2023年高中數(shù)學(xué) 等差數(shù)列及其前n項和 課件

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列及其前n項和課件等差數(shù)列及其前n項和

【要點梳理】

要點一、等差數(shù)列的定義文字語言形式

普通地，假如一個數(shù)列從其次項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。

要點詮釋：

⑴公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；

⑵共同特征：從其次項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)d（即公差）；符號語言形式

對于數(shù)列{}na,若1nnaad--=(nN+∈，2n≥,d為常數(shù))或1nnaad+-=(nN+∈，d為常數(shù))，則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)d叫做等差數(shù)列的公差。

要點詮釋：定義中要求“同一個常數(shù)d”，必需與n無關(guān)。等差中項

假如a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，即2

b

aA+=.要點詮釋：

①兩個數(shù)的等差中項就是兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。隨意兩實數(shù)a，b的等差中項存在且唯一.②三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是2

b

aA+=.要點二、等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式

首相為1a，公差為d的等差數(shù)列{}na的通項公式為：

推導(dǎo)過程：（1）歸納法：

按照等差數(shù)列定義1nnaad--=可得：1nnaad-=+，∴211(21)aadad=+=+-，

32111()2(31)aadaddadad=+=++=+=+-，43111(2)3(41)aadaddadad=+=++=+=+-，

……

d

naan)1(1-+=

當n=1時，上式也成立

∴歸納得出等差數(shù)列的通項公式為：dnaan)1(1-+=（nN+∈）。

（2）疊加法：

按照等差數(shù)列定義1nnaad--=，有：

21aad-=，32aad-=，43aad-=，

…

1nnaad--=

把這1n-個等式的左邊與右邊分離相加（疊加），并化簡得1(1)naand-=-，∴1(1)naand=+-.(3)迭代法：

dnadddaddadaannnn)1()()(12

221-+=++++==++=+=443

4421ΛΛ

∴1(1)naand=+-.要點詮釋：

①通項公式由首項1a和公差d徹低確定，一旦一個等差數(shù)列的首項和公差確定，該等差數(shù)列就唯一確定了。

②通項公式中共涉及1a、n、d、na四個量，已知其中隨意三個量，通過解方程，便可求出第四個量。

等差數(shù)列通項公式的推廣

已知等差數(shù)列{}na中，第m項為ma，公差為d，則：

證實：∵1(1)naand=+-，1(1)maamd=+-

∴11[(1)][(1)]()nmaaandamdnmd-=+--+-=-∴()nmaanmd=+-

由上可知，等差數(shù)列的通項公式可以用數(shù)列中的任一項與公差來表示，公式1(1)naand=+-可以看成是1m=時的特別狀況。

要點三、等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列{}na中，公差為d，則

①若,,,mnpqN+∈，且mnpq+=+,則mnpqaaaa+=+，特殊地，當2mnp+=時2mnpaaa+=.

②下標成公差為m的等差數(shù)列的項ka,kma+,2kma+,…組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為md.③若數(shù)列{}nb也為等差數(shù)列，則{}nnab±，{}nkab±，（k,b為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列.④123456789,,,aaaaaaaaa++++++……仍是等差數(shù)列.⑤數(shù)列{}+nabλ（λ，b為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列.要點四、等差數(shù)列的前n項和公式等差數(shù)列的前n項和公式

證實：倒序相加法

nnnaaaaaS+++++=-1321Λ①1221aaaaaSnnnn+++++=--Λ②

①+②：1213212()()()()nnnnnSaaaaaaaa--=++++++++L∵121321nnnnaaaaaaaa--+=+=+==+LL∴)(21nnaanS+=由此得：2

)

