破解電工電子技術(shù)chapter

第5章非正弦周期電流的電路非正弦周期交流信號非正弦周期量的分解非正弦周期量的有效值非正弦周期電流的線性電路的計算非正弦周期電流電路平均功率第5章非正弦周期電流的電路本章要求：會進行非正弦量的分解。會進行非正弦量有效值的計算。了解非正弦周期電流電路的計算方法。會進行非正弦周期電流電路平均功率的計算。5.1

非正弦周期交流信號前面討論的是正弦交流電路，其中電壓和電流都是正弦量。但在實際的應(yīng)用中我們還常常會遇到非正弦周期的電壓或電流。分析非正弦周期電流的電路，仍然要應(yīng)用電路的基本定律，但和正弦交流電路的分析還是有不同之處；本章主要討論一個非正弦周期量可以分解為恒定分量（如果有的話）和一系列頻率不同的正弦量。特點:按周期規(guī)律變化，但不是正弦量。非正弦周期交流信號的產(chǎn)生電路中有非線性元件；電源本身是非正弦；電路中有不同頻率的電源共同作用。如：半波整流電路的輸出信號-+

+ui-u05.1

非正弦周期交流信號uiw

tOu0w

tO計算機內(nèi)的脈沖信號O周期性鋸齒波OT示波器內(nèi)的水平掃描電壓tO晶體管交流放大電路交直流共存電路u0t+Ucciu+-u0+-+-SetCuRuit3.

非正弦周期交流電路的分析方法tE0ee1問題1

iR

eE0e1+++---即：R

R

Rsinω

tE1me E

0=

+i

=e

=

E0

+

e1

=

E0

+

E1msinω

t不同頻率信號可疊加成周期性的非正弦量。此時電路中的電流也是非正弦周期量。問題2：既然不同頻率的正弦量和直流分量可以疊加成一個周期性的非正弦量，那么反過來一個非正弦的周期量是否也可分解為正弦分量和直流分量呢？數(shù)學(xué)上已有了肯定的答案，一切滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可以分解為傅里葉級數(shù)。這樣就可將非正弦周期量分解為若干個正弦交流電路來求解。例:電路如圖，u是一周期性的非正弦量，求

i

諧波分析法具體方法在5.4中介紹iRu+-基波（或一次諧波）二次諧波（2倍頻）直流分量高次諧波￥k

=1=

A0

+

Akmsin

(kωt

+ψk

)+…..5.2

非正弦周期量的分解數(shù)學(xué)工具：傅里葉級數(shù)1.

周期函數(shù)f

(w

t)的傅里葉級數(shù)條件：在一周期內(nèi)有有限個極大、極小值，有限個第一間斷點。f

(ωt)

=

A0

+A1msin

(ωt

+ψ1)+A2msin

(2ωt

+ψ2)￥

￥f

(ω

t

)

=

A0

+

Bk

msin

k

ω

t

+

Ck

mcos

k

ω

tk

=1

k

=1周期函數(shù)Akmsin

(kω

t

+

ψk)=

Ak

m(sin

kω

t

cosψk

+

cos

kω

t

sin

ψk

)=

Akmcosψk

sin

kω

t

+

Akmsin

ψk

cos

kω

t=

Bkmsin

k

ω

t

+

Ckmcos

k

ω

t傅里葉級數(shù)另一種形式￥K

=1f(w

t

)=

A0

+

Akmsin(

kwt

+y

k

)πCπBA

=2

π0km2

π0km2

π00f

(ω

t

)cos

kω

t

d(

ω

t

)=

1f

(ω

t

)sin

kω

t

d(

ω

t

)=

1f

(ω

t

)

