垂徑定理 全市一等獎

3.3垂徑定理（2）在⊙O內任取一點M,請你折出一條弦AB，使AB經過點M，并且AM=BM.●O●M你能說說這樣找的理由？巧手來做一做②CD⊥AB,垂徑定理的推論AB是⊙O的一條弦,且AM=BM.（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由.過點M作直徑CD.（1）右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,

其對稱軸是什么?發(fā)現(xiàn):由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這弦,并且平分弦所對的兩條弧.●OCD●MAB┗垂徑定理的逆定理弦（不是直徑）并且平分弦所對的兩條弧平分的直徑垂直于弦，垂徑定理的推論如圖,在下列五個條件中:只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論.●OABCDM└①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.③AM=BM,①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.②CD⊥AB,垂徑定理及逆定理●OABCDM└條件結論定理及逆定理①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,并且平分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,并且垂直平分弦.①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.初步嘗試垂徑定理的應用例1如圖，一條公路的轉變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點,且OE⊥CD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.●OCDEF┗趙州石拱橋1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為38m,拱高(弧的中點到弦的距離,也叫弓形高)為7m,求橋拱的半徑趙州石拱橋解：如圖，用表示橋拱，所在圓的圓心為O，半徑為Rm，經過圓心O作弦AB的垂線OD，D為垂足，與相交于點C.根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點，C是的中點，CD就是拱高.由題設在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R=（m）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑為m.RD387當堂鞏固1.在⊙O中，若CD⊥AB于M，AB為直徑，則下列結論不正確的是（）練一練2.已知⊙O的直徑AB=10，弦CD⊥AB，垂足為M，OM=3，則CD=

.3.在⊙O中，CD⊥AB于M，AB為直徑，若CD=10，AM=1，則⊙O的半徑是

.

●OCDABM└C

A、AC=ADB、BC=BDC、AM=OMD、CM=DM⌒⌒⌒⌒813注意：解決有關弦的問題時,半徑是常用的一種輔助線的添法．往往結合勾股定理計算。自我挑戰(zhàn)判斷（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧…………..()（2）弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且經過圓心……..()（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分………...()（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧………()（5）圓內兩條非直徑的弦不能互相平分（）×√××√挑戰(zhàn)自我（6）平分弦的直徑，平分這條弦所對的?。ǎ?）平分弦的直線，必定過圓心（）（8）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦（）ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)（9）弦的垂直平分線一定是圓的直徑（）（10）平分弧的直線，平分這條弧所對的弦（）（11）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分（）