2024年中考數(shù)學壓軸題：圓與相似及三角函數(shù)綜合問題（教師版含解析）

圓與相似及三角函數(shù)綜合問題

典例剖析.

X________________________________Z

【例1】(2022?四川?巴中市教育科學研究所中考真題)四邊形ABCD內(nèi)接于OO,直徑AC

與弦交于點E,直線與。。相切于點B.

(1)如圖1,若NPBA=3。。，且EO=EA,求證：BA平分NPBD；

(2)如圖2,連接OB,若求證：△OABCDE.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(D連接OB,根據(jù)切線的性質(zhì)可得NPBA+NABO=9〃，再由ZPBA=3。。，

可得NABO=6Z70,從而得到△AOB為等邊三角形，再跟等邊三角形的性質(zhì)可得2E平分

ZABO,即可求證；

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑所對的圓周角是直角可得NPBA=NOBC=NOCB,從而

得到NAOB=2NOCB=2NPBA,進而得到NAOB=2ACD,再由NBAO=

NBDC,即可求證.

(1)

證明：連接05

???直線PB與O。相切于點B,

NPBO=90°,

.-.NPBA+Z.ABO=90°,

■：NPBA=30°,

ZABO=60°,

又?.?OA=OB,

AOB為等邊三角形，

又???OE=AE,

/.BE平分NABO,

??.ZABE=-ZABO=30。,

/.BA平分NPB。；

證明：.??直線PB與。。相切于點B,

??.NPBO=90。，

??.Z.PBA+Z.ABO=90°,

???/c為直徑，

：.^ABC=90°,

：.AOBC+AABO=9QQ,

：.￡OBC=APBA,

：OB=OC,

.'.ZPBA=NOBC=NOCB,

??.ZAOB=2NOCB=2ZPBAt

???Z.ACD=ZABD=2ZPBA,

Z.AOB=NAC。，

又「ZBAO=ZBDC,

??.△OAB-△CDE.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練

掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

【例2】（2022?廣東深圳?中考真題）一個玻璃球體近似半圓。AB為直徑，半圓O上點C

處有個吊燈舊尸，EF//AB,CO1尸的中點為。,OA=4

(1)如圖①，CM為一條拉線,M在0B上，OM=7￡DF=0.8求CD的長度.

⑵如圖②，一個玻璃鏡與圓O相切，H為切點，M為0B上一點，為入射光線，NH

為反射光線，NOHM=NOHN=45°,ianZCOH=也求。?^的長度.

(3)如圖③，M是線段OB上的動點，為入射光線，NHOM=50、HN為反射光線交

圓。于點N,在M從O運動到B的過程中，求N點的運動路徑長.

【答案】⑴2

(2)0N=y

4)4

【分析】(1)由DF=0￡OM=7.瓦。尸IIOB,可得出DF為△COM的中位線，可得

出。為C。中點，即可得出CD的長度；

(2)過N點作NDJ.OH,交OH于點、D,可得出△NHD為等腰直角三角形，根據(jù)

tanNCOH=*可得出tanNNOD=器=：設ND=3x=DH,則OD=4x,根據(jù)

OD+DH=OH,即可求得x再根據(jù)勾股定理即可得出答案；

(3)依題意得出點N路徑長為：OB+I嬴,推導得出NBOT=80。，即可計算給出

D1D1

即可得出答案.

(1)

:DF=0.8,OM=1.6,DF||OB

二.DF為△COM的中位線

二。為C0的中點

:CO=AO=4

..CD=2

(2)

過N點作ND，OH,交OH于點。

.NOHN=45°,

」.△NH。為等腰直角三角形，即ND=DH,

又..tanNCOH=*

.tanZNOD=5，

tanZNOD=~,

OD4'

..ND:OD=3:4,

設ND—3x=DH,則O。=4x,

:OD+DH=OH,

/.3x+4x=4,

解得X==

:.ND=y,OD=y,

.?.在Rt△NOD中，ON"ND2+OD2=?瑞尸+瑞)2吟

(3)

如圖，當點M與點。重合時，點N也與點。重合.當點“運動至點N時，點N運動至

點7,故點N路徑長為：OB+-

:NNHO=NMHO,NTHO=NMHO,NHOM=5CP.

:.ZOHA=NOAH=65°.

:.NTHO=65°,NTOH=50°.

