高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué)(新)第五章向量的概念、向量的加法與減法、實數(shù)與向量的積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第五章平面向量網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點目標(biāo)定位1.向量、向量的加法與減法、實數(shù)與向量的積。2.平面向量的坐標(biāo)表示、線段的定比分點.3.平面向量的數(shù)量積、平面兩點間的距離、平移公式.4.正弦定理、余弦定理、斜三角形的解法。復(fù)習(xí)略指南向量是數(shù)學(xué)中的重要概念，它廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中，其重要性逐漸加強(qiáng)。從近幾年高考試題可以看出，主要考查平面向量的加減運(yùn)算、平面向量的坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、圖形的平移等基本概念、運(yùn)算及簡單應(yīng)用。隨著新教材的逐步推廣、使用,“平面向量”將會成為命題的熱點，一般選擇題、填空題重在考查平面向量的概念、數(shù)量積及其運(yùn)算律。本單元試題的常見類型有:(1）與“定比分點”有關(guān)的試題；（2）平面向量的加減法運(yùn)算及其幾何意義;（3)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，用向量的知識解決幾何問題;（4）正、余弦定理的應(yīng)用.復(fù)習(xí)本章時要注意：(1）向量具有大小和方向兩個要素。用線段表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關(guān)系,同向且等長的有向線段都表示同一向量.(2）共線向量和平面向量的兩條基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu)，它們是進(jìn)一步研究向量的基礎(chǔ).(3）向量的加、減、數(shù)乘積是向量的線性運(yùn)算，其結(jié)果仍是向量。向量的數(shù)量積結(jié)果是一個實數(shù).向量的數(shù)量積，可以計算向量的長度、平面內(nèi)兩點間距離、兩個向量的夾角,判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直。(4)向量的運(yùn)算與實數(shù)的運(yùn)算有異同點，學(xué)習(xí)時要注意這一點，如數(shù)量積不滿足結(jié)合律.（5）要注意向量在幾何、三角、物理學(xué)中的應(yīng)用.(6）平面向量與空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算是高考的重點,復(fù)習(xí)中要注意培養(yǎng)準(zhǔn)確的運(yùn)算能力和靈活運(yùn)用知識的能力.5。1向量的概念、向量的加法與減法、實數(shù)與向量的積鞏固·夯實基礎(chǔ)一、自主梳理1.平面向量的有關(guān)概念(1）向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法:用有向線段來表示向量.有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,…或用,,…表示.(3）模：向量的長度叫向量的模，記作|a｜或||。(4）零向量：長度為零的向量叫做零向量,記作0；零向量的方向不確定。(5）單位向量：長度為1個長度單位的向量叫做單位向量.（6)共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規(guī)定零向量與任何向量共線。(7)相等的向量:長度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2。向量的加法（1)定義:求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.(2)法則：三角形法則、平行四邊形法則。（3)運(yùn)算律：a+b=b+a；(a+b）+c=a+(b+c).3.向量的減法（1）定義：求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。（2）法則：三角形法則、平行四邊形法則.4.實數(shù)與向量的積(1)定義:實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa,規(guī)定：｜λa|=|λ｜|a｜。當(dāng)λ〉0時,λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ〈0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時,λa與a平行.(2）運(yùn)算律:λ(μa）=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b）=λa+λb。5。兩個重要定理(1)向量共線定理:向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)λ,使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.(2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.二、點擊雙基1.若平面向量b與向量a=(1,-2)的夾角是180°，且|b|=3,則b等于（)A.(-3,6)B。（3,—6)C.(6,-3)D.(—6，3）解析：易知a與b方向相反,可設(shè)b=（λ，—2λ）（λ＜0＝.又｜b｜=3=,解之得λ=—3或λ=3(舍去）。∴b=（-3，6).答案：A2.（理)已知向量a=（3,4)，b=（sinα，cosα），且a∥b,則tanα等于（)A。B。-C。D。-解析：由a∥b,∴3cosα=4sinα?！鄑anα=.答案：A(文）下列算式中不正確的是（）A.++=0B。-=C.0·=0D。λ（ωa)=(λω）a解析：—=,故B錯誤。答案:B3.點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點,滿足·=··，則點O是△ABC的（）A。三個內(nèi)角的平分線的交點B。三條邊的垂直平分線的交點C。三條中線的交點D。三條高的交點解析：由·=·，可得·=0，即⊥.同理可得⊥,⊥.答案：D4.O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點,動點P滿足=+λ(+），λ∈[0，+∞］,則P的軌跡一定通過△ABC的（)A．外心B．垂心C．內(nèi)心D．重心解析：由=+λ（+)，∴—=λ（+)，λ∈［0,+∞］，∴=λ（+）?！郟在BC邊中線上。故P的軌跡通過△ABC的重心.故選擇D.答案：D5。△ABC中，=3，則=_______________。（用和表示）解析：∵=-，又=3，∴=+=+(-)=+。答案：+誘思·實例點撥【例1】已知向量a、b滿足｜a|=1，｜b｜=2，｜a-b｜=2,則|a+b|等于()A。1B。C.D。剖析:欲求|a+b|,一是設(shè)出a、b的坐標(biāo)求，二是直接根據(jù)向量模計算。解法一：設(shè)a=（x1,y1),b=（x2，y2)，則x12+y12=1，x22+y22=4,a-b=(x1-x2,y1—y2）,∴（x1—x2）2+(y1—y2）2=4?！鄕12—2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=4.∴1-2x1x2-2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1?！啵▁1+x2）2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6?！鄚a+b｜=。解法二：∵|a+b｜2+｜a—b｜2=2(|a|2+｜b|2)，∴|a+b｜2=2(｜a|2+|b｜2）—|a—b|2=2（1+4)—22=6.∴｜a+b|=。故選D。答案：D鏈接·提示本題還可以利用向量的加、減運(yùn)算的幾何意義計算.設(shè)=a，=b，則—=。在△OAB中，cos∠AOB==，∴cos∠OAC=—.在△OAC中，｜|2=｜｜2+|｜2-2｜|·||cos∠OAC=12+22—2×1×2×（—）=6?！啵?，即｜a+b｜=.【例2】如圖，G是△ABC的重心，求證：++=0。剖析：要證++=0,只需證+=-,即只需證+與互為相反的向量。證明：以向量、為鄰邊作平行四邊形GBEC，則+==2。又由G為△ABC的重心知=2，從而=—2?！?+=-2+2=0。講評：向量的加法可以用幾何法進(jìn)行。正確理解向量的各種運(yùn)算的幾何意義，能進(jìn)一步加深對“向量”的認(rèn)識，并能體會用向量處理問題的優(yōu)越性?！纠?】設(shè)、不共線,點P在AB上,求證：=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.剖析：∵點P在AB上,可知與共線,得=t.再用以O(shè)為起點的向量表示。證明：∵P在AB上,∴與共線.∴=t.∴—=t(-).∴=+t—t=(1—t)+t。設(shè)1-t=λ，t=μ，則=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R。講評：本例的重點是考查平面向量的基本定理,及對共線向量的理解及應(yīng)用.鏈接·提示(1)本題也可變?yōu)?、不共線,若=λ+μ,且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求證：A、B、P三點共線。提示：證明與共線.