隨機過程的基本概念

隨機過程的基本概念馬爾可夫性質:馬爾可夫性質，或稱作無記憶性，或稱作無后效性。馬爾可夫過程和馬爾可夫鏈，分別表示具有馬爾可■夫性質的隨機過程和隨機序列。馬爾可夫性質是說過程的歷史對將來的影響，都是通過當前狀態(tài)對將來的影響來表示，即當前的狀態(tài)概括了過去歷史對將來的影響。這樣一來，任意維數(shù)的馬爾可夫過程和馬爾可夫鏈的概率分布，都可以用它們的初始分布和條件轉移概率分布來表示。定義1,馬爾可■夫過程(使用條件概率密度函數(shù)，或條件概率分布函數(shù)來表示)設有一個隨機過程(^(O,reT},t,<t2<???</?,<rM1+1GT,若在這些時刻觀察到隨機過程的值是X】,匚若它的條件概率密度和條件分布函數(shù)滿足條& Jr?FtIIA件，(X(X也+1/毛見，…知)=fa(Xg/Xm)或則稱這類隨機過程為具有馬爾可夫性質的隨機過程或馬爾可夫過程。性質，馬爾可夫過程的有限維概率密度f\，/:f，j("1X")=MgaxJ?4(％/j)?A//,(%*fh(電定義2,馬爾可■夫鏈(使用轉移概率、條件概率)設有一個隨機過程也〃),〃=0,1,2…}是離散狀態(tài)的隨機過程，且陽7)滿足條件,+1)=〃8(0)=i。,即)=?、(〃)=/J=尸敏〃+1)=〃和)=房則稱這類隨機過程是馬爾可夫鏈。性質，馬爾可夫鏈的有限維概率密度P{g(0)=樨(1)=玲…頃=i”,務+1)=J}=P{如+l)=j/如)=i〃 =ijg(〃)=L}???P&l)="S(0)=i°}.p{g(0)=i。}二階矩過程:定義1,二階矩過程設有隨機過程敏。，隹『｝,若對每個teT,典）的均值和方差都存在，則稱即）為二階矩過程。定理1,二階矩過程的自協(xié)方差函數(shù)，以及二階矩過程的自相關函數(shù)總是存在的。證明：根據(jù)協(xié)方差函數(shù)的定義，有cov｛即］）,￡（上）｝=Et英］）-】）］.［舞D-〃（心）「｝可以有，|c。噸&）,M）,="履6）-〃（匕）］? ）-A（G）］寸〈國履（匕）一“（播］.［契2）-質2）誹（非（匕）*（"）「.4（勺-〃（上）「=屠（很唐但）<cO第一個不等式成立是：隨機變量平均的模小于等于隨機變量模的平均，第二個不等式成立是：Schxvartz不等式，隨機變量乘積取模統(tǒng)計平均的平方,小于等于隨機變量取模平方統(tǒng)計平均的乘枳。定理2,設有二階矩過程敏。，隹r｝,r’ml）是它的相關函數(shù)，則有R我E，P=R#（W 0"?eT）定理3,二階矩過程的自相關函數(shù)RMM）具有非負定性，即對于任意有限個…t”wT和任意11個復數(shù)人］,4”-刀“，n為任意正整數(shù)，有，tfti=l巾=1或寫作矩陣形式，（ApA2,-?（人1，人2,…，D'—。證明：￡￡R段（上）2k"mk=l/?f=l=文文噸（Q而兒焉A=1m=l=E支如氾&疝阮:｝X=1m=lR=1 /??=!>0A=1隨機過程的平穩(wěn)性嚴平穩(wěn)隨機過程定義，設有隨機過程{^(t),tGT},對任意正整數(shù)n及選定時間t,<t2<?-<r?,LcT,i=1,2,，任意時間間隔t和X],匕…叫￡&，有n維分布函數(shù)F,(x1,^2,---,x?；r1,r2,--,r?)= +r,r2+r,---,rn+r)則稱該過程為嚴平穩(wěn)隨機過程。嚴平穩(wěn)隨機過程的性質，嚴平穩(wěn)隨機過程的一維分布函數(shù)與時間無關，二維分布函數(shù)僅與時間間隔有關而與時間本身無關。K級平穩(wěn)隨機過程，設有隨機過程GT},對任意正整數(shù)n<K及選定時間t,<t2< <r?,rf-gT,z=1,2,--71，任意時間間隔T和X、,X,,X3，…,Xn《R,有n維分布函數(shù)…,…,匕)=外(為，方，…,L；。+「,右+了,則稱該過程為K級嚴平穩(wěn)隨機過程。寬平穩(wěn)隨機過程定義，設有一個二階矩隨機過程您⑺,住丁},它的均值是常數(shù)，相關函數(shù)僅是r=t2-t,的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平穩(wěn)隨機過程。正態(tài)平穩(wěn)隨機過程，既是廣義平穩(wěn)的隨機過程，又是嚴平穩(wěn)的隨機過程。性質1,R..(G,t2)=(G(r)=R..(-r)*,(r=r.-rj。對于實寬平穩(wěn)隨機

過程R^r）=R^（-r）,而實自相關函數(shù)是偶函數(shù)。證明（略）性質2,少是隨機過程的均值。證明，考慮到脆0）=收）疝｝=^（1）-多1即）-〃』+=。"+|小O［即）］=E｛［即）-化 20因此有匕（。）斗廿性質3,/?,4（r）|</?^（0）,\C^r）\<C^O）證明，|喝劉'=片（山）疝『〈雨+丁麗｝<耳即+寸｝站屈）『｝=宮0）腿0）q喝。）「以上證明中、第一個不等式成立是：隨機變量平均的模小于等于隨機變量模的平均；第二個不等式成立是：Schwanzq喝。）「R因此有R#（g