(1nnaanS+=

證實：將dnaan)1(1-+=代入2)(1nnaanS+=可得：2

)1(1d

nnnaSn-+=要點詮釋：

①倒序相加是數(shù)列求和的重要辦法之一。

②上面兩個公式均為等差數(shù)列的求和公式，共涉及1a、n、d、na、nS五個量，已知其中隨意三個量，通過解方程組，便可求出其余兩個量。

要點五、等差數(shù)列的前n項和的有關(guān)性質(zhì)等差數(shù)列{}na中，公差為d，則

①延續(xù)k項的和依舊成等差數(shù)列，即kS,2kkSS-,32kkSS-，…成等差數(shù)列，且公差為2

kd.②若項數(shù)為2n，則21()nnnSnaa+=+，SSnd-=偶奇，

1

nnSa

Sa+=奇偶③若項數(shù)為2n-1，則21(21)nnSna-=-，nSna=奇，(1)nSna=-偶，nSSa-=奇偶，1

SnSn=

-奇偶

要點六、等差數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系

等差數(shù)列{}na的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))

等差數(shù)列{}na中，11(1)()naanddnad=+-=+-，令1adb-=

,則：

（1）當0d=時，nab=為常數(shù)函數(shù)，{}na為常數(shù)列；它的圖象是在直線yb=上勻稱羅列的一群孤立的點。

（2）當0d≠時，nadnb=+是n的一次函數(shù)；它的圖象是在直線ydxb=+上勻稱羅列的一群孤立的點。

①當0d>時，一次函數(shù)單調(diào)增，{}na為遞增數(shù)列；②當d＜0時，一次函數(shù)單調(diào)減，{}na為遞減數(shù)列。

等差數(shù)列{}na的前n項和公式是關(guān)于n的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)（或一次函數(shù)）

由ndanddnnnaSn)2(22)1(121-+=-+

=，令2dA=，12

d

Ba=-，則：

（1）當0d=即0A=時，1nSBnna==，nS是關(guān)于n的一個一次函數(shù)；它的圖象是在直線1yax=上的一群孤立的點。

（2）當0d≠即0A≠時，nS是關(guān)于n的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)；它的圖象是在拋物線

2yAxBx=+上的一群孤立的點。

①當0d>時nS有最小值②當0dD．若a1＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＞0

【答案】分析四個答案，A舉一反例，如12a=，21a=-，34a=-，a1+a2＞0，而a2+a3＜0，A錯誤；

同樣B，如12a=，21a=-，34a=-，a1+a3＜0，則a1+a2＞0，B錯誤；

對于C，{an}是等差數(shù)列，若0＜a1＜a2，則a1＞0，設(shè)公差為d，則d＞0，數(shù)列各項均為正，

2212222()()aaadadad=-+=-，∵22

222aad>-，∴

2a>；

對于D，2

2123()()0aaaad--=-≤

故選：C．

【變式2】已知數(shù)列{}na中，11a=，122nnnaaa+=

+（*

nN∈），求證：1{}n

a是等差數(shù)列。證實：∵122nnnaaa+=

+，∴

121

1122nnnn

aaaa++==+∴

11112nnaa+-=，∴1

{}na是公差為12

的等差數(shù)列。類型二：等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用

例3．已知等差數(shù)列{}na中，1533a=，45153a=，試問217是否為此數(shù)列的項？若是，說明是第幾項？若不是，說明理由。

【思路點撥】等差數(shù)列的計算，普通優(yōu)先考慮使用性質(zhì)，假如不宜用性質(zhì)，則回歸為基本量a1、d的問題，

列出a1、d的方程組。

【解析】

辦法一：由通項公式得：151451143344153

aadaad=+=??

=+=?，解得123

4ad=-??=?，

∴234(1)427nann=-+-=-（1n≥,nN+∈）,∴217427n=-,解得61n=.

辦法二：由等差數(shù)列性質(zhì)，得451530aad-=,即1533330d-=，解得4d=,∴154(15)naan=+-，∴217334(15)n=+-,解得61n=.辦法三：由等差數(shù)列的幾何意義可知，等差數(shù)列是一些共線的點，∵點(15,33)P、(45,153)Q、(,217)Rn在同一條直線上，

∴

45

153

217154533153--=--n，解得61n=。

【總結(jié)升華】

1.等差數(shù)列的關(guān)鍵是首項1a與公差d；五個基本量1a、n、d、na、nS中，已知三個基本量便可求出其余兩個量；

2.列方程（組）求等差數(shù)列的首項1a和公差d，再求出na、nS，是數(shù)列中的基本辦法.舉一反三：

【變式1】在等差數(shù)列{}na中，已知51210,31,aa==求首項1,a與公差d.