:.ZBOT=80°,

??.N點的運動路徑長為：OB+1維=4+胃口,

D1y

故答案為：4+1ii.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，弧長公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角

函數(shù)，掌握以上知識，并能靈活運用是解題的關鍵.

【例3】(2022?黑龍江哈爾濱?中考真題)已知是。。的直徑，點/，點8是。O上的兩

個點，連接04OB,點。，點E分別是半徑OA,OB的中點，連接且

ZAOC=2NCHB.

(1)如圖1,求證：Z.ODC=Z.OEC；

(2)如圖2,延長CE交于點凡若CDLOA,求證：FC=FH；

(3)如圖3,在⑵的條件下，點G是上一點，連接AG,BG,HG,OF,若AG.BG=5:3,

HG=2,求OF的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)OF=?

【分析】(1)根據(jù)&4s證明△co。三aCOE即可得到結論；

(2)證明=NECO即可得出結論；

(3)先證明OF_LCH,連接AH,證明設AG=5x,BG=3x,在AG

上取點使得AM=BG,連接MH,證明△MHG為等邊三角形，得MG=HG=2,

根據(jù)AG-AM+MG可求出x=7,得AG=5,BG=3,過點〃作HN1MG于點N,

求出而，再證HF=2OF,根據(jù)=3OF=J而可得結論.

(1)

如圖L,點。，點E分別是半徑O4OB的中點

:.OD=?OA,OE=-0B

2'2

:OA=OB,

:.OD=OE

,.NBOC=2NCHB,Z.AOC2NCHB

.\ZAOC=NBOC

:OC=OC

△COD=ACOE,

Z.CDO=Z.CEO-,

(2)

如圖2.:CD1OA,

:.NCDO=90°

由(1)得/CEO=NCDO=9,

.-.sinZOCE

OC2

二.NOCE=3優(yōu)，

..NCOE=900-NOCE=60°

:NH=LNBOC=-x600=30

22

:.ZH=ZECO,

:.FC=FH

(3)

如圖3.:CO=OH,FC=FH

:.OF1CH

:.ZFOH=90°

由3

連接AH..ZAOC=ZBOC=60°

:.ZAOH=ZBOH=720°,

：.AH=BH,ZAGH=60°

/AG:BG=5:3

設AG=5x,

/.BG=3x

在AG上取點使得AM=BG,連接MH

:ZHAM=NHBG,

.\AHAM=AHBG

..MH=GH,

「.△MHG為等邊三角形

:.MG=HG=2

:AG=AM+MG,

5x=3x+2

x=7,

AG=5

二.BG=AM=3,

過點"作HN1MG于點N

MN=-GM=-x2=7,HN=HG-s'\n600=73

22'

:.AN=MN+AM=4,

HBHA='INA2+HN2=VTp

NFOH=90。,NOHF=30。,

:.ZOFH=60°

\OB=OH,

:.ZBHO=NOBH=30°,

:.ZFOB=ZOBF=30°

:.OF=BF,

在RtaOFH中，NOHF=30。,

:.HF=2OF

HB=BF+HF=3OF=d為，

為

CL=丁J

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形等知識，正確作出輔助線構造全等三角形是

解答本題的關鍵.

【例4】(2022?黑龍江綏化?中考真題)如圖所示，在。O的內(nèi)接aAMN中，NMAN=90°,

AM=2AN,作AB1MN于點P,交。。于另一點反C是第M上的一個動點(不與4

“重合)，射線MC交線段BA的延長線于點。，分別連接AC和BC,BC交MN于息E.

⑴求證：ACMACBD.

(2)若MN=10,MC=NC,求BC的長.

(3)在點C運動過程中，當tanNMDB=J時，求翌的值.

4L!,

【答案】⑴證明見解析

⑵W方

(3)|

【分析】(1)利用圓周角定理得到再利用兩角分別相等即可證明相似；

(2)連接。C,先證明是直徑，再求出/P和NP的長，接著證明△COE?△BPE,

利用相似三角形的性質(zhì)求出?！旰蚉E,再利用勾股定理求解即可；

(3)先過C點作CGLMN,垂足為G,連接CN,設出GM=3x,CG=4x,再利用三

角函數(shù)和勾股定理分別表示出PB和PG,最后利用相似三角形的性質(zhì)表示出EG,然后表示

出近和NE,算出比值即可.

