2021年高考數(shù)學模擬訓練卷 (一百三十)(含答案解析)

2021年高考數(shù)學模擬訓練卷(130)

一、單項選擇題(本大題共8小題，共40.0分)

1.設集合M={/-2x<0},N={x\x<1),則MClN=()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(0,1]

2.已知aeR,若等=3+i,則a=()

A.2B.-2C.3D.4

3.已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列{即}中，a2a6=8(14,a2：=2,則%=()

A.8B.4C.1

4.某四棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是()

A-5

?2---?

EWfi友NS9

C.4

D.6+2V3

5.若r=mmodn表示/*等于根除以及的余數(shù)，例如2=10mod4.執(zhí)

行該程序框圖，則輸出的”等于(〕

開始

1

w=10

1

<Cj=wmod4^>^

^^ntnod5^>

/贏”/

結(jié)束

A.15B.16C.17D.18

6.已知函數(shù)/（x）=2sin3x+》（3>0）,y=/（久）的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于

兀，則“X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.[k/r—專，/CTT+著],k6ZB.[/CTT+工，k/r+,k6Z

C.卜TT——,kit+_1,fcGZD.[fc?r+-,kn+-j,fcGZ

7.已知雙曲線圣一，=l（a>0,b>0）的右焦點為凡。坐標原點，以。尸直徑的圓與雙曲線的一

條漸近線相交于O,A兩點，且|0*=2|4川，則雙曲線的離心率等于（）

A.V3B.V5C.~D.—■

z2

8./Q）是定義在R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞減，若/（2-a）+/（4-a）<0,則。的取值范圍是（）

A.a<1B,a<3C.a>1D.a>3

二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）

X>1

9.已知x,y滿足不等式y(tǒng)24,貝!]z=x+2y最大值為.

,x+y—6<0

10.設/（x）=10*+1g%,則（（1）=.

11.已知圓C與直線x-y=0及x—y+4=0都相切，圓心在直線y=-X+2上，則圓C的標準方

程為.

12.已知y=ax+2-2恒過定點A（x（）,yo）且A在直線mx+ny+1=0±,其中nm>0,則2+:的最

小值為?

13.在平行四邊形ABCD中,40=4,4BAD=；,E為CC中點，若前.前=4,則AB的長為.

（\2X-l\,x<2

14.己知函數(shù)/"（x）=_2_%>2,若方程“無）一a=0有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)?的取

IX-11-

值范圍為.

三、解答題（本大題共6小題，共80.0分）

15.第8屆中學生模擬聯(lián)合國大會將在本校舉行，為了搞好接待工作，組委會招募了12名男志愿者

和18名女志愿者.將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：

男女___________

15778999

981600124589

865017256

7421180

1019

若男生身高在180c〃2以上(包括180cm)定義為“高個子”，在180cm以下(不包括180cm)定義

為“非高個子”，女生身高在170c機以上(包括170cm)定義為“高個子”，在170c〃?以下(不包

括170cm)定義為“非高個子”.

(1)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取6人,則應分別抽取“高個子”、

“非高個子”各幾人？

(2)從(1)中抽出的6人中選2人擔任領座員，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？

16.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,已知舟=學.

2b-ccosC

(1)求角A的值；

(2)求2s譏B-sinC的取值范圍.

17.如圖，PD1平面ABC。，四邊形ABCQ是矩形，PD=DC=2,BC=2^2.

(I)求尸8與平面4CC所成角的大小;

(n)求異面直線PC,B。所成角的正弦值.

AB

18.已知數(shù)列｛即｝的各項均為正數(shù)，記4(n)=a1+a2+???+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(ri)=

。3++…+an+2，其中TieN*.

(1)若%=1,a2=5,且對任意neN*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)依次組成等差數(shù)列，求數(shù)列

｛即｝的通項公式.

(2)%=1,對任意neN*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)依次組成公比為q的等比數(shù)列.求數(shù)列｛即｝

的前“項和4t公式.

19.己知拋物線丫=-/+2過其上一點「引拋物線的切線/,/與坐標軸在第一象限圍成A40B,求

△AOB面積S的最小值，并求此時切線/的方程.

