2022-2023學年高一數學題型歸納與分階培優(yōu)練12指數函數性質歸類（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題12指數函數性質歸類

目錄

【題型一】求指數值與解指數方程................................................................2

【題型二】解指數不等式：定義域................................................................3

【題型三】指數型復合函數單調性................................................................4

【題型四】指數函數識圖.........................................................................5

【題型五】指數函數圖像特征：一點一線..........................................................7

【題型六】指數函數比大小1:圖像比大小........................................................10

【題型七】指數函數比大小2：構造函數..........................................................12

【題型八】指數函數比大小3：鬲、指數函數綜合................................................13

【題型九】指數型中心對稱1:中心在y軸........................................................15

【題型十】指數型中心對稱2：中心平移型........................................................17

培優(yōu)第一階——基礎過關練......................................................................19

培優(yōu)第二階——能力提升練......................................................................21

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練......................................................................24

綜述：

指數運算公式伍＞0且存1）：

①/=《爐②③q昨a，』”,“一“④（優(yōu)"）"=〃叫

0<<7<1a>1

a￡

圖象

(0,1)

定義域_R___—R―

值域(0,+8)

過定點_____（°'D_

性質_____，即-=0時,__o____

減函數增函數

2.指數函數y=優(yōu)的底數規(guī)定大于。且不等于1的理由:

當0>0時，優(yōu)恒等于0

（1）如果々=0,

當口<。時,能無意義.

如果“<。，如尸(“當戶■時,在實數范圍內函數值不存在.

（2）

(3)如果a=l,y=l*=l,是一個常量，對它就沒有研究的必要.

為了避免上述各種情況，所以規(guī)定。>0且4*1.

3.指數函數奇偶性：

指數函數無奇偶性,形如貝x)=黑是奇函數

【題型一】求指數值與解指數方程

【典例分析】

函數〃x)=若/⑷+/(2)=0,則實數”的值等于

A.3B.1C.—1D.—3

【答案】D

【解析】分析則由f(2)=4,a-l+4=0計算即可得出答案.

【詳解】由函數解析式=["r'I，易得函數f(x)在定義域上為增函數，則由/(2)=4,

[x-l,x<0

〃a)+/(2)=0可得〃G=^<0,440,，/(〃)=4-1,,所以由。-1+4=0計算得4=_3.

故選:D.

【變式訓練】

1.設函數〃x)的定義域為R,.”X)為偶函數，〃x+l)為奇函數，當xe[l,2]時，

/(x)=a-2,+6,若〃0)+〃1)=-4,則/《卜?

【答案】4-472

【分析】根據題意，結合奇、偶函數的性質，列方程組求出。和即可求解.

【詳解】根據題意，由/(x+1)為奇函數，得f(x)關于(L0)對稱，

故"1）=0,即2a+b=0,V/（0）+/（2）=0,f（0）=-/⑵=-（4a+b）,又?:

〃0）+〃l）=T,

/（0）=-4.即4q+6=4,由｛4a+g_q，解得a=2,b=-4,：+=0，

"倍］=_小2=_/佶］=_限2二4］=4_4夜.故答案為：4s

2./U)是定義域為R的函數，且/(x)-V為奇函數，/(x)+2、為偶函數，則/(2)的值是()

【答案】A

【分析】利用函數的奇偶性列方程組求/(x)的解析式，進而代入自變量求〃2)的值.

【詳解】由題意，/(-x)-(-x)2=/(-x)-x2=x2-/(x),即〃T)+/(X)=2/,

/(-%)+2T=f(尤)+2、，即f(x)-/(-x)=2-x-2)

所以2/(x)=2x2+2-c-2、，可得f(x)=x2+2-x-'-V',

故/(2)=22+2-2——22-1=1?7.故選：A.

8

23'：：-”,若〃一2)+〃4)=0,則實數(

3.已知函數f(x)=)

A.-2B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】由題知f(a)=T,再根據x<—l時，/(x)=2-，>2得再解方程即可得答

案.

【詳解】解：由題知〃-2)=2+2)=22=4,”-2)+“a)=0所以〃a)=T,

因為x<—l時，/(x)=2-v>2,所以，a>-l,所以“a)="—12=T,解得a=2.故選:

B

【題型二】解指數不等式：定義域

【典例分析】

函數y=V的定義域是

A.(0,+oo)B.[0,+oo)C.(l,+oo)D.[L+O

【答案】B

【詳解】試題分析：根據已知關系式可知，要使得原式有意義，則滿足函數丫=^/7二1中的

e'-l>0/.x>0.因此可知答案為?y)，選B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

解指數不等式，主要方法是“同底法”。

【變式訓練】

1.已知函數”刈=應萬，則、=弋二D的定義域是.