【答案】由11

5410

121131adad+=??+=?解得；12,5ad=-=

【變式2】等差數(shù)列{}na中,4d=,18na=,48nS=,求1a的值.

【答案】11(1)18

(1)

482nnaandnnSnad=+-=??

?-=+=??即114(1)182(1)48annann+-=??+-=?，解得：164an=??=?或12

6an=-??=?

.

【變式3】已知等差數(shù)列{}na，354a=，73

4

a=-，則15a=。【答案】

辦法一：設(shè)數(shù)列{}na首項為1a,公差為d，則

??????

?-=+=+43645211dada，解得???

?

???

=-=49211ad，∴4

19

)21(144914115-=-?+=

+=daa。辦法二：∵734aad=+,∴35444d-

=+，解得：2

1

-=d，∴4

19)715(715-

=-+=daa.辦法三：∵{}na為等差數(shù)列，∴3a,7a,11a,15a，…，也成新的等差數(shù)列，由354a=

，734a=-知上述新數(shù)列首項為45

，公差為-2∴15519(41)(2)44

a=

+--=-.類型三：活用等差數(shù)列的性質(zhì)解題

例4.已知等差數(shù)列}{na中，若381312aaa++=,381328aaa=,求}{na的通項公式。

【思路點撥】可以直接列方程組求解1a和d；同時留意到腳標31382+=?，可以用性質(zhì)：當

2mnp+=時2mnpaaa+=解題.

【解析】∵31382aaa+=，∴38138312aaaa++==即84a=,

代入已知，有???=?=+78133133aaaa,解得???==71133aa或???==1

7

133aa，

當31a=,137a=時，531017313313=-=--=

aad，∴5

4

5353)3(3-=-+=nnaan；

當37a=,131a=時，133173133105aad--=

==--,∴5

44

53+-=nan.

【總結(jié)升華】利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題，往往比較簡捷.舉一反三：

【變式1】在等差數(shù)列}{na中，2818aa+=，則5a=

【答案】9

【變式2】在等差數(shù)列}{na中，2581120aaaa+++=，則67aa+=【答案】10

【變式3】在等差數(shù)列}{na中，若169aa+=,47a=,則3a=,9a=【答案】∵16439aaaa+=+=，47a=，∴349972aa=-=-=，

∴435daa=-=，∴94(94)32aad=+-=.

類型四：前n項和公式及性質(zhì)的運用

例5.已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，設(shè){an}的前n項和為Sn，a1＝1，S2?S3＝36．(Ⅰ)求d及Sn；

(Ⅱ)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65．【思路點撥】（1）利用S2?S3＝36求得d,然后利用等差數(shù)列的求和公式求Sn；（2）利用前n項和公式求和，然后對k,m舉行研究。

【答案】(Ⅰ)d＝2；()()

*21N2

1S∈=?-+

=nndnnnan.(Ⅱ)k＝4，m＝5【解析】(Ⅰ)由a1＝1，S2?S3＝36得，(a1＋a2)(a1＋a2＋a3)＝36，

即(2＋d)(3＋3d)＝36，化為d2＋3d－10＝0，解得d＝2或－5，又公差d＞0，則d＝2，所以()()

*21N2

1S∈=?-+

=nndnnnan．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，由am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65得，

()()652

1＝kmmaak+++，

即(k＋1)(2m＋k－1)＝65，

又m，k∈N*，則(k＋1)(2m＋k－1)＝5×13，或(k＋1)(2m＋k－1)＝1×65，下面分類求解：

當k＋1＝5時，2m＋k－1＝13，解得k＝4，m＝5；

當k＋1＝13時，2m＋k－1＝5，解得k＝12，m＝－3，故舍去；當k＋1＝1時，2m＋k－1＝65，解得k＝0，故舍去；

當k＋1＝65時，2m＋k－1＝1，解得k＝64，m＝－31，故舍去；綜上得，k＝4，m＝5．

【總結(jié)升華】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，嫻熟應(yīng)用公式解題。

舉一反三：

【變式1】（2022江蘇高考）已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和.若a1+a22=-3，S5=10，則a9

的值是.