20.f(x)=x2—2x+alnx.

(I)若a=2,求f(x)在點(1/(1))處的切線方程;

(口)討論/(%)的單調(diào)性.

【答案與解析】

1.答案：D

解析：解：M={x|0<x<2}；

:.MCN=(0,1].

故選D.

可求出集合M={x|0<尤<2},然后進行交集的運算即可.

考查描述法和區(qū)間表示集合的概念，交集及其運算.

2.答案：D

解析：

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)相等的條件，是基礎題.

把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)相等的條件求解a值.

解：由警=3+i,得2+ai=(3+i)(l+i)=2+4i,

則a=4.

故選：D.

3.答案：C

解析：解：設等比數(shù)列{每}的公比為q(q>0),

由a2a6=8。4，得a：=8a4，1"導。4=8,

q?=詈=3=4,得勺=2.

0221

AHl=—=-=1.

q2

故選：C.

設出等比數(shù)列的公比，由已知列式求得公比，再由等比數(shù)列的通項公式求得首項.

本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎的計算題.

4.答案:A

解析：解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐尸-ABC,其中P4JL底面ABC,AB1AC,AB=AC=2,

PA=2.

.1—1c?4

izr=-x2x-x22=

323

故選：A.

由三視圖可知：該幾何體為三棱錐P-ABC,其中PA1底面ABC,ABA.AC,AB=

AC=2,PA=2.

本題考查了三棱錐的三視圖、體積的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

5.答案：C

解析：

本題考查的知識要點：程序框圖的應用.屬于基礎題.

直接利用程序框圖的循環(huán)結(jié)構和整除的應用求出結(jié)果.

解：根據(jù)整除的原理，利用程序框圖，

執(zhí)行循環(huán)前，n=10,

執(zhí)行第一次循環(huán)n=11,

余數(shù)不等于1,則執(zhí)行下一次循環(huán)

當n-17時,余數(shù)為2,

則輸出17.

故選：C.

6.答案：C

解析：

考查了三角函數(shù)/")念小("，上+⑴相關性質(zhì)，關鍵是先算出3的值。

???f(x)的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于“，恰好是f(x)的一個周期,

.,.詈=兀，0)=2,?1?/(x)=2sin(2x+，

故其單調(diào)增區(qū)間應滿足2時一^<2x+^<2kn+^kEZ),

ZoZ

解得k兀+

oO

故選C.

7.答案：D

解析：

本題考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題.以0尸直徑的

圓與雙曲線的一條漸近線相交于O,A兩點，且|0A|=2|AF|,可得《=也利用e=Jl+$2,求

出雙曲線的離心率.

解：???以。尸為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于。，A兩點，由直徑所對的圓周角是直角，

??.F4垂直于這條漸近線y=

由點到直線的距離公式知尸(c,0)到漸近線y=的距離為b,

\AF\=b,在R7A04F中，\0F\=c,所以|。川=a,

又|0*=2\AF\,

b_1

a=P

???e=6幣=爭

故選。.

8.答案：B

解析:

本題考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間.

利用奇函數(shù)的定義得/(2-a)</(a-4),再利用函數(shù)的單調(diào)性計算得結(jié)論.

解：因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞減,

又由f(2-a)+/(4-a)<0得f(2-a)<-f(4-a)=f(a-4),

所以2—a>a—4,解得a<3.

故選3.

9.答案：11

(x>l

解析：解：先根據(jù)X,y滿足不等式y(tǒng)24,畫出可行

.%+y-6<0

域,

目標函數(shù)z=x+2y,經(jīng)過點B時z取得最大值，

可得Zmax=1+2x5=11,

故最大值為：11,

故答案為：11.

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線z=x+2y過y軸的截距最大,

即z最大值，從而求解.

本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，是中檔題.

10.答案：10仇10+總

解析：

本題考查導數(shù)的運算法則及基本初等函數(shù)導數(shù)公式，由公式求出(。)即可求解.