【答案】{小<?；?<xM2}

【分析】復合函數定義域求法:若/(x)的定義域為A,則y=/(g(x))有意義要首先滿足

g(x)wA.

【詳解】/(x)=尿工7的定義域為{中43},

fC2x~1”)需滿足:1<3,解得xe(r/o,0)、5°/，2]I，

X(。U

???g(x)的定義域是{x|x<o或0<x42}.故答案為：或0<x42}.

2.若函數/⑺的定義域為（。,8）,則函數g（力答的定義域為----------

【答案】（0,3）

..[0<2x<8/、

【分析】由函數“X）的定義域可知8—2*>0，解出X的取值范圍，即可得到函數g（x）的

定義域.

【詳解】解：函數的定義域為（0,8）,g（x）=^^=,0<2x<8

,解-得0vxv3,

8-2v>0

/、/（2x）

即函數8（元）=令=的定義域為（0,3）.故答案為：（0,3）.

,8—2"

3…函數f（x）=j32i-g?的定義域是（）

A.(-2,+oo)B.[—l,+oo)C.D.(—8,-2)

【答案】B

【分析】根據指數函數的單調性解不等式即可.

【詳解】解：要使函數有意義，需滿足32i-，Z0,即：32-23-3,因為y=3'為增函數,

所以2x-G-3,解得:x2-1.故選:B.

【題型三】指數型復合函數單調性

【典例分析】

若函數”x）=B有最大值3,則實數。的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據復合函數的性質，結合/（X）的最大值，求得”的值.

/1、蘇-4x+lA7

【詳解】由于函數/（x）=卜）有最大值3,所以。>0,且當x=—琮=:時，f（x）取

得最大值為個卜《產號；（『=3>=3,故.l=l，Qa=2.

故選：D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

復合函數由內函數和外函數構成，其單調性遵循“同增異減”法則：

（1）內外兩個函數都是增函數（或減函數），原函數就是增函數；

（2）內外兩個函數一增一減，原函數就是減函數.

【變式訓練】

1.函數f(x)=e2i-2ei的單調遞增區(qū)間為()

A.[2,+oo)B.[l,+oo)

C.[0,+oo)D.[-2,+co)

【答案】A

【分析】令e7=r?>0),將原函數化為y=『-2r,根據二次函數和指數函數的單調性可得

選項.

【詳解】解：令ei=w>o),則原函數可化為y=r-2f,該函數在上單調遞增，

又f=e-2在R上單調遞增，當x=2時，t=\,

故/(x)=e2x-4-2e-2在xe[2,田)上單調遞增，

故選：A.

2.已知函數y=qE(。>0且axl)在區(qū)間[，2]上是減函數，則實數。的取值范圍是()

A.(1,4)B.(1,2]C.(2,4]D.(0,g

【答案】B

【分析】令〃可知內層函數菽在區(qū)間口，2]上為減函數，則外層函數y=a"

為增函數，結合4-以W0對任意的xe[l,2H亙成立可求得實數。的取值范圍.

【詳解】令“由于。>0且。制，內層函數〃=7?二晟在區(qū)間口，2]上為減函數，

所以，外層函數y=“"為增函數，則有”>1,

由題意可知，不等式4-水20對任意的xeja恒成立，二4-加20,解得“42.

綜上所述，實數。的取值范圍是(1,2].

故選：B.

3..函數/(幻=(；)口^的單調遞增區(qū)間為()

【答案】C

【彳析】求出給定函數的定義域，再結合指數型復合函數單調性求解作答.

