2022-2023學(xué)年北京第一七九中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2022-2023學(xué)年北京第一七九中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.給出30個(gè)數(shù)：1，2，4，7，11，…，要計(jì)算這30個(gè)數(shù)的和，現(xiàn)已給出了該問(wèn)題的程序框圖如圖所示，那么框圖中判斷框①處和執(zhí)行框②處應(yīng)分別填入（）A．i≤30？；p=p+i﹣1 B．i≤31？；p=p+i+1C．i≤31？；p=p+i D．i≤30？；p=p+i參考答案：D【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)．【分析】由程序的功能是給出30個(gè)數(shù)：1，2，4，7，11，…要計(jì)算這30個(gè)數(shù)的和，我們可以根據(jù)循環(huán)次數(shù)，循環(huán)變量的初值，步長(zhǎng)計(jì)算出循環(huán)變量的終值，得到①中條件；再根據(jù)累加量的變化規(guī)則，得到②中累加通項(xiàng)的表達(dá)式．【解答】解：由于要計(jì)算30個(gè)數(shù)的和，故循環(huán)要執(zhí)行30次，由于循環(huán)變量的初值為1，步長(zhǎng)為1，故終值應(yīng)為30即①中應(yīng)填寫(xiě)i≤30；又由第1個(gè)數(shù)是1；第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大1即1+1=2；第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大2即2+2=4；第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)大3即4+3=7；…故②中應(yīng)填寫(xiě)p=p+i故選D2.已知正三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，其底面邊長(zhǎng)為3，E、F、G分別為側(cè)棱AB，AC，AD的中點(diǎn).若O在三棱錐A-BCD內(nèi)，且三棱錐A-BCD的體積是三棱錐O-BCD體積的3倍，則平面EFG截球O所得截面的面積為（

）A. B. C. D.4π參考答案：A【分析】是底面的中心，則在上，而由得，與平面交于點(diǎn)，是過(guò)平面的截面圓圓心，在中由勾股定理求得，再由截面圓性質(zhì)可求得截面圓半徑．【詳解】如圖，是底面的中心，則在上，而由得，設(shè)，則，又，是中心，則，∴由得，解得，設(shè)與平面交于點(diǎn)，∵分別是的中點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，∴，，設(shè)平面截球所得截面圓半徑為，則，∴此圓面積為．故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查棱錐與其外接球，解題關(guān)鍵首先是確定球的半徑，然后根據(jù)截面圓性質(zhì)求得截面圓半徑從而得出其面積．記住結(jié)論：正棱錐的外接球球心一定在其高上．

3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點(diǎn)M為正方形ABCD的中心，則異面直線AB1與D1M所成角的余弦值為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式，即可求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則向量，則向量與的夾角為,即異面直線與所成角的余弦值為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量求解異面直線所成的角，其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，合理利用向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4.6本不同的書(shū)在書(shū)架上擺成一排，要求甲、乙兩本書(shū)必須擺放在兩端，丙、丁兩本書(shū)必須相鄰，則不同的擺放方法有（

）種A．24 B．36 C．48 D．60參考答案：A5.如下圖，將半徑為l的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)（陰影部分）．現(xiàn)在往圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：A6.若對(duì)于任意x∈（﹣2，2）都有2x（x﹣a）＜1成立，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣6） B．（，+∞） C．[，+∞） D．（﹣6，+∞）參考答案：C7.設(shè)函數(shù)若關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，其中，則的取值范圍是（

）A.(0,101] B.(0,99] C.(0,100] D.(0,+∞)參考答案：B【分析】畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計(jì)算得到答案.【詳解】，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.8.如圖，在矩形ABCD中，，，兩個(gè)圓的半徑都是1，且圓心，均在對(duì)方的圓周上，在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．參考答案：D如圖所示，分別連接，則分別為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以其面積分別為，其中拱形的面積為，所以陰影部分的面積為，所以概率為，故選D．

9.（5分）（2015?貴陽(yáng)一模）已知拋物線C1：y=x2（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線C2：﹣y2=1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M，若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=（）A．B．C．D．參考答案：D【考點(diǎn)】：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫(xiě)出過(guò)兩個(gè)焦點(diǎn)的直線方程，求出函數(shù)y=x2（p＞0）在x取直線與拋物線交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與p的關(guān)系，把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可求得p的值．解：由拋物線C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，）．由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．所以雙曲線的右焦點(diǎn)為（2，0）．則拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線所在直線方程為，即①．設(shè)該直線交拋物線于M（），則C1在點(diǎn)M處的切線的斜率為．由題意可知=，得x0=，代入M點(diǎn)得M（，）把M點(diǎn)代入①得：．解得p=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，函數(shù)在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題．10.已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（

