2021年浙江省杭州市富春第三中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021年浙江省杭州市富春第三中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)集合,則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D2.下列命題中的真命題是

（

）A．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B．第一象限的角是銳角C．第二象限的角比第一象限的角大D．角α是第四象限角的充要條件是2kπ－＜α＜2kπ(k∈Z)參考答案：D3.等比數(shù)列的前項，前2項，前3項的和分別為A、B、C，則（

）A.A+B=C

B.B2=AC

C.(A+B)－C=B2

D.A2+.B2=A(B+C)參考答案：D略4.已知平面向量=（1，2），=（－2，m），且，則(

)A.（－5，－10）

B.（－4，－8）

C.（－3，－6）

D.（－2，－4）參考答案：B略5.已知平面和直線，則在平面內(nèi)至少有一條直線與直線（

）A．平行

B．垂直

C．相交

D．以上都有可能參考答案：B略6.的值等于（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】因為，所以可以運用兩角差的正弦公式、余弦公式，求出的值.【詳解】，，，故本題選C.【點睛】本題考查了兩角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函數(shù)值.其時本題還可以這樣解：，.7.函數(shù)y=（a＞0，a≠1）的定義域和值域都是[0，1]，則loga+loga=（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】34：函數(shù)的值域；33：函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)的運算法則進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)t=a﹣ax，則y=為增函數(shù)，則函數(shù)y=（a＞0，a≠1）為單調(diào)函數(shù)，當(dāng)x=1時，y=0，則函數(shù)為減函數(shù)，故a＞1，則當(dāng)x=0時，y=1，即y==1，即a﹣1=1，則a=2，則loga+loga=loga（?）=log28=3，故選：C．8.在矩形ABCD中，，設(shè)，則=（

）A． B． C． D．參考答案：C略9.如圖，某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（

）A. B. C. D.3參考答案：A【分析】首先根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，進(jìn)一步利用幾何體的體積公式求出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)幾何體得三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：故：V．故選：A．【點睛】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題．10.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，參考答案：C試題分析：特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為：，考點：全稱命題與特稱命題

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）化簡[（﹣2）6]﹣（﹣1）0的結(jié)果為

．參考答案：7考點： 有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．專題： 計算題．分析： 利用指數(shù)冪的運算法則進(jìn)行計算即可．解答： [（﹣2）6]﹣（﹣1）0=（26）﹣1=23﹣1=8﹣1=7，故答案為：7．點評： 本題主要考查指數(shù)冪的基本運算，要求熟練掌握指數(shù)冪的運算法則．12.已知，函數(shù)，若實數(shù)m，n滿足，則m與n的大小關(guān)系為

。參考答案：；13.定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，那么a18的值為________，且這個數(shù)列的前21項的和S21的值為________．參考答案：352根據(jù)定義和條件知，an＋an＋1＝5對一切n∈N*恒成立，因為a1＝2，所以an＝于是a18＝3，S21＝10(a2＋a3)＋a1＝52.14.（3分）已知f（x）=x，g（x）=，則f（x）?g（x）=

．參考答案：x2﹣2x，（x≥2）考點： 函數(shù)解析式的求解及常用方法．專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 由題意，x﹣2≥0，從而化簡f（x）?g（x）即可．解答： 由題意，x﹣2≥0，故x≥2；f（x）?g（x）=x（x﹣2）=x2﹣2x，故答案為：x2﹣2x，（x≥2）．點評： 本題考查了函數(shù)的解析式的求法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.已知函數(shù)f（x）=log2（4x+1）+mx，當(dāng)m＞0時，關(guān)于x的不等式f（log3x）＜1的解集為

．

參考答案：（0,1）函數(shù)，當(dāng)時，可知f(x)單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，可得，那么不等式的解集，即，解得，故答案為.

16.（4分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中有四點O（0，0，0），A（0，0，3），B（0，3，0），C（2，3，4），則多面體OABC的體積是