【詳解】依題意，-犬+x+lNO,解得：叵4x4笥叵，即/(X)定義域為[與叵,q5],

令“3W+X+1，則函數”=J-d+x+l在[匕上單調遞增,在已，匕或]上單調遞

2222

減，

而函數》=(與在R上單調遞減，因此，/(X)在[匕5」上單調遞減，在己,匕2昌上單調

遞增，

所以函數/(x)=(g)EU的單調遞增區(qū)間為乎].故選：C

【題型四】指數函數識圖

【典例分析】

函數/(x)=e'-e-'-d的部分圖象大致為()

【答案】B

【分析】先證明，(x)為奇函數可淘汰C,D選項，再利用x趨向于正無窮時，可得到

f(x)=e、-e-/-x3也趨向于正無窮，故淘汰A,即可得到答案

【詳解】解：由八外=/-6-*-/可得定義域為區(qū)，

因為Ax)+/(-x)=(e*-e-、一/)+[e-*一e*-(―x)[=0

所以/(x)為奇函數，故淘汰C,D選項，

當x趨向于正無窮時，y=e"趨向于正無窮，丫=0趨向于0,y=/趨向于正無窮，

而且指數函數丁=1趨向于正無窮的增長速率遠遠超過y=/趨向于正無窮的增長速率,

所以當x趨向于正無窮時，/Q)=e'-趨向于正無窮，故淘汰A,

故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

函數圖象的辨識可從以下方面入手：

(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.

【變式訓練】

【分析】根據函數發(fā)達式，求得函數了(》)為偶函數，且/(x)2。恒成立即可判斷

【詳解】由題意可得：/(_燈=生正=—二=

故函數f(x)為偶函數，圖象關于y軸對稱，可排除C和D選項

又/（x）ZO恒成立，可排除A選項。故選：B

【分析】由奇偶性定義判斷f（x）對稱性，再根據解析式判斷xw（0,1）、乂?（1,+8）上/（外的符

號，即可確定大致圖象.

【詳解】由題設，/（T）=（-?’-（］?==-/0）且定義域為R,即/（X）為奇函數,

2+2一（）2+2

排除C,D；

當x￡（0,+8）時2'+2r>0恒成立；

x3-x=x（x-l）（x+l）,故當xe（0,D時3卜2-1）<（）,當x￡（l,+oo）時不［2一］）>（）；

所以，X￡（O,1）時f（x）<0,xe（h+oo）04/（x）>O,排除B；

故選：A.

3.函數/（x）=Jg（xxO）的圖象大致為（）

【答案】A

【分析】分析函數/（》）的奇偶性及其在（0,1）上的函數值符號，結合排除法可得出合適的選

項.

【詳解】函數"X）的定義域為卜|"0},/（-力=果￡=理9=/（同，

所以，函數/（x）為偶函數，排除CD選項，

當0<x<l時，國一1<0,2*+2T>0,則0（刈=.丹］<0,排除B選項.故選：A.

【題型五】指數函數圖像特征：一點一線

【典例分析】

若直線y=3a與函數y=|優(yōu)-1](a>0,且awl)的圖象有兩個公共點，則“可以是()

112

A.2B.-C.-D.—?

343

【答案】c

【分言】分類討論作出兩函數的圖象，數形結合可得

【詳解】由題意，直線y=3a與函數y=k、-l|(a>0,且a*1)的圖象有兩個公共點，

綜上可知，。的取值范圍為(0,；),故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

“一點一線”：指數函數恒過定點(0,1),漸近線為x軸

【變式訓練】

1.已知函數/(x)=|2-l|,a<b<c,且/(4)>/(c)>/S),則下列結論中，一定成立的是

()

A.a<0,Z?<0,c<0B.a<0,b>0,c>0

C.Ta<2CD.2"+20<2

【答案】D

【分析】作出函數圖象，結合圖象判斷AB,再由/(a)>/(c)去掉絕對值號化簡可判斷D,

由均值不等式即指數函數的單調性判斷C.

【詳解】由圖示可知”0時，b的符號不確定，故AB錯；

1

7/一,

0123'/⑷=|2〃—-1|〉|2'-1|即

ae

l-2>2-lf

故2"+2'<2，故D正確，又2"+2。>2，廣，所以2亞丁<2，即2"+,<1.

所以a+c<0,即c<-a,所以2。<2一"，故C不正確.故選：D

2.設》="-[,c<6<a,若函數在x=c的函數值大于函數在x="的函數值，函數在x=〃

的函數值大于x=b的函數值，則下列關系式中一定成立的是()

A.3°>3"B.3">3"C.3，+3">2D.3"+3"<2

【答案】D

【分析】作出函數y=|3'-l|的圖象，再根據給定條件確定a,c值的符號即可判斷作答.

