江蘇省南京市第十三中分校高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

江蘇省南京市第十三中分校高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)y=的圖象如圖所示（其中f′（x）是定義域?yàn)镽函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．f′（1）=f′（﹣1）=0B．當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值C．方程xf′（x）=0與f（x）=0均有三個(gè)實(shí)數(shù)根D．當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的圖象；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．由圖象可知x=1或﹣1時(shí)，f′（1）=f′（﹣1）=0成立．B．當(dāng)x＜﹣1時(shí)，＜0，此時(shí)f′（x）＞0，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，＞0，此時(shí)f′（x）＜0，故當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，成立．C．方程xf′（x）=0等價(jià)為，故xf′（x）=0有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤．D．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，＜0，此時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，＞0，此時(shí)f′（x）＞0，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，成立．故選：C2.已知等比數(shù)列{an}中，a3=2，a4a6=16，則的值為（）A．2 B．4 C．8 D．16參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由題意和等比數(shù)列的通項(xiàng)得a1q2=2，a1q3a1q5=16，求出q2，即可得出結(jié)論．．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q，由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，則a1=1，q2=2，∴==4，故選：B．3.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A4.計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔3年計(jì)算機(jī)價(jià)格降低，現(xiàn)在價(jià)格為8100元的計(jì)算機(jī)，9年后的價(jià)格可降為（）A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列．【分析】由題意可設(shè)經(jīng)過(guò)9年后成本價(jià)格為：8100×，可求【解答】解：由題意可得，9年后計(jì)算機(jī)的價(jià)格為：8100×=8100×=2400故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和，解題的關(guān)鍵是要熟練應(yīng)用對(duì)數(shù)方程進(jìn)行求解．5.設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，g(x)恒不為0，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0，且f(3)＝0，則不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)參考答案：D略6.設(shè)，，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.已知△的三邊長(zhǎng)成公差為的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是(

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A.(1,0)

B.(0,1)

C.

D.參考答案：B9.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是()A．120

B．720C．1440

D．5040參考答案：B10.右圖給出的是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知線段AB的長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)C滿足（為常數(shù)，），且點(diǎn)C始終不在以B為圓心為半徑的圓內(nèi)，則的范圍是

．參考答案：12.對(duì)于橢圓和雙曲線有下列命題：①橢圓的焦點(diǎn)恰好是雙曲線的頂點(diǎn);

②雙曲線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的頂點(diǎn);③雙曲線與橢圓共焦點(diǎn);④橢圓與雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)相同.其中正確命題的序號(hào)是

。參考答案：①②略13.已知，則向量在向量方向上的射影

。

參考答案：略14.若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=k+2（）n，則常數(shù)k的值為．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由題意分別求出a1=S1=k+，a2=S2﹣S1=（k+）﹣（k+）=﹣，a3=S3﹣S2=（k+）﹣（k+）=﹣，由等比數(shù)列的性質(zhì)能求出k．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=k+2（）n，∴a1=S1=k+，a2=S2﹣S1=（k+）﹣（k+）=﹣，a3=S3﹣S2=（k+）﹣（k+）=﹣，由等比數(shù)列的性質(zhì)得：（﹣）2=（k+）（﹣），解得k=﹣2．故答案為：﹣2．15.數(shù)列0，3，8，15，24，35……猜想=

。參考答案：略16.如圖，已知平面α⊥β，α∩β=l，A，B是直線l上的兩點(diǎn)，C，D是平面β內(nèi)的兩點(diǎn)，且DA⊥l，CB⊥l，DA=2，AB=4，CB=4，P是平面α上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線PD，PC與平面α所成角相等，則二面角P﹣BC﹣D的余弦值的最小值是．參考答案：

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【分析】∠PBA為所求的二面角的平面角，由△DAP∽△CPB得出=，求出P在α內(nèi)的軌跡，根據(jù)軌跡的特點(diǎn)求出∠PBA的最大值對(duì)應(yīng)的余弦值．【解答】解：∵AD⊥l，α∩β=l，α⊥β，AD?β，∴AD⊥α，同理：BC⊥α．∴∠DPA為直線PD與平面α所成的角，∠CPB為直線PC與平面α所成的角，∴∠DPA=∠CPB，又∠DAP=∠CBP=90°∴△DAP∽△CPB，∴=．在平面α內(nèi)，以AB為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（﹣2，0），B（2，0）．設(shè)P（x，y），（y＞0）∴2=，整理得（x+）2+y2=，∴P點(diǎn)在平面α內(nèi)的軌跡為以M（﹣，0）為圓心，以為半徑的上半圓．∵平面PBC∩平面β=BC，PB⊥BC，AB⊥BC，∴∠PBA為二面角P﹣BC﹣D的平面角．∴當(dāng)PB與圓相切時(shí)，∠PBA最大，cos∠PBA取得最小值．此時(shí)PM=，MB=，MP⊥PB，∴PB=．cos∠PBA==．故答案為．17.程序框圖如下圖所示，若，輸入，則輸出結(jié)果為

