高中數(shù)學(xué)-兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。因此，我將整個教學(xué)過程分為以下六個教學(xué)環(huán)節(jié)：1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課[引例]某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上.如圖所示,小山高BC約為30米,在地平面上有一點A,測得A、C兩點間距離約為67米,從A觀測電視發(fā)射塔的視角(∠CAD)約為45°.求這座電視發(fā)射塔的高度.【設(shè)計意圖】從課本章頭實際問題作為情境，引入課題，這有利于強調(diào)數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習的積極性。同時提出本章的研究課題。⑴.實際問題中存在研究像tan（45°+α）這樣包含兩個角的三角函數(shù)的需要；⑵.實際問題中存在研究像sinα與tan（45°+α）這樣包含兩角和的三角函數(shù)與單角α，45°的三角函數(shù)的關(guān)系的需要；2.探索公式，建構(gòu)新知⑴.問題：如何用角α、β的正弦、余弦值來表示cos（α－β）呢？從而引入本節(jié)課的課題----兩角差的余弦公式。憑直覺得出cos（α－β）=cosα－cosβ是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤。引導(dǎo)學(xué)生利用特殊角檢驗，產(chǎn)生認知沖突，從而激發(fā)學(xué)生探究兩角差的余弦公式的興趣。引導(dǎo)探究：研究三角函數(shù)問題，我們常用的一種方法就是利用單位圓，在單位圓中，角的正弦值、余弦值可用正弦線、余弦線來表示．⑵.引導(dǎo)學(xué)生討論最簡單的情況：為銳角，且，作出單位圓后，提出問題讓學(xué)生思考：怎樣作出角α、β、α－β？怎樣作出角α－β的余弦線？角α、β的正弦值、余弦值如何在圖中表示出來？得到余弦線后，它等于哪些線段的和？這些線段與角α、β的正弦線余弦線有何關(guān)系？讓學(xué)生利用幾何直觀尋求余弦線的表示，通過合作、交流、討論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：⑶.提問：當α、β取任意角的時候，所得公式是否成立？此時仍用三角函數(shù)線法推證是否合適？引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察公式的結(jié)構(gòu)特征，從向量的數(shù)量積的角度思考并證兩角差的余弦公式，從而引出向量法推證方法。教師提問引導(dǎo)學(xué)生思考：y-1y-1-111BAx0交點分別為A、B，則A、B的坐標？向量，的坐標是什么？，的數(shù)量積用坐標運算的表示式是怎樣的?，的數(shù)量積用定義如何計算？，的夾角與角α、β的關(guān)系如何？與角α、β終邊位置有關(guān)嗎？【設(shè)計意圖】教師通過提問引發(fā)學(xué)生思考，并讓學(xué)生分組活動，相互討論，合作學(xué)習，運用從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想將問題層層深入，最后達到推導(dǎo)的完備。從而讓學(xué)生體驗探究的過程，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)。3.認識公式，深化理解提問：⑴.細心觀察公式的結(jié)構(gòu)，它有哪些特征？⑵.公式中α，β的角的取值范圍如何？學(xué)生觀察與思考得出：①公式中兩邊的符號正好相反（一負一正）；②公式右邊同名三角函數(shù)乘積的和；③公式中α、β是任意的；④公式的逆用也要注意?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生認識公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)和特點，深化理解公式實質(zhì)，為靈活運用公式奠定基礎(chǔ)。4.例題講解，鞏固應(yīng)用例1利用余弦公式計算的值.【設(shè)計意圖】由學(xué)生先練，然后巡堂了解，及時用投影將學(xué)生的解答、反饋、展示講解。例1是讓學(xué)生熟悉公式，例2顯然也是運用公式求值的練習，但使用公式前必須求相應(yīng)角的正、余弦值。