【詳解】令y=/(x)=FT，則/(x)=作出函數y(x)的圖象，如圖，

3—l,x>0

顯然函數/(X)在(-8,0)上單調遞減，在(0,”)上單調遞增，

依題意，當c<6<a時,/(c)>/(")>fS)成立，觀察圖象知,c<0且。>0,be(t,a),

c<t<a,

必有3'<1,3">1,而〃c)—f⑷>0,則有1-3°-(3"-1)>0,即3'+3"<2,C不正確,D

正確；

因c<b<a,函數y=3"在R上單調遞增，則有3。<3〃，3〃<3。，A,B都不正確.

故選：D

|2X_||x<2

3.已知函數〃x)=?「一,若實數。也c滿足。<。<的且f(a)=〃b)=〃c),則

-x+4,x>2

2"+。+2"。的取值范圍為()

A.(4,8)B.(4,16)C.(8,32)D.(16,32)

【答案】D

【分析】作空函數圖象，根據圖象先確定f(a)=/0)=/(c)e(O,l),再由函數確定出c的

取值范圍，

再由=f(b)確定出2"+2"=2，即可求解.

【詳解】作出函數〃x)的圖象，如圖，

當x<0時,./-(x)=|2l-l|=l-2-re(0,1),

由圖可知,/(a)=/(*)=/(c)G(0,1),BP4-CG(O,1)

得3<c<4,則8<2°<16,

由f(a)=〃6)，即|2"T=4T，得J2"=2〃—I，求得2"+2=2，

.,.2"+c+2"?=2'(2"+2")=2x2'w(16,32),故選：D

【題型六】指數函數比大小1：圖像比大小

【典例分析】

.設/（x）=|2-2|,a,beR+,且a1b,則下列關系式中不可能成立的是（）

A.f以友）>于羋■）B.f嚴尹于然

2a+ba+b2

c./（蕓）才（而）>/（竽）D./（而）"（煞）"（噌）

a+b2a+b2

【答案】D

【分析】由條件a,6eR+,且球b分析出字,當■的大小關系，再討論函數/J）的

單調性即可逐一判斷作答

【詳解】因。，力￡R+,且出b,則有空且二于是得

2a+by/aba+b

a+b/—r2ab

>\!ab>----,

2-------a+b

函數〃x）=E：2；，x<\則/（x）在（0,1］上遞減，在工轉）上遞增，

當當21時，有'（而討（名）成立，A選項可能成立；

a+b2a+b

當?！醋?1時，有/（%）"（而）>/（孚）成立，C選項可能成立；

2a+h2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

已知d"=A"（a,6>l或0<a2<1）,比較犯〃大小的常用方法：

（1）分類討論法：m<n,m=n,m>n,根據指數函數的單調性分析出川，〃的大小關系；

（2）數形結合法：在同一平面直角坐標系作出）』“',y=b’的圖象，作直線V=/與兩圖象

相交，根據交點橫坐標的大小關系判斷出〃?，〃的大小關系.

【變式訓練】

1.設2叫=3",則加，”的大小關系一定是()

A.m>nB.m<nC.m>nD,以上答案都不對

【答案】D

【解析】根據2"'=3"可分三種情況討論：m>n,m^n,m<n,根據指數函數的單調性分析出

每種情況下見”，。的大小關系，由此得到機，”的大小關系.

【詳解】當用〉〃時，因為y=2*為(0,+8)上增函數，所以2山=3">2",所以>h所

以〃>0,所以機>〃>0；

當初="時，(T)=1,所以〃=0,所以〃2=〃=0；

當機<〃時，因為y=2*為(0,+8)上增函數，所以2"=3"<2",所以(|)<1，所以〃<0,

所以加<〃<0,

故選：D.

2.已知函數/(X)=x2一/zx+c滿足/(l+x)=,且/(0)=3,則fS與")的大小關

系為()

A.⑻)B.f(cx)<f(bx)C.f(cx)>f(hx)D.f(cx)=f(bx)

【答案】A

【分析】根據題意，由二次函數的性質分析可得匕、。的值，則有A*=23c*=3*,由指數

的性質分情況討論x的值，比較/(")和/(《)的大小，綜合即可得答案.

