2024屆湖北省隨州市第二高級中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

2024屆湖北省隨州市第二高級中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)（點(diǎn)位于之間）且于點(diǎn)且，則等于（）A. B.C. D.2．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．在中，角、、所對的邊分別是、、.已知，，且滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．若關(guān)于x的方程有解，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.5．過拋物線的焦點(diǎn)作互相垂直的弦，則的最小值為（）A.16 B.18C.32 D.646．在等差數(shù)列中，已知，則（）A.4 B.8C.3 D.67．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時，點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.10．已知，，，若、、三個向量共面，則實數(shù)A3 B.5C.7 D.911．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.54 B.45C.27 D.8112．曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則實數(shù)（）A. B.0C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的右焦點(diǎn)是，兩點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若△是直角三角形，則橢圓的離心率是________.14．已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍為________.15．已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為_________16．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（1）證明：；（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值18．（12分）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為B類工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）（1）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？（2）從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2：表1：生產(chǎn)能力分組人數(shù)48x53表2：生產(chǎn)能力分組人數(shù)6y3618①先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更小？（不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）②分別估計A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）圖1A類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖圖2B類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖19．（12分）已知向量，.（1）計算和；（2）求.20．（12分）已知雙曲線C的方程為（），離心率為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.21．（12分）已知圓，圓，動圓與圓外切，且與圓內(nèi)切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程，并說明軌跡是何種曲線；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與直線交于兩點(diǎn)，且滿足的面積是面積的一半，求的面積22．（10分）已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且過點(diǎn)M（）（1）求圓C的方程；（2）已知點(diǎn)P是圓C上的動點(diǎn)，試求點(diǎn)P到直線的距離的最小值；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由題可得，然后結(jié)合條件可得，即求.【題目詳解】設(shè)于點(diǎn)，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)G，則，又，∴，又于點(diǎn)且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.2、A【解題分析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.【題目詳解】當(dāng)，，則，當(dāng)時，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A3、D【解題分析】利用正弦定理邊角互化思想化簡得出，利用余弦定理化簡得出，結(jié)合，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性可求得的取值范圍.【題目詳解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，則，由余弦定理得，，則，由于雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以，.因此，的取值范圍為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角余弦值的取值范圍的求解，考查了余弦定理以及正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.4、C【解題分析】將方程有解，轉(zhuǎn)化為方程有解求解.【題目詳解】解：因為方程有解，所以方程有解，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以實數(shù)a的取值范圍為，故選：C5、B【解題分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，分別設(shè)出，所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的直線方程為，則直線的方程為.，，，.由，得，，同理可得..當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.所以的最小值為.故選：B6、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算出正確答案.【題目詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，得.故選:B7、C【解題分析】先求動點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【題目詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡得,所以動點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.8、B【解題分析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可得離心率.