A??r?A2?.命題4.2設(shè)A為m?n矩陣，B為n?1矩陣，證明Sylrester公式：Tr?A?+r?B?-n?r?AB?.證明:設(shè)A為m?n矩陣，B為n?1矩陣,?x1??y1??ABX?0(1)?????考慮X????，Y????,方程組?BX?0(2),?x??y??(3)?AY?0?n??n?設(shè)（1）（2）（3）的解空間分別為VAB，VB，VA，則dimVA?n?r?A?，將三者聯(lián)系起來，作?BXx?VAB?，則它為VA的子空間，從而

dim?BXx?VAB??dimVA?n?r?A?，-6

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又VB為VAB的子空間，作：

VAB?VB?W

一方面dimW?dimVAB?dimVB?1?r?AB???1?r?B???r?B??r?AB?下證W??BXX?VAB?

定義f:W??BXX?VAB?

f????B?

易知這個映射是單滿的，并且滿足線性運算條件，所以它是同構(gòu)映射.dimW?dim?BXX?VAB??r?B??r?AB?

但上面：

dim?BXX?VAB??dimVA?n?r?A?.因此n?r?A??r?B??r?AB?，即r?A??r?B??n?r?AB?．命題4.3設(shè)A為m?n，B為n?m矩陣，AB?BA．證r?A?B??r?A??r?B??r?AB?．證明:設(shè)w1,w2,w3,w4分別為A,B,A?B,AB行空間,那么dimw1?r?A?,dimw2?r?B?dimw3?r?A?B?,dimw4?r?AB?

由于w3?w1?w2,并由維數(shù)公式得:dimw3?dim?w1?w2??dimw1?dimw2?dim?w1?w2?即得:

r?A?B??r?A??r?B??dim?w1?w2?(1)由于AB的行向量是B的行向量的線性組合,所以有w4?w2,又AB?BA,所以有w4?w1,因此有w4?w1?w2,所以有

r?AB??dim?w1?w2?(2).-7

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將(2)代入(1)即得:r?A?B??r?A??r?B??r?AB?.命題4.4若r?AB??r?B?，證明r?ABC??r?BC?.證明：設(shè)方程組ABX?0與BX?0的解空間分別為VAB，VB.若r?AB??r?B?，則根據(jù)引理6知dim?VAB??dim?VB?

①又因為滿足BX?0解向量也滿足ABX?0,所以VAB?VB

②由①②可推出VAB?VB.要證r?ABC??r?BC?，只要證ABCX?0與BCX?0同解.設(shè)方程組ABCX?0與BCX?0的解空間分別為VABC，VBC.顯然VABC?VBC,只要證VABC?VBC.由ABCX?0知CX?VAB?VB,即BCX?0，因此VABC?VBC，命題得證.此例是一個有價值的結(jié)論.例4.1n階矩陣A滿足A2?A當且僅當r?A??r?A?E??n.?1??????2??A01證明：先證明必要性.由A?A知A相似于形如???0???????的對角陣，其中1的個數(shù)為r?A?,又E?A與E?A0相似，從而有相同的秩，而

?1???????，E?A0??1??0???????其中0的個數(shù)為A的秩，1的個數(shù)n?r?A?.所以

r?A??r?E?A??r?A??r?E?A0??r?A??n?r?A??0.充分性.只要證明對任意X均有A2X?AX即可.由r?A??r?E?A??n說

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明,AX1?0的解空間V1與?E?A?X2?0的解空間V2滿足V1?V2?Rn,從而對任意X存在唯一分解

X?X1?X2其中X1?V1X2?V2,所以

A2X?A2?X1?X2??A?AX1??A?AX2??0A?AX2?0?X2?AX1?AX2?A?X1?X2?

?AX

綜上即證A2?A.命題4.5設(shè)A,B分別是m?m,m?n矩陣，其中A為可逆矩陣,證明r(AB)?r(B).證明：設(shè)

AB?Q,A?(?1,?2,...,?m),B?(?1,?2,...,?n),Q?(?1,?2,...,?n)，則(?1,?2,...,?m)?1??1,(?1,?2,...,?m)?2??2,...,(?1,?2,...,?m)?n??n因為A為可逆矩陣，秩為m，故可將(?1,?2,...,?m)看做m維線性空間的一組基，則向量?1,?2,...,?n在這組基下的坐標向量分別為?1,?2,...,?n.作

l(?1,?2,...,?n),l(?1,?2,...,?n)，在這兩個線性空間中構(gòu)造映射，將l(?1,?2,...,?n)中的每個向量映射到在基(?1,?2,...,?m)下的坐標向量，這個映射是一個同構(gòu)映射，因此l(?1,?2,...,?n),l(?1,?2,...,?n)這兩個線性空間同構(gòu)，所以

dim(l(?1,?2,...,?n))?dim(l(?1,?2,...,?n))，而dim(l(?1,?2,...,?n))?r(B),dim(l(?1,?2,...,?n))?r(AB).所以r(AB)?r(B).同理可證明當B為可逆矩陣時,r(AB)?r(A).這章主要是利用線性空間和線性變換的一些知識來證明矩陣的秩的等式和不等式命題，難點在于要好好理解線性空間和線性變換的一些知識，重要定理和性質(zhì)，再把握它們同矩陣的聯(lián)系.-9

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第五章用向量組秩的理論證明秩的等式和不等式

本章主要利用向量組的秩和極大線性無關(guān)組的一些知識，以及線性方程組的解空間的維數(shù)和系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系來證明秩的等式和不等式.B是m?p矩陣,則r?A?或r?B??r?A?B??r?A??r?B?.命題5.1設(shè)A是m?n矩陣，證明：?A?B?列向量組向量的個數(shù)比A和B多，所以r?A?或r?B??r?A?B?．下面證明r?A?B??r?A??r?B?.不妨設(shè)Ai1,Ai2?,Air1與Bj1,Bj2?,Bjr2分別是A與B的列向量組的極大線性無關(guān)組,則?A?B?的每個列向量均可用向量組

Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2

線性表出,根據(jù)引理5可知

r?A?B??rAi1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2?r1?r2?r?A??r?B?.??命題證畢.命題5.2設(shè)A,B是m?n矩陣，r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?.證明：先證明r?A?B??r?A??r?B?.設(shè)

A??A1,A2?,An?B??B1,B2?,Bn?，則

A?B??A1?B1,A2?B2?,An?Bn?.不妨設(shè)Ai1,Ai2?,Air1與Bj1,Bj2?,Bjr2分別是A與B的列向量組的極大線性無關(guān)組，則有

As?k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?s?1,2,?,n?

Bs?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

As?Bs??k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

即A?B的列向量可以由Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2線性表出，由引理5知

r?A?B??rAi1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2?r1?r2?r?A??r?B?.-10

-??湖南科技大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文

再證明r?A??r?B??r?A?B?.由剛證明的結(jié)論r?A?B??r?A??r?B?可知

r?A??r??A?B????B???r?A?B??r??B??r?A?B??r?B?,移項得到

r?A??r?B??r?A?B?,同理可得r?B??r?A??r?A?B?,因此r?A??r?B??r?A?B?.綜上所述我們證明了

r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?，對于r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?，只要把以上證明過程的B改成?B即可得證，命題證畢.由命題3.1r?A??r?AT?,命題3.2r?kA??r