2021年廣西壯族自治區(qū)桂林市示范性普通中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2021年廣西壯族自治區(qū)桂林市示范性普通中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列滿足:,,則使其前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是（）.

A.4017

B.4014

C.4016

D.4018參考答案：答案：C2.已知復(fù)數(shù)z=，則z=（）A．1﹣i B．1+i C．2+2i D．2﹣2i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡求解即可．【解答】解：復(fù)數(shù)z==1﹣i．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查計(jì)算能力．3.已知函數(shù)f（x）=，則y=f（x）的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的圖象．【分析】利用函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域排除B，D，通過函數(shù)的單調(diào)性排除C，推出結(jié)果即可．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，則，由g'（x）＞0，得x＞1，即函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是對(duì)任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g(shù)（x）≥0，故排除B、D，因函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，則函數(shù)f（x）在（0，1）上遞增，故排除C，故選A．4.依據(jù)小區(qū)管理?xiàng)l例，小區(qū)編制了如圖所示的住戶每月應(yīng)繳納衛(wèi)生管理費(fèi)的程序框圖，并編寫了相應(yīng)的程序．已知小張家共有4口人，則他家每個(gè)月應(yīng)繳納的衛(wèi)生管理費(fèi)（單位：元）是 A．3．6 B．5．2 C．6．2 D．7．2參考答案：C當(dāng)時(shí)，，選C.5.若三條直線，和只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為__________參考答案：-3；6略6.已知滿足條件，則目標(biāo)函數(shù)從最小值變化到時(shí)，所有滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為A. B. C. D.參考答案：A7.“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不是充分條件也不是必要條件參考答案：A8.已知E，F(xiàn)，G，H分別是四面體ABCD棱AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且，，,，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．平面

B．平面C.直線相交于同一點(diǎn)

D．參考答案：BA:，，,，可得到GH平行于AC，EF平行于AC，故平面得到，選項(xiàng)正確.B:因?yàn)锽D和FH不平行，而且兩條直線在同一平面內(nèi)，故得到兩直線延長后相交，可得到BD與平面EFG是相交的關(guān)系.選項(xiàng)不正確.D:，，,，可得到GH平行于AC，EF平行于AC，由平行線的傳遞性得到，選項(xiàng)正確.故答案為：B.

9.已知以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，的交點(diǎn)為P，則當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，雙曲線的離心率為A.

B.

C.

D.2參考答案：B10.已知正數(shù)、滿足，則的最小值為（

）（A）1

（B）

（C）

（D）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)為銳角，若，則的值為

參考答案：

12.已知點(diǎn)P（0，1）是圓內(nèi)一點(diǎn)，AB為過點(diǎn)P的弦，且弦長為，則直線AB的方程為______________________．參考答案：x+y-1=0或x-y+1=013.已知二面角為，，，，為線段的中點(diǎn)，，，則直線與平面所成角的大小為________．參考答案：14.在邊長為1的正三角形ABC中，，則的值等于