．參考答案：3考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題： 計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析： 多面體OABC是以△OAB為底面，2為高的三棱錐，即可求出多面體OABC的體積．解答： 多面體OABC是以△OAB為底面，2為高的三棱錐，所以多面體OABC的體積是．故答案為：3．點評： 本題考查多面體OABC的體積，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．17.若四面體ABCD中，AB=CD=BC=AD=，AC=BD=，則四面體的外接球的表面積為．參考答案：6π【考點】球的體積和表面積．【分析】將四面體補(bǔ)成長方體，通過求解長方體的對角線就是球的直徑，然后求解外接球的表面積．【解答】解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補(bǔ)上一個以，，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2=5，x2+z2=5，y2+z2=2，則有（2R）2=x2+y2+z2=6（R為球的半徑），所以球的表面積為S=4πR2=6π．故答案為：6π．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線l1：x-2y+3=0與直線l2：2x+3y-8=0的交點為M，（1）求過點M且到點P（0，4）的距離為2的直線l的方程；（2）求過點M且與直線l3：x+3y+1=0平行的直線l的方程．參考答案：（1）y=2或4x-3y+2=0；（2）x+3y-7=0.【分析】(1)先求兩條直線的交點,設(shè)所求直線斜率，利用點斜式設(shè)出直線方程，由點到直線的距離公式求出，從而確定直線方程；(2)根據(jù)直線平行求出直線的斜率,利用點斜式方程求解即可.【詳解】（1）由l1：x-2y+3=0與l2：2x+3y-8=0聯(lián)立方程x-2y+3=0與2x+3y-8=0解得，∴l(xiāng)1，l2的交點M為（1，2），設(shè)所求直線方程為y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，∵P（0，4）到直線的距離為2，∴，解得k=0或，∴直線方程為y=2或4x-3y+2=0；（2）過點（1，2）且與x+3y+1=0平行的直線的斜率為：-，所求的直線方程為：y-2=-（x-1），即x+3y-7=0．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求直線方程以及直線點斜式方程，屬于中檔題.待定系數(shù)法求直線方程的一般步驟是：（1）判斷，根據(jù)題設(shè)條件判斷出用那種形式的直線方程參數(shù)較少；（2）設(shè)方程，設(shè)出所選定的標(biāo)準(zhǔn)形式的直線方程；（3）求參數(shù)，根據(jù)條件列方程求出參數(shù)；（4）將參數(shù)代入求解；（5）考慮特殊位置的直線方程，因為除一般式外，其他四種標(biāo)準(zhǔn)方程都有局限性.19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB的中點，過A、D、N三點的平面交PC于M，E為AD的中點，求證： （1）EN∥平面PDC； （2）BC⊥平面PEB； （3）平面PBC⊥平面ADMN． 參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定． 【專題】證明題；空間位置關(guān)系與距離． 【分析】（1）先證明AD∥MN由N是PB的中點，E為AD的中點，底面ABCD是邊長為2的菱形得EN∥DM，DM?平面PDC，可得EN∥平面PDC； （2）由側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，E為AD的中點，得PE⊥AD，PE⊥EB，PE⊥BC，由∠BAD=60°，AB=2，AE=1，由余弦定理可得BE=，由正弦定理可得：BE⊥AD，有由AD∥BC可得BE⊥BC，可得BC⊥平面PEB； （3）由（2）知BC⊥平面PEB，EN?平面PEB可得PB⊥MN，由AP=AB=2，N是PB的中點，得PB⊥AN，有MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN，可證平面PBC⊥平面ADMN． 【解答】解：（1）∵AD∥BC，AD?平面ADMN，BC?平面ADMN， ∴BC∥平面ADMN， ∵M(jìn)N=平面ADMN∩平面PBC，BC?平面PBC， ∴BC∥MN． 又∵AD∥BC， ∴AD∥MN．∴ED∥MN ∵N是PB的中點，E為AD的中點，底面ABCD是邊長為2的菱形，∴ED=MN=1 ∴四邊形ADMN是平行四邊形． ∴EN∥DM，DM?平面PDC， ∴EN∥平面PDC； （2）∵側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，E為AD的中點， ∴PE⊥AD，PE⊥EB，PE⊥BC ∵∠BAD=60°，AB=2，AE=1，由余弦定理可得BE=，由正弦定理可得：BE⊥AD ∴由AD∥BC可得BE⊥BC， ∵BE∩PE=E ∴BC⊥平面PEB； （3）∵由（2）知BC⊥平面PEB，EN?平面PEB ∴BC⊥EN ∵PB⊥BC，PB⊥AD ∴PB⊥MN ∵AP=AB=2，N是PB的中點， ∴PB⊥AN， ∴MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN， ∵PB?平面PBC ∴平面PBC⊥平面ADMN． 【點評】本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，屬于基本知識的考查． 20.已知函數(shù)f（x）=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

（2）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

參考答案：（1）

的最小正周期-------------4分

由題意得即

的單調(diào)增區(qū)間為-------------5分

（2）先把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，再把所得圖象上所有的點向上平移個單位長度，就得到的圖象。-------7分

21.（14分）已知函數(shù)f（x）=﹣+3（﹣1≤x≤2）．（1）若λ=時，求函數(shù)f（x）的值域；（2）若函數(shù)f（x）的最小值是1，求實數(shù)λ的值．參考答案：考點： 函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)的值域．專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）化簡（﹣1≤x≤2），再利用換元法得g（t）=t2﹣2λt+3（）；從而代入λ=求函數(shù)的值域；（2）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（），討論λ以確定函數(shù)的最小值及最小值點，從而求λ．解答： （1）（﹣1≤x≤2）設(shè)，得g（t）=t2﹣2λt+3（）．當(dāng)時，（）．所以，．所以，，故函數(shù)f（x）的值域為[，]．

（2）由（1）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2