強調(diào)運用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求值時，一定要弄清角的范圍，準確判斷三角函數(shù)值的符號，從而養(yǎng)成良好的學(xué)習習慣。通過基礎(chǔ)題目的練習，加強學(xué)生對公式的理解和應(yīng)用。5.變式演練，深化認識練習1：化簡求值【設(shè)計意圖】⑴.通過變式訓(xùn)練，進一步加深學(xué)生對公式的理解，使學(xué)生掌握公式的正用，逆用，變角使用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，體現(xiàn)思維的創(chuàng)新意識。⑵.練習2有一定難度，可根據(jù)學(xué)生的接受情況，在具體教學(xué)中可根據(jù)不同程度的教學(xué)對象及課堂學(xué)生的反應(yīng)情況進行刪減與調(diào)整。6.課堂小結(jié)，作業(yè)布置⑴小結(jié)1）.公式探究的一般步驟：特殊→猜想→證明2）.在運用兩角差的余弦公式時應(yīng)注意：①根據(jù)角的范圍，確定兩角正、余弦值的正、負．②適當逆用公式，可達到化簡計算的目的．③靈活選取兩角的形式，活用公式．【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達的能力，養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習慣，并將所學(xué)知識納入已有的認知結(jié)構(gòu).⑵作業(yè)布置習題3.1A組2、3、4、5選做題：已知，，其中，是第三象限角，求?！驹O(shè)計意圖】作業(yè)設(shè)計是為使學(xué)生進一步掌握和鞏固本節(jié)課的重點內(nèi)容，選做題的設(shè)計是為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力同時充分體現(xiàn)分類討論的思想。學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式及平面向量，這為他們探究兩角差的余弦公式建立了良好的基礎(chǔ)。但學(xué)生的邏輯推理能力畢竟有限，要發(fā)現(xiàn)并證明公式C(α-β)有一定的難度，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過合作交流，探索兩角差的余弦公式，完成本課的學(xué)習目標。本人所教兩個教學(xué)班學(xué)習成績較差，學(xué)生普遍存在著不記公式、不愿計算的現(xiàn)象。這也給本節(jié)課的教學(xué)帶來了難度。因此本人在教學(xué)設(shè)計時有意降低了思考的難度，讓學(xué)生易于接受。教師在課前讓學(xué)生簡單復(fù)習一下本課要用到的一些知識點，如三角函數(shù)線，向量的數(shù)量積等。在學(xué)生自主探究過程中，教師要從某些角度引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)公式，應(yīng)該給出一些證明方法的提示性問題，引導(dǎo)學(xué)生去推導(dǎo)公式。1．兩角差的余弦公式的猜想與發(fā)現(xiàn)是一個難點．讓學(xué)生用特殊值驗證而發(fā)現(xiàn)問題。2.用三角函數(shù)線推導(dǎo)公式時，輔助線的添加對學(xué)生的思維有很高的要求，因為學(xué)生可能不明白為什么要添輔助線和如何添輔助線，也不會想到用“割補法”求正弦線、余弦線．這時一要讓學(xué)生聯(lián)系與這個內(nèi)容相關(guān)的已學(xué)知識，二要聯(lián)系數(shù)形結(jié)合思想，教師通過提問引導(dǎo)推證過程，學(xué)生做到理解就可。3．用向量法證明兩角差的余弦公式多數(shù)學(xué)生也難以想到．教師需要在引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察的構(gòu)成要素和結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，聯(lián)想到單位圓上點的坐標特點和向量的數(shù)量積公式，努力使數(shù)學(xué)思維顯得自然、合理。4．用向量方法證明兩角差的余弦公式時，學(xué)生容易犯思維不嚴謹?shù)腻e誤，教學(xué)時需要引導(dǎo)學(xué)生明白兩角差與相應(yīng)向量的夾角關(guān)系。