。參考答案：15.(幾何證明選講選做題)如圖所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于__

參考答案：5略16.在的展開式中常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是60，則a的值為．參考答案：2【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：Tr+1==ar，令3﹣=0，解得r=2．∴=60，a＞0，解得a=2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，若a1=2，S3=12，則a6= ．參考答案：12【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵S3=12，∴S3=3a1+d=3a1+3d=12．解得d=2，則a6=a1+5d=2+2×5=12，故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和應(yīng)用，根據(jù)條件求出公差是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（x2﹣x）ex（1）求y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y=g（x），并證明f（x）≥g（x）（2）若方程f（x）=m（m∈R）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2，求證：|x1﹣x2|＜+m+1．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，可得切線方程，構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論；（2）（x2﹣x）ex≥e（x﹣1），設(shè)y=m與y=﹣x和y=e（x﹣1）的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3，x4，x3＜x1＜x2＜x4，即可證明結(jié)論．【解答】證明：（1）f′（x）=（x2+x﹣1）ex，f′（1）=e，f（1）=0，∴y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y=g（x）=e（x﹣1），設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），則h′（x）=（x2+x﹣1）ex﹣e，h″（x）=（x2+3x）ex，令h″（x）=0，可得x=﹣3或x=0，函數(shù)y=h′（x）在（﹣∞，﹣3），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣3，0）上單調(diào)遞減，∵，∴x∈（﹣∞，1），h′（x）＜0，y=h（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞，），h′（x）＞0，y=h（x）單調(diào)遞增，∴h（x≥h（1）=0，∴f（x）≥g（x）；（2）∵y=f（x）在x=0處的切線方程為y=﹣x，則（x2﹣x）ex≥﹣x又（x2﹣x）ex≥e（x﹣1），設(shè)y=m與y=﹣x和y=e（x﹣1）的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3，x4，∴x3＜x1＜x2＜x4，∴|x1﹣x2|＜x4﹣x3=+m+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，屬于中檔題．19.某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價(jià)格(單位：元/千克)滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克． (Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價(jià)格的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．參考答案：解：(Ⅰ)因?yàn)闀r(shí)，所以；(Ⅱ)由(Ⅰ)知該商品每日的銷售量，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤：；，令得當(dāng)，，在上遞增；當(dāng)，，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值答：當(dāng)銷售價(jià)格時(shí),商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.略20.11月11日在某購物網(wǎng)站消費(fèi)不超過10000元的2000名網(wǎng)購者中有女士1100名，男士900名．該網(wǎng)站為優(yōu)化營銷策略，根據(jù)性別采用分層抽樣的方法從這2000名網(wǎng)購者中抽取200名進(jìn)行分析得到下表（消費(fèi)金額：元）女士消費(fèi)情況：消費(fèi)金額（0，2000）[2000，4000）[4000，6000）[6000，8000）[8000，10000]人數(shù)1025

35

35x男士消費(fèi)情況：消費(fèi)金額（0，2000）[2000，4000）[4000，6000）[6000，8000）[8000，10000]人數(shù)1530

25y3（Ⅰ）計(jì)算x，y的值，在抽出的200名且消費(fèi)金額在[8000，10000]（單位：元）的網(wǎng)購者中隨機(jī)選出2名發(fā)放網(wǎng)購紅包，求選出的兩名網(wǎng)購者都是男士的概率；（Ⅱ）若消費(fèi)金額不低于6000元的網(wǎng)購者為“網(wǎng)購達(dá)人”，低于6000元的網(wǎng)購者為“非網(wǎng)購達(dá)人”，根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面2×2列連表，并回答能否在犯錯(cuò)誤率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“是否為網(wǎng)購達(dá)人與性別有關(guān)”？

女士男士總計(jì)網(wǎng)購達(dá)人

非網(wǎng)購達(dá)人

總計(jì)

附：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010.005k02.7063.8415.0246.6357.879．參考答案：【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)分層抽樣方法求出x、y的值，利用組合數(shù)計(jì)算基本事件數(shù)，即可求得相對(duì)應(yīng)的概率；（Ⅱ）列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算得觀測(cè)值K2，對(duì)照表中數(shù)據(jù)，即可判斷結(jié)論是否成立．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，樣本中應(yīng)抽取女士200×=110人，男士200﹣110=90人；∴x=110﹣（10+25+35+35）=5，y=90﹣（15+30+25+3）=17；∴消費(fèi)金額在[8000，10000]（單位：元）的網(wǎng)購者有女士5人，男士3人，從中任選2名，基本事件為=28種，其中選出的2名都是男士的基本事件為3種，∴所求的概率為；（Ⅱ）

女士男士總計(jì)網(wǎng)購達(dá)人402060非網(wǎng)購達(dá)人7070140總計(jì)11090200可以在犯錯(cuò)誤率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“是否為網(wǎng)購達(dá)人與性別有關(guān)”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分層抽樣方法的應(yīng)用問題，考查2×2列聯(lián)表的應(yīng)用問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．21.已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且滿足a1+a5==63．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足b1=a1且bn+1﹣bn=an+1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知條件建立方程組，通過解方程求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）首先利用疊加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．【解答】解：（Ⅰ）法一：設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，an＞0則，得∴an=2n+1法二：∵{an}是等差數(shù)列且，∴，又∵an＞0∴a3=7．…∵，∴d=a4﹣a3=2，∴an=a3+（n﹣3）d=2n+1．

（Ⅱ）∵bn+1﹣bn=an+1且an=2n+1，∴bn+1﹣bn=2n+3當(dāng)n≥2時(shí)，bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3=n（n+2），當(dāng)n=1時(shí)，b1=3滿足上式，bn=n（n+2）∴=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題型．22.（本題滿分12分）本題共有2小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分6分．已知函數(shù)．（1）化簡并求函數(shù)的最小正