▲

。參考答案：－1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分10分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是20，求它在該區(qū)間上的最小值參考答案：（1）………3分，為減區(qū)間，為增區(qū)間………5分（2）……7分所以………9分=-2,所以最小值為………10分19.（12分）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：(a＞0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任一點(diǎn)，且||PF1|﹣|PF2||=2，頂點(diǎn)在原點(diǎn)且以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線為L(zhǎng)．（Ⅰ）求雙曲線C的漸近線方程和拋物線L的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)拋物線L的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)作直線，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)直線的斜率等于多少時(shí)，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線L的焦點(diǎn)？參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，2a=2，即a=1，即可得到雙曲線C的漸近線方程，即可求出拋物線L的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），即可求出拋物線L的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線MN的斜率為k，則其方程為y=k（x+1）．聯(lián)立方程組，得到得k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），根據(jù)韋達(dá)定理和MF⊥NF，即可求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，2a=2，即a=1．∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．∴雙曲線的漸近線方程y=±3x．雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），即拋物線L的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），∴拋物線L的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x，（Ⅱ）拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為（﹣1，0）．設(shè)直線MN的斜率為k，則其方程為y=k（x+1）．由，得k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0．∵直線MN與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，∴△=4（k2﹣2）2﹣4k4＞0，解得﹣1＜k＜1．設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），拋物線焦點(diǎn)為F（1，0），∵以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)，∴MF⊥NF．∴，即y1y2+x1x2﹣（x1+x2）+1=0．又，x1x2=1，且y1，y2同號(hào)，∴．解得，∴．即直線的斜率等于時(shí)，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，韋達(dá)定理，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題及計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．20.已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，.（1）求直線的方程；（2）圓的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)和，求圓的方程.參考答案：(1)(2)設(shè)圓心為,則解得

21.某中學(xué)學(xué)生會(huì)由8名同學(xué)組成，其中一年級(jí)有2人，二年級(jí)有3人，三年級(jí)有3人，現(xiàn)從這8人中任意選取2人參加一項(xiàng)活動(dòng).（1）求這2人來(lái)自兩個(gè)不同年級(jí)的概率；（2）設(shè)X表示選到三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：(1).(2)見解析.【分析】（1）正難則反，先求這2人來(lái)自同一年級(jí)的概率，再用1減去這個(gè)概率，即為這2人來(lái)自兩個(gè)不同年級(jí)的概率；

（2）先求X的所有可能的取值，為0,1,2，再分別求時(shí)對(duì)應(yīng)的概率P進(jìn)而得到分布列，利用計(jì)算可得數(shù)學(xué)期望。【詳解】（1）設(shè)事件表示“這2人來(lái)自同一年級(jí)”,這2人來(lái)自兩個(gè)不同年級(jí)的概率為.（2）隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,,,所以的分布列為012

【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率求解、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型。

22.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，|an+1﹣an|=pn，n∈N*．（Ⅰ）若{an}是遞增數(shù)列，且a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．參考答案：解：（Ⅰ）∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴an+1﹣an＞0，則|an+1﹣an|=pn化為：an+1﹣an=pn，分別令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化簡(jiǎn)得3p2﹣p=0，解得或0，當(dāng)p=0時(shí)，數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列，不符合數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴；（2）由題意可得，|an+1﹣an|=，則|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵數(shù)列{a2n﹣1}是遞增數(shù)列，且{a2n}是遞減數(shù)列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，則﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，兩不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，則a2n+1﹣a2n=當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，令n=2m（m∈N*），，，，…，，這2m﹣1個(gè)等式相加可得，==，則；當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，這2m個(gè)等式相加可得，…﹣…+=﹣=，則，且當(dāng)m=0時(shí)a1=1符合，故，綜上得，．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，不等式的性質(zhì)等，同時(shí)考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問(wèn)題的能力．本題設(shè)計(jì)巧妙，題型新穎，立意深刻，是一道不可多得的好題，難度很大考點(diǎn)： 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．

專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： （Ⅰ）根據(jù)條件去掉式子的絕對(duì)值，分別令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于p的方程求解，利用“{an}是遞增數(shù)列”對(duì)求出的p的值取舍；（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和式子“|an+1﹣an|=pn”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再對(duì)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)分類討論，利用累加法和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式，再用分段函數(shù)的形式表示出來(lái)．解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴an+1﹣an＞0，則|an+1﹣an|=pn化為：an+1﹣an=pn，分別令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化簡(jiǎn)得3p2﹣p=0，解得或0，當(dāng)p=0時(shí)，數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列，不符合數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴；（2）由題意可得，|an+1﹣an|=，則|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵數(shù)列{a2n﹣1}是遞增數(shù)列，且{a2n}是遞減數(shù)列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，則﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，兩不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|