【詳解】根據題意，函數f(x)=V-法+C滿足/(x+l)=/(l-x),則有2=1,即b=2,

又由f(0)=3,則c=3,所以1=2，,c*=3*,

若xvO,則有而"X)在(F,1)上為減函數，此時有

若x=0,則有c，=b，=l，此時有/S*)=f(c*),

若x>0,則有1<3<C，，而,⑸在(1,廿。)上為增函數,此時有/S*)</(c*),

綜合可得/S"),J(c"),故選：A

3.若2021"=2020”>1,則()

A.0<b<aB.a<b<0C.0<a<bD,b<a<0

【答案】c

【分析】在同一坐標系內分別作出y=2020'以及y=202F的圖象，借助于圖像分析

2021"=2020%>1時，?.6的范圍.

【詳解】在同一坐標系內分別作出y=2020'以及y=2021'的圖象，

【題型七】指數函數比大小2：構造函數

【典例分析】

若實數X,y滿足2022,+2023-<2022〉+2023-',則()

A.—>1B.—■<1

y)

C.x-y<0D.x-y>0

【答案】C

【分析】由指數函數的性質可知"1)=2022,-2023T是R上的增函數；根據題意可知

2022,-2023"<2022v-2023v,即再根據函數的單調性，可得x<V,由此

即可得到結果.

【詳解】令/(x)=2022—2023-',由于y=2022',)，=-2023'均為R上的增函數，所以

f(x)=2022、-2023-'是R上的增函數.

vv

因為2022+2023T<2022''+2023r,所以2022,-2023T<2()22-2023T，即/(x)</(y),

所以x<y,所以x-y<0.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

常見的構造函數技巧：

1.在于轉化過程中，“分參"一''同構"，得新函數，提取單調性

2.在于轉化過程中，“分函”一“同構”，得新函數，提取單調性

注意“分參”與“分函”的區(qū)別與聯(lián)系

【變式訓練】

1.若2'-5."W2->-5>,則有()

A.x+”0B.尤+yMOC.x-y<0D.x-y>0

【答案】B

【分析】構造函數/(司=2,-5-*,由解析式確定函數單調性，再利用單調性即可求解.

【詳解】構造函數“司=2'-5一*,易得函數單調遞增，山2'-5TM2-，-5,，

可得r.xM-ynx+yMO,

故選：B.

2.已知（g]+（g）'+]gj,則下列關系式正確的是

A.x<yB.x>y

C.x<-yD.x>_y

【答案】A

【分析】先變形不等式，然后構造新函數，利用新函數的單調性判斷出的大小關系即可.

【詳解】不等式可變?yōu)閏m'>（；）f，

因為函數/（X）=（￡）[（；）在R上是減函數，所以有*<上

故選A.

【點睛】函數/（力=優(yōu)—“'>0且awl）的單調性由。的大小決定：當。>1時，y="在R

上是增函數，了=-尸在R上是增函數，所以“》）=優(yōu)一才是增函數；當0<。<1時，y=a，

在R上是減函數，y=-/*在R上是減函數，所以/'（x）=a是減函數.

3..已知x,yeR,且2'+3V>2-+3，則下列各式中正確的是（）

A.x-y>0B.x+y<0

C.x-y<0D.x+y>0

【答案】D

【分析】可對2*+3,>2-+3-"變形成2*-3-*>27-3，，構造函數/（司=2'-3一',根據函

數的單調性可得答案.

【詳解】.2"+3y>2-y+3~x,2X-3-x>2-y-3,,

設/（x）=2-3T,2,為增函數，—3一，=一1]也為增函數，所以〃x）為增函數，

由2X-3-X>2一>'一3>,可得/（x）>f（~y）,

所以x>—y,即x+y>（）。故選；D

【題型八】指數函數比大小3：幕、指數函數綜合

【典例分析】

201920212019

設〃=（理嚴，八嚴，嚴，則〃，dc的大小關系是（）

[2022J[2022）{2022）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】根據指數和基函數的單調性比較大小即可.

【詳解】因為y-會在（°，內）上單調遞增，>=（蹩丫在R上單調遞減

）[2022）

201920192021

所以（膽產/型受產/期產，故a〉。*故選：B

U022J（2022J[2022）

【提分秘籍】

基本規(guī)律

常見嘉函數及其圖像

【變式訓練】

1.設a=206,〃=2%c=O.506,則（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【分析】先將c=0.5°6改寫為〃=2?6,再利用函數y=2*的單調性判斷即可

【詳解】由題，c=0.嚴=2,對于指數函數y=2'可知在R上單調遞增，

因為-0.6<0.5<0.6,所以2心<2°5<20-6，即cy。<a

故選：D

2.若°=匕=圖",c=則。，b，c的大小關系是（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>b>a

【答案】c

【分析】根據指數函數y=的單調性可比較6與c的大??；根據事函數y=，的單調性

可比較。與c的大小.