【題目詳解】如圖所示：因為為等腰三角形，且，又，所以，所以，過點(diǎn)作軸，垂足為，則，由，，得，因為點(diǎn)在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.9、D【解題分析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【題目詳解】，，，又，，兩邊同乘以負(fù)數(shù)，可知故選：D10、A【解題分析】由空間向量共面原理得存在實數(shù)，，使得，由此能求出實數(shù)【題目詳解】解：，，，、、三個向量共面，存在實數(shù)，，使得，即有：，解得，，實數(shù)故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量共面原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11、B【解題分析】由三視圖可得該幾何體是由平行六面體切割掉一個三棱錐而成，直觀圖如圖所示，所以該幾何體的體積為故選B點(diǎn)睛：本題考查了組合體的體積，由三視圖還原出幾何體，由四棱柱的體積減去三棱錐的體積.12、A【解題分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程為，進(jìn)而得.【題目詳解】解：因為，，，所以，切線方程為，因為切線過點(diǎn)，所以，解得故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題設(shè)易知，應(yīng)用斜率的兩點(diǎn)式及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而求橢圓離心率.【題目詳解】由題設(shè)，，，，又△是直角三角形，顯然，所以，可得，則，解得，又，所以.故答案為：.14、【解題分析】由題可得有兩個不同正根，利用分離參數(shù)法得到.令，，只需和有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合即得.【題目詳解】∵的定義域為，，要使函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，只需有兩個不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，由得，，令，，要使函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，只需和有兩個交點(diǎn)，∵，令得：0<x<1；令得：x>1；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；當(dāng)時，；作出和的圖像如圖，所以，即，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：15、【解題分析】利用對稱條件求出圓心C的坐標(biāo)，借助直線被圓所截弦長求出圓半徑即可寫出圓的方程.【題目詳解】設(shè)圓的圓心，依題意，，解得，即圓心，點(diǎn)C到直線的距離，因圓截直線所得弦AB長為6，于是得圓C的半徑所以圓的方程為：.故答案為：16、【解題分析】先驗證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可【題目詳解】由題，當(dāng)時，，故點(diǎn)在曲線上求導(dǎo)得：，所以故切線方程為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結(jié)論.（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)由于軸，可設(shè)，可得出與的坐標(biāo)設(shè)為平面的法向量，求出法向量.是關(guān)于的一個式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因為，所以又因為平面平面，平面平面，，所以平面又平面，所以又因為，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因為，，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小問2詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，因為軸，可設(shè)，可求得，設(shè)為平面的法向量則令，解得，所以又因為是平面的法向量所以，因為，所以所以當(dāng)時，取到最小值18、（1）25,75（2）①5,15，直方圖見解析，B類②123，133.8，131.1【解題分析】（1）先計算抽樣比為，進(jìn)而可得各層抽取人數(shù)（2）①類、類工人人數(shù)之比為，按此比例確定兩類工人需抽取的人數(shù)，再算出和即可．畫出頻率分布直方圖，從直方圖可以判斷：類工人中個體間的差異程度更?、谌∶總€小矩形的橫坐標(biāo)的中點(diǎn)乘以對應(yīng)矩形的面積相加即得平均數(shù).【題目詳解】（1）由已知可得：抽樣比，故類工人中應(yīng)抽?。喝?，類工人中應(yīng)抽?。喝耍?）①由題意知，得，，得滿足條件的頻率分布直方圖如下所示：從直方圖可以判斷：類工人中個體間的差異程度更小②，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計值分別為123，133.8和131.1【題目點(diǎn)撥】本題考查等可能事件、相互獨(dú)立事件的概率、頻率分布直方圖的理解以及利用頻率分布直方圖求平均數(shù)等知識、考查運(yùn)算能力19、（1），；（2）.【解題分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的坐標(biāo)，利用向量的模長公式可求得的值；（2）計算出，結(jié)合的取值范圍可求得結(jié)果.【題目詳解】（1），；（2），，因此，.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同時也考查了利用空間向量的數(shù)量積計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合離心率易，知雙曲線為等軸雙曲線，進(jìn)而可求解；（2）根據(jù)題意，分直線斜率否存在兩種情形討論，結(jié)合設(shè)而不求法以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，由離心率為，知雙曲線是等軸雙曲線，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則由消去，得到，∵直線與雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，，解得.設(shè)，則有，，因此，∵，∴且，故或，故；②當(dāng)直線的斜率不存在時，此時，易知，，故.綜上所述，所求的取值范圍是.21、（1）（2）或【解題分析】（1）設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為，由題意，，從而可得，由橢圓的定義即可求解；（2）由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可得，利用弦長公式求出及到直線AB的距離即可得的面積.【小問1詳解】解：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設(shè)圓的半徑為，由題意，，所以，由橢圓的定義可知，動圓圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，則，所以，所以動圓圓心的軌跡的方程為；【小問2詳解】解：由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，，由，可得，所以①，②，且，即，因為的面積是面積的一半，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，即③，聯(lián)立①②③可得，所以，因為到直線AB的距離，，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以的面積為或.22、