解：因為人久)=10x+lgx,

所以f。)=10工。10+嬴,

所以/'(1)=10仇10+

故答案為10伍10+777-

11.答案：x2+(y-2)2=2

解析：

本題考查了圓的標準方程，直線與圓相切以及點到直線的距離公式，屬于基礎題.

首先根據(jù)題意設圓心坐標為(a,2-a),再由直線與圓相切利用圓心到直線的距離為半徑，求出〃和

半徑r,即可得到圓的方程.

解：???圓心在直線y=—x+2上,

???設圓心坐標為(a,2-a),

,?,圓C與直線％-y-0相切，

.??圓心(a,2—a)到直線x—y=O的距離為：第1=「，①

同理圓心(a,2—a)到直線x—y+4=0的距離為：甯i=r，②

聯(lián)立①②得，a=0,r2=2,

???圓C的方程為/+(y-2/=2.

故答案為/+(y-2)2=2.

12.答案：9

解析：

本題考查了利用基本不等式求最值，由已知求出A的坐標，代入直線巾x+ny+1=0,可得2rn+n=

1,故求出二+2■的最小值.

mn

解：???y=ax(a>0且aH1)的圖象恒過定點(0,1),

?,?函數(shù)y=ax+2-2(a>0且aH1)的圖象恒過定點4(一2,-1),

由點A在直線mx+ziy+1=0上，得一2m-n+1=0,

???2m4-n=1.

vmn>0,

21212n2m

??——F—=(2m+n)(---F-)=5H-----1-----

mnmnmn

\2n2m八

—X—=9,

>5+2mn

當且僅當m="時等號成立,

故答案為9.

13.答案：6

解析:

解：■.-AC=AB+AD,BE=BC+CE=AD-^AB,

一，，■，，一,>?…?i一，.>21一一,一,1——?21一>11>2

.：4=AC-BE=(AB+AD)-(AD-^AB)=AD+\AD-AB-\AB=16+打4|回嗎一豺，，

|畫2―2|畫-24=0,

|荏|=6.

故答案為：6.

利用向量的運算法則和數(shù)量積運算法則即可得出.

本題考查了向量的運算法則和數(shù)量積運算法、一元二次方程的解法，屬于基礎題.

14.答案：(0,1)

解析：

本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查方程的根以及導數(shù)的應用，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題.

畫出函數(shù)/Xx)的圖象，求出臨界值，通過圖象從而求出。的范圍即可.

解：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖可知，當0<a<l時，直線y=a與y=f(x)的圖象有三個

交點，所以實數(shù)〃的取值范圍為(0,1).

15.答案：解：(1)由莖葉圖數(shù)據(jù)可知，“高個子”男生和女生分別有6人和4人,

所以“高個子”和“非高個子”分別是10人和20人，...(3分)

所以“高個子”應抽取10x卷=2人，“非高個子”應抽取20x5=4人；

(2)記“至少有一人是‘高個子為事件4...(6分)

設抽出的6人為a,b,c,d,m,n(其中加,"為"高個子”).

記”從a,b,c,d,m,〃中選2位”為一個基本事件，

則共有15個基本事件：

{a,b}f{a,c},{a,d},{a,m},{a,n}；

{btc,},{b,d},{b,TH},{b,n}\

{c,d},{c,m},{c,n}；

{d,n}；

{m,n}.

其中事件A包括9個基本事件：{a,m},{Q,九};{b,n)；

{c,m},{c,n}；{dtm},{d,n}；{m,n}.

由古典概型的概率計算公式知，PG4)=2=1.

答：從抽出的6人中選2人擔任領座員，至少有一人是“高個子”的概率是，

解析：此題考查了古典概型概率計算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)

之比是解題的關鍵.

(1)由題意及莖葉圖，有“高個子”10人，“非高個子”20人，利用用分層抽樣的方法計算出抽樣

比，可計算出各層中抽取的人數(shù)，

(2)先計算從這6人中選2人的事件總數(shù)，再計算至少有1人是“高個子”的事件個數(shù)，代入古典概

率概率公式，可得答案.