【答案】由510S=得32a=，因此2922(2d)33,23620.dda-+-=-?==+?=

【變式2】等差數(shù)列}{na中，若49a=,則7S=_________.【答案】由12121(21)()

(21)2

nnnnaaSna+=

=-，得7477963Sa==?=.

【變式3】已知兩等差數(shù)列}{na、{}nb的前n項和分離為nS、nT，且

43

52

nnSnTn+=-，則1010ab=.

【答案】10191019419379

519293

aS

bT?+===?-.

【變式4】等差數(shù)列}{na前m項和為30，前2m項和為100，求它的前3m項和.

【解析】

辦法一：利用等差數(shù)列的前n項和公式dnnnaSn2

)

1(1-+

=求解。由已知得???

?

???

=-+==-+=100

2)12(22302)1(121dmmmaSdmmmaSmm，解得22140,2022mdmma=+=

，∴313(31)

32102

mmmSmad-=+

=。辦法二：利用等差數(shù)列前n項和公式2

)

(1nnaanS+=

及性質(zhì)mnpq+=+,則mnpqaaaa+=+求解。由已知得?????

??-=-=+=+=+)4()3(

2)(3)2.(

100)()1(

60)(223331211mmmm

mmmmaaaaSaamaamaam

由(3)-(2)及(2)-(1)結(jié)合(4),得S3m=210.

辦法三：按照性質(zhì)：“已知{an}成等差數(shù)列，則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……,Skn-S(k-1)n,……(k≥2)成等差數(shù)列”解題。

由上述性質(zhì)，知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列。∴Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm),∴S3m=3(S2m-Sm)=210.辦法四：由dnnnaSn2

)1(1-+

=的變形式解題，由上式知，2)1(1d

nanSn-+=

∴數(shù)列}{

n

Sn

也成等差數(shù)列，即mSmSmSmmm3,2,32成等差數(shù)列，

∵

m

SmSmSm

mm32232+=，又Sm=30,S2m=100,∴S3m=210.辦法五：∵{an}為等差數(shù)列，∴設(shè)2

nSAnBn=+

∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100,得220Am=，10

Bm

=∴S3m=9m2a+3mb=210.

例6．一等差數(shù)列由3個數(shù)組成，3個數(shù)之和為9，3個數(shù)的平方和為35，求這個數(shù)列?！舅悸伏c撥】

本題設(shè)這三個數(shù)時，常規(guī)設(shè)法為a,ad+，2ad+，但不如用對稱設(shè)法設(shè)為ad-,a,ad+。【解析】設(shè)這三個數(shù)分離為ad-,a,ad+，則2

2

2

()()9()()35

adaadadaad-+++=??

-+++=?，解得3a=,2d=±.

∴所求三個數(shù)分離為1，3，5或5，3，1?！究偨Y(jié)升華】

1.三個數(shù)成等差數(shù)列時，可設(shè)其分離為xd-,x,xd+；若四個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)其分離為

3xd-,xd-,xd+,3xd+.

舉一反三：

【變式】已知四個數(shù)成等差數(shù)列，且其平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，求此四個數(shù)。

【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8類型五：等差數(shù)列前n項和的最值問題

例7．已知數(shù)列}{na是等差數(shù)列，10a>,917SS=，試問n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？為什么？【思路點撥】

要討論一個等差數(shù)列的前n項和的最值問題，有兩個基本途徑：其一是利用nS是n的二次函數(shù)關(guān)系來考慮；其二是通過考察數(shù)列的單調(diào)性來解決。

【解析】

辦法一：∵917SS=,∴1193617136adad+=+即18100ad=-,∵10a>，∴025

2

1，∴當13n=,nS有