指數(shù)函數(shù)（課件）-2024屆《創(chuàng)新設(shè)計》高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（湘教版）

第二章函數(shù)INNOVATIVEDESIGN第6節(jié)指數(shù)函數(shù)1.通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，能用描點法或借助計算工具畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.2.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特殊點等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.考試要求知識診斷基礎(chǔ)夯實內(nèi)容索引考點突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實11.指數(shù)函數(shù)的概念

讓底數(shù)為______而取______為自變量，得到函數(shù)__________

(其中a>0且a≠1)叫作指數(shù)函數(shù).知識梳理常數(shù)指數(shù)y＝ax2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象定義域R值域______________(0，＋∞)(0，1)y>10<y<1y>10<y<1增函數(shù)減函數(shù)[常用結(jié)論]1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù).(

)(2)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(

)(3)2－3＞2－4.(

)(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，則m＜n.(

)解析(1)由于指數(shù)函數(shù)解析式為y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指數(shù)函數(shù)，故(1)錯誤.(2)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(2)錯誤.(4)m與n的大小關(guān)系與a的取值有關(guān).×診斷自測×√×2.函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(

)A解析易知f(x)為偶函數(shù)，且f(x)＝1－e|x|≤0，A正確.3.(教材改編)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，則(

)A.a＞b＞c

B.a＞c＞bC.c＞b＞a

D.c＞a＞b解析因為函數(shù)y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.C{y|y＞0且y≠1}又指數(shù)函數(shù)y＝2x的值域為(0，＋∞)，故所求函數(shù)的值域為{y|y＞0且y≠1}.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1(1)(2023·長春模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a＞b)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是(

)A解析由圖象可知，b＜－1，0＜a＜1，所以函數(shù)g(x)＝ax＋b是減函數(shù)，g(0)＝1＋b＜0，所以選項A符合.

(2)(2023·深圳質(zhì)檢)若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的圖象有兩個交點，則a的取值范圍是____________.解析y＝|ax－1|的圖象是由y＝ax的圖象先向下平移1個單位長度，再將x軸下方的圖象翻折到x軸上方保持x軸上及其上方的圖象不變得到的.1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論.2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.感悟提升訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)＝2x－x－1，則不等式f(x)＞0的解集是(

)A.(－1，1)

B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1)

D.(－∞，0)∪(1，＋∞)解析在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的圖象如圖.由圖象得交點坐標(biāo)為(0，1)和(1，2).又f(x)＞0等價于2x＞x＋1，結(jié)合圖象，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞).D

(2)(多選)(2023·福州調(diào)研)已知實數(shù)a，b滿足等式2023a＝2024b，下列等式可以成立的是(

)A.a＝b＝0 B.a＜b＜0C.0＜a＜b

D.0＜b＜a解析如圖，觀察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0，故選ABD.ABD考點二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1比較大小例2(1)(2023·蘇州模擬)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，則a，b，c的大小關(guān)系是(

)A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.b＞c＞a

D.a＞c＞b解析∵函數(shù)y＝0.3x在R上是減函數(shù)，∴0＜0.30.7＜0.30.3＜0.30＝1，又∵冪函數(shù)y＝x0.3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，0.3＜0.7，∴0＜0.30.3＜0.70.3，∴0＜a＜b＜1，而函數(shù)y＝1.2x是R上的增函數(shù)，∴c＝1.20.3＞1.20＝1，∴c＞b＞a.B

(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列結(jié)論一定成立的是(

)A.a＋b≤0 B.a－b≥0C.a－b≤0 D.a＋b≥0解析∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，(*)令f(x)＝ex－π－x，則f(x)是R上的增函數(shù)，(*)式即為f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.D

角度2解簡單的指數(shù)方程或不等式例3(1)已知y＝4x－3·2x＋3的值域為[1，7]，則x的取值范圍是(

)A.[2，4] B.(－∞，0)C.(0，1)∪[2，4] D.(－∞，0]∪[1，2]解析∵y＝4x－3·2x＋3的值域為[1，7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x＞0，∴0＜2x≤1或2≤2x≤4，∴x≤0或1≤x≤2.D

(2)(2023·邯鄲質(zhì)檢)不等式10x－6x－3x≥1的解集為__________.解析由10x－6x－3x≥1，兩邊同除以10x，[1，＋∞)則f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(1)＝1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集為[1，＋∞).