d(

ω

t

)12π￥

￥k

=1

k

=1所以f

(ω

t)=A0

+

Bkmsin

k

ω

t

+Ckmcos

k

ω

t求出A0、Bkm、Ckm便可得到原函數(shù)f

(ωt)的展開式。(參見教材P175例5.1.1)矩形波、三角波、鋸齒波、全波整流電壓的傅里葉級數(shù)展開式矩形波電壓u

=

4U

m

(sin

ω

t

+

1

sin3

ω

t

+

1

sin5

ω

t

+

......)π

3

5三角波電壓9

25π

2u

=

8Um

(sinω

t

-

1

sin3ω

t

+

1

sin5ω

t

-

......)uwtOuwtO鋸齒波電壓m2

π

2π

3πu

=U

(1

-

1

sinωt

-

1

sin2ωt

-

1

sin3ωt

-

......)全波整流電壓u

=

2U

m

(1

-

2

cos2

ω

t

-

2

cos4

ω

t

-

......)π

3

15uwtOwtuO例

周期性方波的分解直流分量0￥u

=

U

+

Akm

sin

(

k

ω

t

+

ψk

)k

=1π2(sin

ω

t

+

1

sin3

ω

t

+

1

sin5ωt

+)3

5=

U

m

+

2U

m三波諧波七次諧波tuuOt基波tuOt五次諧波uOtuO直流分量+基波三次諧波直流分量+基波+三次諧波+五次諧波u直流分量t基波ut五次諧波從上例中可以看出，各次諧波的幅值是不等的，頻率愈高，則幅值愈小。說明傅里葉級數(shù)具有收斂

性；其中恒定分量（如果有的話）、基波及接近基

波的高次諧波是非正弦周期量的主要組成部分。上

圖中，我們只取到五次諧波，若諧波的項數(shù)取得愈

多，則合成的曲線愈接近原來的波形。2.

用頻譜圖表示非正弦周期量用長度與各次諧波振幅大小相對應(yīng)的線段，按

頻率的高低把它們依次排列起來。稱為頻譜圖。周期性方波的頻譜圖例52

π

3u=

Um

+

2Um

(

sinω

t

+

1

sin3ω

t+

1

sin5

ωt

+

)5p203p20205pw

3w

5ww設(shè)：Um=10Vu(V)O5.3

非正弦周期量的有效值￥k

=1若

i

=

I

0

+

ikm

sin(

kω

t

+

ψ

k

)

則有效值:TI

=02i

dt

1T1T

02T

I0

+

Ikmsin(kω

t

+ψk

)

d(

t

)=￥k

=1利用三角函數(shù)的正交性得￥+I

=

Ik

=1I

2

km2012=

I

2

+

I

2

+

I

2

+0

1

2教材178頁(5.2.2)式5.3

非正弦周期量的有效值0I

=

I

2

+

I

2

+

I

2

+2

221,

I

,

式中：I1

2=

I

1m

=

I

2m同理，非正弦周期電壓的有效值為：U

=

U

2

+U

2

+U

2

+0

1

2結(jié)論：周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。例1:

求圖示波形的有效值和平均值1001002=

25

=

5AT4T4tT10

dt

=TI

=平均值為:10

·TTI0

=

4

=

2.5A解：有效值為ti(A)104TTOwtu2ππ練習(xí)題：圖示是一半波整流電壓的波形，求其有效值和O平均值。5.4

非正弦周期電流的線性電路的計算分析計算要點利用傅里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)分解為恒定分量和各次正弦諧波分量相加的結(jié)果；利用正弦交流電路的計算方法，對各次諧波分量分別計算。（注意:對交流各次諧波的XL、XC不同，對直流C相當(dāng)于開路、L相當(dāng)于短路。）將以上計算結(jié)果，用瞬時值疊加。注意：不同頻率的正弦量相加，不能用相量計算，也不能將各分量的有效值直接相加。U

m

=

80V

、T

=

0.02S例1:

方波信號激勵的RLC串聯(lián)電路中已知：R

=

10Ω、L

=

0.05H

、C

=

22.5

μF求電流i

。+Ru

i

-LC解：第一步：將激勵信號展開為傅里葉級數(shù)2m00m0UTTU

dt

=T

1

T/2u(

t

)

dt

==

1直流分量：UtuUmO T/2

T諧波分量：0=

12πu

sin

kω

t

d(

ω

t

)πBkm(k為偶數(shù))(k為奇數(shù))=kπkππ=

4U

m0cos

kω

t

)