【詳解】因為6=圖\c=《J,函數y=圖在R上單調遞減，所以J>《了，即b>c；

33333

又a=（；j,c=，函數y=/在（o,+8）上單調遞增，所以0<弓［即a<C,

所以Z?>c>a.故選：C.

3.已知a=（&）\。=2有，c=3&，則下列結論正確的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

［答案］A

【.析】根據指數函數圖像和性質即可比較大小.

R3

【詳解】4=（0）=2"6=2號且y=2'在R上單調遞增

.-.67=(72)3=V1<b=2^<22=4--a<h

戌=(2邛=23=8,c尤=(3忘廣=32=9,.?.淤=8<c&=9,X-.43>y/2:.h<c.-.a<b<c

故選：A

【題型九】指數型中心對稱1：中心在y軸

【典例分析】

.設函數，(口=皆石，(。>0且4X1),上可表示不超過實數機的最大整數，則函數

“X)-；+f(T)+g的值域是()

A.{0,1,2}B.{-1.0}C.{-1,0,1}D.{0,1}

【答案】D

【分析】先化簡/(*)-}和f(r)+；，然后根據解析式的特點可求.

【詳解】因為/(x)=—三，所以f(x)-g=\-g=g—-

a+12a+122aFl

，/、1Q111

f(-x)+—=-----+—=----+—.

2a~x+\2優(yōu)+12

11111

因為4、+1>1,所以,當時，0<1—---<—,—<——1------<t1,

優(yōu)+1a'+1226r+l222優(yōu)+1

此時［2"+J町［2+/+J=°/")-2卜卜(*

二0；

當‘總時‘上叱牛［.仆)+泉1；

、1，11…111c1113

當一<----<1時，一一<--------<0,1<-+-----<—,

2優(yōu)+122優(yōu)+12優(yōu)+12

此時［27+1卜T12+/+1卜L卜。)-2卜上(一)+?；=0；故選D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

(a+b,c)

1.若〃力滿足/(”+X)+/07)=2C,則f(x)關于12

J中心對稱

2.

特殊的奇函數：(考試難點)：

m+n.1-x.1-kx1x-1

1、對數與反比例復合：y=logam-nx,y=|Og>-\>

如：log.,——，log.,----,loga——

<m+nx*m-nx'1+Xa1+kxdX+l

2、指數與反比例復合：y=a+1,y=-^-,y=1a>l+ax

y=-----

a-1a+1\+a\-ax

3、對數與無理式復合：y=log(>/(kx)2+l±kx),如:2

ay=loga(v(x)+l+x)

3.形如y=^四對稱中心為(0,女)

ax+\2

【變式訓練】

1.已知函數〃犬)=亍M(，">0),且〃a+2)+_f?-機<0,則()

A.a+b<0B.a+b+2<0

C.6f-Z;+l>0D.a+h>0

【答案】B

【分析】構造函數g(x)=〃x)-5，判斷g(x)的單調性和奇偶性，由此化簡不等式

/(a+2)-y+/(*)-y<0,即g(a+2)+ge)<0可得選項.

【詳解】由題意知函數“工人三匕

m3"-1

令g(x)=f(x)-￡，則g(x)=^j

萬一2(3-+1)+1

??.g(x)的定義域為R，g(-x)=3.(m=-3.W=-g(x)，二函數g(x)為奇函數?

又機>0,，g(x)在R上單調遞增.

由/(。+2)+/(3一加<0,得以〃+2)—葭+/修)一段<0,即g(a+2)+g(b)<0,二

g(a+2)<-g(b)=g(-b),

；?a+2<—,即a+6+2v0.

故選：B.

1A+14.a

2.已知a>0,設函數/(》)=：：；、+[，xe[-a,句的最大值為4,最小值為B,那么A+B

的值為()

A.4042B.2021C.2020D.2024

【答案】D

【分析】由已知得*X)=2()21-M筆：，令g(x)=MJ,則g(-x)+g(x)=2018,由

2021+1202r+1

g(x)的單調性可求出最大值和最小值的和為g(-a)+g(a)=2018,即可求解.