效果分析兩角差的余弦公式是任意角三角函數(shù)知識的延伸，是后繼內(nèi)容兩角和與差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知識基礎(chǔ)。經(jīng)過本節(jié)課的教學(xué)，我又對這一內(nèi)容有了新的認識，也發(fā)現(xiàn)了教學(xué)中師生存在的問題。新課程理念的靈魂是三個教學(xué)目標的整合，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。知識可以通過傳授獲得，技能可以通過訓(xùn)練掌握。態(tài)度和情感價值觀需要學(xué)生參與獲得。這樣，課堂教學(xué)中，要重視學(xué)生的參與、體驗過程。但老師的指導(dǎo)作用也不可忽視，沒有老師的引導(dǎo)，學(xué)生的行動、思維就很難達到一個較高的程度。教師通過創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生學(xué)習欲望的數(shù)學(xué)情境，營造積極的活躍的學(xué)習氛圍，才能使學(xué)生參與我們的教學(xué)中來。而本節(jié)課中，過于注重了老師的講解，有些忽視了學(xué)生的自我探究的能力培養(yǎng)。所以有些學(xué)生一節(jié)課下來只記住了公式，對于知識的生成過程沒有掌握。這樣也導(dǎo)致了學(xué)生在使用公式時會不熟練。只關(guān)注公式的應(yīng)用，而輕視公式的由來，這樣符合公式的發(fā)生發(fā)展過程。這次的教學(xué)設(shè)計我從如何解決一個實際問題出發(fā)，調(diào)動學(xué)生的思維與學(xué)習積極性，抓住學(xué)生的興趣。兩角差的余弦公式的探究過程中，采用了一種學(xué)生易于接受的推導(dǎo)方法，即先用數(shù)形結(jié)合的思想，借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時公式成立。對于α，β為任意角時的情況，教材運用向量的知識進行了探究，使得公式的得出成為一個純粹的代數(shù)運算過程，學(xué)生易于理解和掌握，同時也有利于提高學(xué)生運用向量解決相關(guān)問題的意識和能力。我采用了新教材的思路。

兩角差的余弦公式的簡單應(yīng)用。除了課本上的例題、習題，我補充了課堂練習、及課后作業(yè)，針對性較強。課堂效果檢測結(jié)果：全班66人，6個題全做對的有8人，5個選擇填空題中，全對的有24人，錯一個的有23人，大題是錯誤率最高的。測試結(jié)果表明，學(xué)生對于公式掌握還算熟練，拆分角的技巧運用不熟練。教材分析教材的地位與作用：“兩角差的余弦公式”是數(shù)學(xué)必修4第三章第一節(jié)第一課時的內(nèi)容。它是三角函數(shù)線和誘導(dǎo)公式等知識的延伸，是兩角和與差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式等知識的基礎(chǔ)。對三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等問題的解決有重要的支撐作用。教學(xué)重點、難點重點：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程及簡單應(yīng)用難點：兩角差的余弦公式的猜想與推導(dǎo)，探索過程的組織和引導(dǎo)。教材處理遵循教材安排意圖為原則，讓學(xué)生體會由特殊到一般的思維過程，即先用數(shù)形結(jié)合的思想，借助單位圓中的三角函數(shù)線，推出角α，β，α－β均為銳角時公式成立。對于α，β為任意角時的情況，運用向量的知識進行探究，使得公式的得出成為一個純粹的代數(shù)運算過程，學(xué)生易于理解和掌握。然后通過有梯度的練習、變式訓(xùn)練、分層作業(yè)等鞏固公式。評測練習一、選擇題1.的值為（）A.B.C.D.2.的值為（）A.B.C.D.3.已知，則的值等于（）A.B.C.D.二、填空題4.化簡=5.若，則=三、解答題、6.已知，求的值.課后反思這學(xué)期我一直在研究如何更好的把握課改的主旨；課堂以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，讓學(xué)生在輕松的氛圍中學(xué)有所得。