01 m

(-2U0=

12πu

cos

kω

td(

ω

t

)πCkmπ0=

0(

sin

kω

t

)π

k=

2U

m

1kπB2kmkm=

2Um+C2

=

Bkm

kmA

=（k為奇數(shù)）kmkBj

=

arctan

C

km

=

0￥k

=1所以

u

=

U

0

+

Ak

m

sin(

kω t

+

j

k

)5π

3+

2U

m

(sinω

t

+

1

sin3ω

t

+

1

sin5ω

t

+)=

U

mu10U3uu5+-+等效電源-+-+-t2uUmO T/2

T2

20=

80

=

40V=

U

m直流分量U3.141m=

2

·

80

=

51

Vπ=

2U

m基波最大值U=

80

V

,

T

=

0.02

S代入已知數(shù)據(jù)：U

m得51m5m=

1

U

=

10.2V五次諧波最大值U31m3m=

1

U

=

17V三次諧波最大值U=

314

rad/sT

0.02ω

=

2

π

=

2

·

3.14角頻率電壓源各頻率的諧波分量為u1

=

51

sin314

t

V3U

0

=

40V3

55u

=

51

sin3 314

t

V

u

=

51

sin5 314

t

V第二步對各種頻率的諧波分量單獨計算=

40V(1)

直流分量U0

作用：U

0對直流，電容相當(dāng)于斷路；電感相當(dāng)于短路。所以輸出的直流分量為：I0

=0I0+U0-0U

作用的等效電路1

1==

141

Ωω

L

=

314

·

0.05

=

15.7

Ωω

C

314

·

22.5

·

10

-61Z

1

=

R

+

j(

ω

L

-

ω

C

)L

=

0.05HC

=

22.5

mfω=314rad/s+Ru1(2)基波作用i-LCZ11m=

51

=

0.4A126=

U

1mIu1

=

51

sin314

t

V=

126

—

-

85.3=

10

+

j(15.7

-

141)Ω(3)

三次諧波作用+R3ui-LC10Z33m=

17

=

1.7A=

U

3mI33u

=

51

sin3 314

t

V3141)13)]W=

[10

+

j(3

·

15.7

-?

10

0

Ω3

ω

CZ

=

R

+

j(3

ω

L

-(4)五次諧波作用+Ru5i-LC51.2Z55m=

0.2A=

10.2=

U

5mI55314

t

Vu

=

51

sin551411)]W=

[10

+

j(5

·

15.7

-=

51.2

78.8

ΩZ

5

=

R

+

j(5

ω

L

-

5

ω

C

)第三步各諧波分量計算結(jié)果瞬時值疊加i

=

I0

+

i1

+

i3

+

i5=

0.4sin(

ωt

+

85.3

)+1.7sin3

ωt+

0.2sin(5

ωt

-

78.8 )

AI0

=0=

1.7

0

A=

0.2

-

78.8

AI3mI5m1m=

0.4

+

85.3

AI例2:

有一RC并聯(lián)電路，已知：

R

=

1kΩ

、

C

=

50 μ

Fi

=

1.5

+

0.707

2sin6280t

mA求：各支路中的電流和兩端電壓。Ru

Ci+-iRiCU0

=

RI

S0

=1·1.5=

1.5V解：(1)

直流分量

IS0

作用IS0

=

1.5mAR0Ui+-I0111?

3Ω=ω

C

6280

·

50

·

10

-6X

=C

12sin

6280

t

mA(2)基波作用i1

=

0.707C

1所以交流分量i1

基本不通過電因為

X

<<

R阻R這條支路。UC1

=

XC1

I

1

=

3

·0.707=

2.12mV1u

C

Ri1+-Ri

?

0i1CRi0+U

CR0I1i1U

?

0+-

-CR0<<U

在電容上的交流壓降可以忽略不計ti(mA)t所以U

C

1i(mA)tI0(mA)+因此在這里電容對直流相當(dāng)于開路，對交流起到了旁路的作用。這一作用在交流放大電路中我們將得到應(yīng)用。I

=

I

+

Iω5ω3ω10+

I

+

......+

I

計算非正弦周期交流電路應(yīng)注意的問題1.

最后結(jié)果只能是瞬時值疊加。不同頻率正弦量不能用相量相加。2.

不同頻率對應(yīng)的XC、XL不同。5.5

非正弦周期電流電路平均功率TTP

=0u

id

t

1

￥u(ω

t

)

=

U

0

+

U

km

sin(

kω

t

+

ψk

)k

=1-

j

k

)i

(ω

t

)

=

I

0

+

I

km

sin(

kω

t

+

ψk