遼寧省大連市普蘭店第二十四高級中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

遼寧省大連市普蘭店第二十四高級中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)f(x)＝(a＞0)在[1,+∞)上的最大值為，則a的值為()A.＋1 B. C. D.－1參考答案：D【分析】先由題，對函數(shù)進行求導(dǎo)，討論a的取值研究在[1，＋∞]的最值，反解求得a的值.【詳解】，當(dāng)x＞或時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)＜x＜時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，若時，當(dāng)x＝時取最大值，此時f(x)＝＜1，不合題意．若時，此時f(x)max＝f(1)＝－1，故選：D.【點睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，理解單調(diào)性和極值以及掌握好分類討論是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.2.已知圓O在平面α內(nèi)，PO⊥平面α，A在圓O上，如果圓O的周長與PA長之比為π，那么AP與平面α所成角（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由n=k遞推到n=k+1時，下列說法正確的是（）A．增加了一項B．增加了兩項和C．增加了B中兩項，但又少了一項D．增加了A中一項，但又少了一項參考答案：C【考點】數(shù)學(xué)歸納法．【分析】當(dāng)n=k時，寫出左端，并當(dāng)n=k+1時，寫出左端，兩者比較，關(guān)鍵是最后一項和增加的第一項的關(guān)系．【解答】解：當(dāng)n=k時，左端=++…+，那么當(dāng)n=k+1時

左端=+…+++故第二步由k到k+1時不等式左端的變化是增加了兩項，同時減少了這一項，故選：C．4.下面程序輸入時的運算結(jié)果是（）ＡＢ1ＣＤ２參考答案：D略5.過雙曲線的一個焦點F2作垂直于實軸的直線，交雙曲線于P、Q，F(xiàn)1是另一焦點，若∠PF1Q=，則雙曲線的離心率e等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)；雙曲線的應(yīng)用．【分析】根據(jù)由題設(shè)條件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出雙曲線的離心率e．【解答】解：由題意可知，|F1F2|=2c，∵∠，∴，∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4，整理得e4﹣6e2+1=0，解得或（舍去）故選C．6.若全集,則A．

B.

C.

D.參考答案：B7.某程序框圖如圖所示，該程序運行后，輸出的值為，則等于A．4B．1C．2D．3參考答案：D略8.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A.函數(shù)f(x)和g(x)的值域相同B.若函數(shù)f(x)關(guān)于對稱，則函數(shù)g(x)關(guān)于(a,0)中心對稱C.函數(shù)f(x)和g(x)都在區(qū)間上單調(diào)遞增D.把函數(shù)f(x)向右平移個單位，就可以得到函數(shù)g(x)的圖像參考答案：C【分析】先整理，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，故；由得，所以不是的增區(qū)間，故C錯；又，所以，故函數(shù)和的值域相同；A正確；由得，即函數(shù)的對稱中心為；由得，即函數(shù)對稱軸為，所以B正確；因為把函數(shù)向右平移個單位，得到，故D正確；故選C【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)圖像變換問題，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于常考題型.9.已知x=2是函數(shù)f（x）=x3﹣3ax+2的極小值點，那么函數(shù)f（x）的極大值為（）A．15 B．16 C．17 D．18參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出導(dǎo)數(shù)，由題意得，f′（2）=0，解出a，再由單調(diào)性，判斷極大值點，求出即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=x3﹣3ax+2的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2﹣3a，由題意得，f′（2）=0，即12﹣3a=0，a=4．f（x）=x3﹣12x+2，f′（x）=3x2﹣12=3（x﹣2）（x+2），f′（x）＞0，得x＞2或x＜﹣2；f′（x）＜0，得﹣2＜x＜2，故x=2取極小值，x=﹣2取極大值，且為﹣8+24+2=18．故選D．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求極值，同時考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.在“南安一中校園歌手大賽”比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計圖如圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（

）

A．85和6.8

B．85和1.6

C．86和6.8

D．86和1.6參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線與圓相交于兩點，且，則

參考答案：略12.命題p:“對，恒成立”，命題q：“方程表示雙曲線”.(1)若p為假命題，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若p∧q是假命題，p∨q是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：略13.雙曲線的漸近線方程為

▲

.參考答案：【分析】漸近線方程是=0，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】∵雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴其漸近線方程是=0，整理得故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，令標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0”即可求出漸近線方程．屬于基礎(chǔ)題．

14.某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為

.參考答案：600

15.已知圓的直角坐標(biāo)方程為=則圓的極坐標(biāo)方程為____________.參考答案：=本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.將公式===代入=可得，因為，所以=16.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80，現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為_____________.(精確到0.01)參考答案：P＝×0.83×0.22+×0.84×0.2+×0.85＝0.94208≈0.94.略17.某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取

名學(xué)生．參考答案：15三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，.