）

參考答案：D解：，所以圖像的重要特征是時(shí)，減函數(shù)，并且過(guò)點(diǎn)，所以選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.二項(xiàng)式，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是______.參考答案：180【分析】求得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，即可求解展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，得到答案.【詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得，即展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定量的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12.設(shè)函數(shù)，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x﹣2y在D上的最大值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】先求出曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線，然后畫(huà)出區(qū)域D，利用線性規(guī)劃的方法求出目標(biāo)函數(shù)z的最大值即可．【解答】解：當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=，則f′（1）=1，所以曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線為y=x﹣1，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域如下圖陰影部分．z=x﹣2y可變形成y=x﹣，當(dāng)直線y=x﹣過(guò)點(diǎn)A（0，﹣1）時(shí)，截距最小，此時(shí)z最大．最大值為2．故答案為：2．13.已知且與垂直，則實(shí)數(shù)的為

.參考答案：略14.已知某錐體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該錐體的體積為

▲

．參考答案：【答案解析】2解析：解：由三視圖知：幾何體為棱錐，如圖其中SA=2,四邊形ABCD為直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，所以四棱錐的體積【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三視圖作出原圖，利用體積公式求出體積.15.設(shè)平面點(diǎn)集，則所表示的平面圖形的面積為_(kāi)_________參考答案：16.給出下列命題中①非零向量滿足，則的夾角為；②＞0，是的夾角為銳角的充要條件；③將函數(shù)y=的圖象按向量=(－1,0)平移，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=；④在中，若，則為等腰三角形；以上命題正確的是

（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）參考答案：①③④17.設(shè)n為正整數(shù)，，計(jì)算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，觀察上述結(jié)果，可推測(cè)一般的結(jié)論為．參考答案：f（2n）≥（n∈N*）略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）討論：f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2時(shí)，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【專題】開(kāi)放型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）先求出函數(shù)的最大值，再構(gòu)造函數(shù)（a）=lna+a﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，則f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，若a＞0，則當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上無(wú)最大值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=取得最大值，最大值為f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴l(xiāng)na+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）單調(diào)遞增，g（1）=0，∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（a）＜0，當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）＞0，∴a的取值范圍為（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．19.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖所示，已知與⊙相切，為切點(diǎn)，為割線，弦，、相交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且·(1)求證：；(2)求證：·=·．參考答案：證明：（1），。是公共角，相似于，,.

……5分.(2),相似,即··.弦相交于點(diǎn),··.··.

……10分20.(本題滿分12分）已知函數(shù)（1）求的最大值和最小正周期；（2）設(shè)，，求的值。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法．C5

C4【答案解析】（1）的最大值，最小正周期；（2）.解析：（1）……1分…………4分且的最大值為…5分最小正周期…………6分（2）…………7分

，

…………8分又，…………9分…………10分…………11分又…………12分【思路點(diǎn)撥】（1）函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出函數(shù)f（x）的最大值，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；（2）由（1）化簡(jiǎn)的f（x）解析式及已知的第一個(gè)等式，得到sinα的值，由α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，再由已知的第二個(gè)等式，求出β的度數(shù)，代入所求式子中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把各自的值代入即可求出值．21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)=x3－ax2，a∈R.（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(3，f(3))處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(x－a)cosx－sinx，討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值.參考答案：解：（Ⅰ）由題意，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.（Ⅱ）因?yàn)?/p>

g（x）=f（x）+（x-a）cosx-sinx，所以

=x（x-a）-（x-a）sinx

=（x-a）（x-sinx），令

h（x）=x-sinx，則

，所以

h（x）在R上單調(diào)遞增.因?yàn)?/p>

h（0）=0.所以

當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞0；

當(dāng)x＜0時(shí)，h（x）＜0.（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，取到極大值，極大值是，當(dāng)時(shí)，取到極小值，極小值是.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，在上單調(diào)遞增，無(wú)極大值也無(wú)極小值.（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，取到極大值，極大值是；當(dāng)時(shí)，取到極小值，極小值是.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是.

22.