2021年黑龍江省哈爾濱市善盟第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021年黑龍江省哈爾濱市善盟第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.經(jīng)過(guò)函數(shù)y=﹣圖象上一點(diǎn)M引切線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記△OAB的面積為S，則S=（）A．8 B．4 C．2 D．1參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得切線l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而可求△OAB的面積．【解答】解：設(shè)M（x0，y0）為曲線y=﹣上任一點(diǎn)，則y0=﹣．∵y=﹣，∴y′=，設(shè)過(guò)曲線y=﹣上一點(diǎn)M的切線l的斜率為k，則k=，∴切線l的方程為：y+=（x﹣x0），∴當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣，即B（0，﹣）；當(dāng)y=0時(shí)，x=2x0，即A（2x0，0）；∴S△OAB=|OA|?|OB|=×|2x0|?|﹣|=4．故選：B．2.已知橢圓＝1的離心率e＝，則m＝（

）A．3

B．3或

C．

D．或參考答案：B3.如圖是甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員射擊6次后所得到的成績(jī)的莖葉圖（莖表示成績(jī)的整數(shù)環(huán)數(shù)，葉表示小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字），由圖可知（

）A．甲、乙的中位數(shù)相等，甲、乙的平均成績(jī)相等B．甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)大，乙的平均成績(jī)好C．甲、乙的中位數(shù)相等，乙的平均成績(jī)好D．甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)大，甲、乙的平均成績(jī)相等參考答案：C4.如圖所示,在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若,則下列向量中與相等的向量是(

)A.－＋＋

B.＋＋C．－－＋

D.

－＋參考答案：A5.一個(gè)電路板上裝有甲、乙兩根保險(xiǎn)絲，甲保險(xiǎn)絲熔斷的概率為0.085，乙保險(xiǎn)絲熔斷的概率為0.074，兩根同時(shí)熔斷的概率為0.063，則至少有一根熔斷的概率為（）A．0.159

B．0.085

C．0.096

D．0.074參考答案：C略6.等比數(shù)列an中，a1=2，q=2，Sn=126，則n=（）A．9 B．8 C．7 D．6參考答案：D【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由首項(xiàng)和公比的值，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出Sn，讓其等于126列出關(guān)于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．【解答】解：由a1=2，q=2，得到Sn===126，化簡(jiǎn)得：2n=64，解得：n=6．故選D7.對(duì)任意的x，y∈（0，+∞），不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最大值是（）A． B．e C．e D．2e參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍．【分析】通過(guò)參數(shù)分離，利用基本不等式放縮可知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2lna≤在x＞0時(shí)恒成立，記g（x）=，二次求導(dǎo)并結(jié)合單調(diào)性可知當(dāng)x=4時(shí)g（x）取得最小值g（4）=1，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：設(shè)f（x）=ex+y﹣4+ex﹣y+4+6，不等式4xlna≤ex+y﹣4+ex﹣y+4+6恒成立，即為不等式4xlna≤f（x）恒成立．即有f（x）=ex（ey﹣4+e﹣（y﹣4））+6≥6+2ex（當(dāng)且僅當(dāng)ey﹣4=e﹣（y﹣4），即y=0時(shí)，取等號(hào)），由不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，只需要4xlna≤6+2ex﹣4，即有2lna≤在x＞0時(shí)恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即（x﹣1）ex﹣4=3，令h（x）=（x﹣1）ex﹣4，（x＞0），h′（x）=xex﹣4＞0，∵x＞0，ex﹣4＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又∵h(yuǎn)（4）=3，即有（x﹣1）ex﹣4=3的根為4，∴當(dāng)x＞4時(shí)g（x）遞增，當(dāng)0＜x＜4時(shí)g（x）遞減，∴當(dāng)x=4時(shí)，g（x）取得最小值g（4）=1，∴2lna?1，lna?，∴0＜a?，（當(dāng)x=2，y=0時(shí)，a取得最大值），故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問(wèn)題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．8.兩燈塔A,B與海洋觀察站C的距離都等于a(km),燈塔A在C北偏東30°,B在C南偏東60°,則A,B之間相距（）