（1）求證：AC⊥BF；（2）求二面角F—BD—A的余弦值；(3)求點A到平面FBD的距離.參考答案：因此以CD為x軸,CA為y軸,以CE為z軸建立空間坐標(biāo)系，

……2分

（1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,,0),F(0,,),B(-1,,0),,,,……6分（2）平面ABD的法向量解出,cos=,所求二面角F—BD—A的余弦值為……9分(3)點A到平面FBD的距離為d,.

……12分19.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內(nèi)整點的個數(shù)為an（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點）．（1）n=2時，先在平面直角坐標(biāo)系中作出區(qū)域D2，再求a2的值；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）記數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，試證明：對任意n∈N*恒有++…+＜成立．參考答案：【考點】數(shù)列與不等式的綜合．【分析】（1）在4×8的矩形區(qū)域內(nèi)有5×9個整點，對角線上有5個整點，可求a2的值；（2）直線y=nx與x=4交于點P（4，4n），即可求數(shù)列{an}的通項公式；（3）利用裂項法，放縮，求和即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）D2如圖中陰影部分所示，∵在4×8的矩形區(qū)域內(nèi)有5×9個整點，對角線上有5個整點，∴a2==25．（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直線y=nx與x=4交于點P（4，4n），據(jù)題意有an==10n+5．（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）．（8分）∵==?＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）【點評】本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列的通項與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20.已知，設(shè)命題成立,命題q:方程表示雙曲線.如果“p∨q”為真，“p∧q”為假，求m的取值范圍.

參考答案：若p為真：對?x∈[－1,1]，4m2－8m≤x2－2x－2恒成立，設(shè)f(x)＝x2－2x－2，配方得f(x)＝(x－1)2－3，∴f(x)在[－1,1]上的最小值為－3，∴4m2－8m≤－3，解得≤m≤，∴p為真時：≤m≤；………………2分若q為真,則…………………4分∵“p∨q”為真，“p∧q”為假，∴p與q一真一假，…………5分當(dāng)p真q假時，……………………7分當(dāng)p假q真時，…………………9分綜上所述，m的取值范圍是………10分21.已知,,,其中.(I)若與的圖像在交點(2,)處的切線互相垂直,求的值;(II)若是函數(shù)的一個極值點,和1是的兩個零點,且∈(,求;(III)當(dāng)時,若,是的兩個極值點,當(dāng)|-|>1時,求證:|-|>3-4.參考答案：(I),

由題知,即

解得(II)=,由題知,即解得=6,=-1

∴=6-(-),=∵>0,由>0,解得0<<2;由<0,解得>2∴在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)單調(diào)遞減,故至多有兩個零點,其中∈(0,2),∈(2,+∞)

又>=0,=6(-1)>0,=6(-2)<0∴∈(3,4),故=3

(III)當(dāng)時,=,=,由題知=0在(0,+∞)上有兩個不同根,,則<0且≠-2,此時=0的兩根為-,1,

由題知|--1|>1,則++1>1,+4>0

又∵<0,∴<-4,此時->1則與隨的變化情況如下表:(0,1)1(1,-)-(-,+∞)-0+0-

極小值

極大值

∴|-|=極大值-極小值=F(-)―F(1)=―)+―1,

設(shè),則,,∵<-4,∴>―,∴>0,∴在(―∞,―4)上是增函數(shù),<從而在(―∞,―4)上是減函數(shù),∴>=3-4所以|-|>3-4.22.設(shè)A、B分別為雙曲線的左右頂點，雙曲線的實軸長為，焦點到漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使，求t的值及點D的坐標(biāo)．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由實軸長可得a值，由焦點到漸近線的距離可得b，c的方程，再由a，b，c間的平方關(guān)系即可求得b；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），則x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，則x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理可得x1+x2，進而求得y1+y2，從而可得，再由點D在