BD解析對于A，由ex－e－x≠0，解得x≠0，故f(x)的定義域為{x|x≠0}，故A錯誤；

故函數(shù)f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上分別單調(diào)遞減，當(dāng)x→－∞時，f(x)→－1，x→0－時，f(x)→－∞，x→0＋時，f(x)→＋∞，x→＋∞時，f(x)→1，所以f(x)在定義域上不是減函數(shù)，故C錯誤；對于D，由選項C的分析可知，函數(shù)f(x)的值域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，無最小值，無最大值，故D正確.

(2)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是___________.(－∞，4]1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化.3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.易錯警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時，當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時，要分類討論.感悟提升訓(xùn)練2(1)(2023·河南名校聯(lián)考)若a＝21.9，b＝21.5，c＝31.9，則(

)A.c＞a＞b

B.b＞a＞cC.a＞c＞b

D.a＞b＞c解析∵指數(shù)函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，且1.9＞1.5，∴21.9＞21.5，即a＞b.∵冪函數(shù)y＝x1.9在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且3＞2，∴31.9＞21.9，即c＞a，∴c＞a＞b.A

ABDFENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升31.下列函數(shù)中，值域是(0，＋∞)的為(

)B【A級

基礎(chǔ)鞏固】2.(多選)函數(shù)y＝ax－a(a＞0，a≠1)的圖象可能是(

)BC解析當(dāng)a＞1時，y＝ax－a為增函數(shù)，且過點(1，0)，當(dāng)x＝0時，y＝1－a＜0，故A不正確，B正確；當(dāng)0＜a＜1時，y＝ax－a為減函數(shù)，且過點(1，0)，當(dāng)x＝0時，y＝1－a∈(0，1)，故C正確，D不正確.CAA.c＜b＜a

B.a＜b＜cC.b＜a＜c

D.c＜a＜bB

6.(多選)(2023·聊城模擬)已知函數(shù)f(x)＝2－x－2x，有下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是(

) A.f(0)＝0 B.f(x)是奇函數(shù) C.f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增

D.對任意的實數(shù)a,方程f(x)－a＝0都有解ABD7.(2023·淮安調(diào)研)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f(x)＝2－x.若對任意的x∈[m，m＋1]，不等式f(x)≥f2(x－m)恒成立，則正數(shù)m的取值范圍為(

)A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(0，1) D.(0，1]解析因為函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f(x)＝2－x，則當(dāng)x＞0時，－x＜0，f(x)＝f(－x)＝2x，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在[m，m＋1]上單調(diào)遞增，f(x)＝2|x|.又f(x)≥f2(x－m)且m＞0，又m≤x≤m＋1，所以x－m≥0，所以f(x－m)＝2x－m，故原不等式等價于2x≥(2x－m)2，化簡得22m≥2x，即2m≥x，所以m＋1≤2m，可得m≥1.A[－2，1]所以f(a－2)＋f(a2)≤0?f(a－2)≤－f(a2)?f(a－2)≤f(－a2)，即a－2≤－a2，則a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.(4，＋∞)11.已知函數(shù)f(x)＝b·ax(其中a，b為常數(shù)，且a>0，a≠1)的圖象經(jīng)過點A(1，6)，B(3，24). (1)求f(x)的表達式；解因為f(x)的圖象過A(1，6)，B(3，24)，又a>0，所以a＝2，b＝3，所以f(x)＝3·2x.12.已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0且a≠1)是奇函數(shù).(1)求實數(shù)k的值；解∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，經(jīng)檢驗k＝2符合題意，所以k＝2.(2)若f(1)＜0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求實數(shù)m的取值范圍.解由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，而y＝ax在R上單調(diào)遞減，y＝－a－x在R上單調(diào)遞減，故由單調(diào)性的性質(zhì)可判斷f(x)＝ax－a－x在R上單調(diào)遞減，不等式f(m2－2)＋f(m)＞0可化為f(m2－2)＞f(－m)，∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，∴實數(shù)m的取值范圍是(－2，1).B【B級

能力提升】13.(2023·本溪模擬)已知x∈(1，2)，a＝2x2，b＝(2x)2，c＝22x，則a，b，c的大小關(guān)系為(

) A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.b＞a＞c

D.c＞a＞b

解析因為a＝2x2，b＝(2x)2＝