16.答案：解：(1)在AABC中，由e=鬻，

sinA_cosA

結(jié)合正弦定理可得:

2sinB-sinCcosC

^sinAcosC=2cosAsinB—cosAsinC,

整理得：sinAcosC+cosAsinC=2cosAsinB,

即sin(4+C)=2cosAsinB9

即：sinB=2cosAsinB.

因為Be(0,九)，

故sinB>0,

所以：cosA—

又AG(0,7T),

所以

27r

(2)2si幾8—sinC=2sin(———C)—sinC

=2(-^-cosC+1sinC)—sinC=75cosC,

因為ce（o,g）,

所以cosCG（—I，1）,

故Mcosce（-y,V3）.

所以2sinB-sinC的取值范圍是（-今舊）.

解析：本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力，屬

于中檔題.

（1）由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，結(jié)合sinB>0,可求cosA,根據(jù)范圍46（0,兀），

可求A的值.

（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應用可得2sinB-sinC=百cosC，根據(jù)范圍Ce（0,算可得cosC的范

圍，得解.

17.答案：解：（I）因為PDJ?平面ABQ）,所以“BD即為P8與平面ADC所成的角.

因為四邊形ABC。是矩形，所以BC1DC,

所以8D=2g，tan/PBD=絲=二r理，所以NPBC=30。.

BD2v33

即PB與平面ADC所成角的大小為30。.

（口）取PA的中點G,連接OG,DG,如圖.

顯然OG〃PC,所以NOOG（或其補角）即為異面直線PC,BZ）所成的角.

因為OG=：PC=VI,OD=|BD=V3,DG=^PA=V3,

所以AOGD是等腰三角形，作底邊的高，易求出sin/DOG=旦.

6

所以異面直線PC,8。所成角的正弦值為包.

6

解析：本題考查直線與平面所成角，異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力.

(I)說明NPBD即為與平面ADC所成的角，證明BC_LDC,然后求解尸8與平面AOC所成角的大

小.

(II)取PA的中點G,連接OG,DG,說明以NDOG(或其補角)即為異面直線PC,8。所成的角，求

出sin/DOG=回.即可得到異面直線PC,8。所成角的正弦值.

6

18.答案：解：(1)因為對任意neN*,三個數(shù)4(n),B(n),C(n)是等差數(shù)列，

所以8(n)-A(n)=C(n)-

aa

所以cin+l-l=n+2-。2，即5+2-?n+l=a2-ar=4.

所以an=l+(n-1)x4=471-3.(5分)

(2)若對于任意neN*,三個數(shù)4(n),B(n),C(n)組成公比為g的等比數(shù)列，

則B(n)=qA(n),C(n)=qB(ri).

所以C(n)-B(n)=q[B(n)-4(n)],得an+2-a2=q(an+1-%),

即%1+2-Qan+1=a2-qa「

當n=l時,由B(l)=q4(l),可得a2=qa「

所以0n+2-qan+1=0.因為0n>0,

所以產(chǎn)=笠=q?-(9分)

an+lai

(n,q=1

即數(shù)列｛an｝是首項為由，公比為4的等比數(shù)列，則Ar=W..1(12分)

解析：⑴利用等差數(shù)列的定義，可得的+1-。1=冊+2-。2,從而可得數(shù)列的公差，即可求數(shù)列｛5｝

的通項公式.

(2)利用等比數(shù)列的定義，確定數(shù)列｛an｝是首項為由,公比為q的等比數(shù)列，即可求數(shù)列｛an｝的前〃

項和4n公式.

本題考查數(shù)列的應用，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項與求和，屬于中檔題.

19.答案：解:設切點P(x。，一詔+2)(曲＞0)

由y=-x2+2得y'=-2x,

??=-2xpJ

的方程為：y-(-Xg+2)=-2x0(x-x0)...(3分)

令y=0,得x=①蛆，令％=0,得y=x^+2,

三角形的面積為S=；,弊(詔+2),和>0...(6分)

22X()

令S'=(3就-*+2)=0=沏=>0)…(8分)

4X03

當0<為<1時,S'<0;

當&>半時F>o

...x0=爭寸,

Smin=9，(3展((92+2)=華,...(10分)

2虧

此時的=_延，

13

切點小》

故/的方程為2①