A．a(chǎn)(km)

B．a(chǎn)(km)

C．a(chǎn)(km)

D．2a(km)參考答案：C略9.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn<－5成立的正整數(shù)n(

)A．有最小值63

B．有最大值63C．有最小值31

D．有最大值31參考答案：A10.已知，，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】根據(jù)題意解不等式可得集合p與q的范圍，根據(jù)充分必要條件的判定即可判斷結(jié)論?！驹斀狻恳?yàn)樗?，所以但所以是的充分不必要條件所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)不等式判定充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知AB，CD分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，若，則橢圓的離心率是________.參考答案：12.一箱蘋(píng)果，4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)，最后余下1個(gè)；5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，最后余下2個(gè)；9個(gè)9個(gè)地?cái)?shù)，最后余下7個(gè),這箱蘋(píng)果至少有_____個(gè)參考答案：9713.右圖莖葉圖是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績(jī)超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為

.參考答案：14.已知點(diǎn)P在拋物線上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

。參考答案：略15.某中學(xué)的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組共有10名同學(xué)，其中男生x名（3≤x≤9），現(xiàn)從中選出3人參加一項(xiàng)調(diào)查活動(dòng)，若至少有一名女生去參加的概率為f(x),則f(x)max=__參考答案：16.5人站成一排，甲必須站在排頭或排尾的不同站法有__________種．參考答案：48首先在排頭或排尾中選擇一個(gè)位置排甲，然后其余人全排列，故不同的站法共有種．17.z1,z2∈C，|z1|=|z2|=2，|z1+z2|=，則|z1-z2|=

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)n和為，若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有.（1）求的通項(xiàng)公式。（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案：解：（1）對(duì)于任意的正整數(shù)都成立，兩式相減，得∴，即，即對(duì)一切正整數(shù)都成立?！鄶?shù)列是等比數(shù)列。由已知得

即∴數(shù)列的首項(xiàng)，公比，。。（2）

19.定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值．參考答案：（1）（2）最大值是-1，最小值是-22【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，合理設(shè)出變量，即可求解函數(shù)在上的解析式；（2）由（1）可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，進(jìn)而求解函數(shù)的最大值與最小值.【詳解】:上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，其中根據(jù)題意，令函數(shù)的奇偶性求得函數(shù)的解析式，得出函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題好解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知圓C的圓心在直線上，并且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.參考答案：略21.已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，4），曲線在點(diǎn)M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．參考答案：

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；導(dǎo)數(shù)的幾何意義．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：（1）將M的坐標(biāo)代入f（x）的解析式，得到關(guān)于a，b的一個(gè)等式；求出導(dǎo)函數(shù)，求出f′（1）即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為﹣1，列出關(guān)于a，b的另一個(gè)等式，解方程組，求出a，b的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，據(jù)題意知[m，m+1]?（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端點(diǎn)的大小，求出m的范圍．解答：解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，4），∴a+b①式…（1分）f'（x）=3ax2+2bx，則f'（1）=3a+2b…（3分）由條件②式…（5分）由①②式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…（8分）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增∴[m，m+1]?（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3點(diǎn)評(píng)：注意函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率；直線垂直的充要條件是斜率之積為﹣1．22.已知函數(shù)，x∈R，將函數(shù)f（x）向左平移個(gè)單位后得函數(shù)g（x），設(shè)△ABC三個(gè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．（Ⅰ）若，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；（Ⅱ）若g（B）=0且，，求的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】HX：解三角形；9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x）為，由f（C）=0求得，，由余弦定理知：，因sinB=3sinA，可得b=3a，由此求得a、b的值．（Ⅱ）由題意可得，由g（B）=