但這節(jié)課是一節(jié)公式推導(dǎo)，無論是從公式的來歷，還是從公式的推導(dǎo)都有些難以把握。我應(yīng)該怎樣來組織教學(xué)呢？課前我做了大量的研究：本節(jié)課的主要任務(wù)是，兩角和的余弦公式的推導(dǎo)和簡單應(yīng)用。這節(jié)課是本單元的開篇公式，它是后續(xù)公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)，地位十分重要。推導(dǎo)的過程綜合運用了解析幾何、平面幾何、三角函數(shù)、代數(shù)的恒等變形的知識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想和方法，我覺得是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好題材。在教學(xué)中因為在前面公式的推導(dǎo)過程中耗時較多，有頭重腳輕的感覺。后面的練習時間顯得緊張。就教學(xué)理念和教學(xué)過程我做了深刻的反思：一、反思教學(xué)理念：新課程理念的靈魂是三個教學(xué)目標的整合，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。知識可以通過傳授獲得，技能可以通過訓(xùn)練掌握。態(tài)度和情感價值觀需要學(xué)生參與獲得。這樣，課堂教學(xué)中，要重視學(xué)生的參與、體驗過程。但老師的指導(dǎo)作用也不可忽視，沒有老師的引導(dǎo)，學(xué)生的行動、思維就很難達到一個較高的程度。教師通過創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生學(xué)習欲望的數(shù)學(xué)情境，營造積極的活躍的學(xué)習氛圍，才能使學(xué)生參與我們的教學(xué)中來。另外在關(guān)鍵之處教師的引導(dǎo)作用更是必不可少的。二、反思教學(xué)過程：（一）創(chuàng)設(shè)問題情境：針對這節(jié)課的課題，從課題分析中提出問題，教師鼓勵學(xué)生大膽猜想，并驗證。學(xué)生學(xué)習的積極性得到了充分的調(diào)動，思維活躍。俗話說，擒賊先擒王。兩角和的余弦公式就是他們中的“王”！我們從兩角和的余弦公式研究起。這樣，才能使本節(jié)知識納入本單元的知識結(jié)構(gòu)中。（二）兩角和的余弦公式的探究過程：分成兩部分完成，一是公式的準備工作，有兩項，三角函數(shù)的定義及兩點間的距離公式。兩點間的距離公式起到的是工具作用?？梢钥紤]，直接給出公式，作出合理解釋、能套用就行，這樣可以節(jié)省一些教學(xué)時間。其實，在我們解決某些數(shù)學(xué)問題中常會遇到類似的情況。二是公式的推導(dǎo)步驟。⑴在直角坐標系的單位圓中做出角⑵利用三角函數(shù)定義寫出角的終邊和單位元的交點坐標⑶利用等弦及兩點間的距離公式列出等式⑷化簡得出公式。其中一步二步，邊做角邊寫出坐標，利用引出了做角的必要性。也正是由于（在同圓中圓心角相等，所對的弦也相等）得到，過渡到使用兩點間的距離公式。這里是這次對教材處理比較滿意之處。(三)兩角和的余弦公式的簡單應(yīng)用。公式的簡單應(yīng)用，課本上沒有相應(yīng)的例題、習題。針對學(xué)生的實際，針對本節(jié)課選著合適的練習題是提高教學(xué)質(zhì)量的保證。我覺得課堂練習、及課后作業(yè)，針對性較強，同樣是這次備課較為成功之處。這里的練習有學(xué)生完成，教師輔導(dǎo)。一節(jié)課成功與否，一個重要的反映是教學(xué)的效果：1、學(xué)生學(xué)習的積極性，參與程度。2、學(xué)生掌握知識的程度。3、學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一朝一夕能夠?qū)崿F(xiàn)的。是一個漫長的過程，也是潛移默化的過程。這節(jié)課在公式應(yīng)用方面做得比較好，但在公式的“來源”解釋上，還有些不太順應(yīng)學(xué)生的認知規(guī)律，這是我今后教學(xué)要加強的地方。課標分析根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》（實驗）和新課改的理念，為了體現(xiàn)新課標讓學(xué)生經(jīng)歷“學(xué)數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)”的