202產+32021Kx2021+2021-2018__20182018

【詳解】函數/(%)=2()2]令g(x)=

2021,+1202-+1一—2021r+12021V+1

20182018

g(-x)+g(x)=---------------1-------------=2018,乂???g(x)在尤w[—。，〃]時單調遞減函數;

202m2021'+1

???最大值和最小值的和為g(-a)+g(a)=2018,

函數/(力=嗡三孑卜€(wěn)卜"'勾)的最大值為A=2021-g(a)，最小值為8=2021—g(-a)；

則A+8=4042-[g（-a）+g（a）]=2024：故選：D.

3.已知函數〃x）=2-等，若不等式/⑷）+/1-/一《>2對以41,2）恒成立，則實數。

的取值范圍是（）

A.[o,|]B.[-℃,|5

D.-,4-00

2

【答案】D

【分析】根據解析式可推導得到/（力+/（-力=2,由此可化簡不等式得到

〃分）>/卜+9；根據“X）的單調性可得a>x+；對vxw（l,2）恒成立，5

由<—

222

可得結果.

【詳解】/（X）=2-告=尋，f（T）=a=三，.?J（X）+〃T）=2,

e+1e+1e+11+e

則/（-J_>|）+/卜+1卜?，/.f（or）+/1%2_1]>2可化為〃詞〉f^x2+]]；

,、2

.丁=廿+1為區(qū)上的增函數，，/（力=2---—~；為11上的增函數,

e+1

/.ax>x2+1對Wx￡（l,2）恒成立，即ci>x+g,

1<x+l<|,即實數a的取值范圍是|。，+8].故選：D.

22222）

【題型十】指數型中心對稱2：中心平移型

【典例分析】

己知函數〃"=蕭：的圖像與過點（T1）的直線有3個不同的交點（彳丹），（孫兒），

（凡，丹），貝1」（玉+*2+犬3）2+（乂+必+%）2=（）

A.8B.10C.13D.18

【答案】D

【分析】分析函數/（x）的對稱性，再借助對稱性的性質計算作答.

【詳解】函數/（力=皆節(jié)定義域為R,且即點（-U）在函數圖象匕

VxsR,f（_l_x）+f（_i+x）=?J+與=--+孚-=2,因此，函數“X）的圖象

e+1e+1e+1e+1

關于點（-1,1）對稱，

依題意，不妨令工2=-1，必=1，則點（如打）與（孫必）關于點（-1,1）對稱，即玉+玉=-2且

y+%=2，

所以（西+&+凡）2+（兇+必+%）2=（-3）2+32=18.

故選：D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

形如y=。巴對稱，是由y=《坦"左加右減”平移可得。

優(yōu)+14+1

故對稱中心也由(0,匕巴)平移來

2

【變式訓練】

1.已知函數/(x)=(2x2-4x+3)(e*T-ej)-2x+l在[0,2]上的最大值為M,最小值為m,貝！|

M+m=.

【答案】-2

【分析】

先得出f(x)的圖像關于點(1,-1)成中心對稱，根據中心對稱圖像的特點可得答案.

【詳解】

/(I-X)=[2(1-X)2-4(1-x)+v-'-)-2(1-x)+1=(2x2+\](e^x-e')+2x-i

/(I+x)=[2(1+x)2-4(1+x)+-eHlM))-2(1+x)+1=(2x2+l)(ex-ex)-2x-1

所以"1—x)+/(l+x)=—2,所以/(x)的圖像關了點(L—1)成中心對稱.

由/(x)[0,2]上的最大值為M,最小值為m,

由中心對稱圖像的特點可得：M+m=-2故答案為：-2

2.已知函數”6=上1+±1+'工1+3圖像與函數8(力=9a=-9圖像的交點為(4)，1),

.XA.L-V4，+\

_叫

。2，%)，…，(工,則Z(X,+%)=()

f=l

A.20B.15C.10D.5

【答案】A

【分析】分析函數“可，g(x)的性質，再探求它們的圖象交點個數，利用性質計算作答.

【詳解】函數"x)=1+」+」一+3定義域為(7,0)5。,2)52,4)54,內)，

其圖象是4條曲線組成，在區(qū)間(-8,0),(0,2),(2,4),(4,+8)上都單調遞減，

當x<0時，f(x)<3,當0<x<2或2Vx<4時，/(力取一切實數，當x>4時，/(x)>3,

/(4一力+/(力=(_'_y_，+3)+(，+心+二+3)=6,即/(X)的圖象關于點

(2,3)對稱,

Q

函數g(x)=