(1)

解：-：ABLMN,

：.^APM=90°,

：.^D+^DMP=90°,

又,：乙DMP+LNAC=180°,LMAN=90°,

^DMP+ACAM=9Q°,

：.ACAM=AD,

■：ACMA=AABC,

CMA-△CBD.

(2)

連接OC

■：AMAN=9?！?

，兒W是直徑，

-：MN=W,

：.OM=ON=OC=5,

■：AM^2AN,且AM?+AN2=MN2,

:.AN=R三，AM=W5,

'''SAAMNTAM-AN^MN,AP,

:.AP=4,

:.BP=AP=4,

NP=々AN2—AP2=2,

:.OP=5-2=3,

:MC=NC,

:.OC_LMNf

/.ZCOE=90°,

?：ABLMN,

/./BPE=90。,

：.ABPE=ACOE,

又：乙BEP=(CEO,

/.△COE-△BPE

,CO_OE_CE_

''BP-PE-BE,

即f=￡￡=￡￡

14PEBE

由OE+PE=OP=3,

:.OE=-,PE=-,

3'3'

:.CE=^/OC2+OE2=弋52+02=^~ib,

BE='JBP2+PE2=742+職=,力，

BCUld+-^10=3^~10.

33

過。點作CGLAW,垂足為G,連接CN,貝（J/CGM=90。,

：.ACMG+AGCM=9Q°,

.「MN是直徑，

.\Z_MCN=90°,

：.￡CNM+￡DMP=90°,

'：AD+^DMP=90°,

AD=ACNM=Z.GCM,

XanXMDB=1,

/.tanZCNM-tanZGCM=1,

GM

/tanZGCM~CG

一.設GAI=3x,CG=4x,

:.CM=5x,

，

CN=—3，,3N，G=—,

NTR萬25x

:.NM=—,

:.OM=ON6,

'：AM=2AN,且AM2+AN2=_WN2,

AAT5V5,,ial~5

二.AN=—x,A4M=----x,

33

.?T△AMN-AN=(MN?AP,

：.AP=yX=PB,

:.NP=±x,

3

：n-16511

.PG=—3X--3X=—3X,'

/CGE=ABPE=9G。,Z_CEG=ABEP,

/.△CGE—ABPEf

.CG_GE_CE

'*BP-PE一病’

an4xGECE

即弟=左=前

:.GE=2x,PE=%x

:.ME=5x,NE=—,

:.ME：NE=3:2,

【點睛】本題考查了圓的相關知識、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識,

涉及到了動點問題，解題關鍵是構造相似三角形，正確表示出各線段并找出它們的關系，本

題綜合性較強，屬于壓軸題.

滿分訓練.

一、解答題【共20題】

1.(2022?內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古?中考真題)如圖，是△ABC的外接圓，EF與。。相切于點

EF||BC分別交AB.AC的延長線于點E和￡連接AD交BC于點N,NABC的平分線

BM■交AD于點M.

(1)求證：AD平分NBAC；

(2)若AB：BE=5:2,AD=E求線段DM的長.

【答案】(1)見解析

(2)DM=2

【分析】(1)連接。。根據(jù)切線的性質(zhì)得。。，斯，由EFIIBC得ODL8C,由垂徑定

理得垸>=*>,進而即可得出結論；

(2)由平行線分線段定理得。N=率，再證明aBON?△ADB,可得BD=2,最后

證明NBA!。進而即可求解.

(1)

證明：連接。。交BC于點”

?「E尸與。O相切于點。

:.OD1EF,

..NODF=90°,

:BC||EF,

..NOHC=ZODF=90°,

:.OD1BC,

:.BD=CD,

:.ZBAD=ZCAD即AD平分NBA。；

(2)

解：???BCIIEF,

.BE_ND

''~AE-AD,

:AB.BE=5:2,AD=714,

:.DN呼

■.ZBAD=ACAD,ACAD=ZCBD,

..NBA。=NCBD,

??BM平分NABC,

..ZABM=NCBM,

..ABAD-/-ZABM=NCBD+NCBM,

..ZBMD=NMBD,

:.BD=DM,

.NNBD=NBAD,ZBDM=ZADB,

，△BDNADB,

.ND__DB_

,,"BK~~AD

:.BD2ND-AD=—xV74-4,

7，

■■-BD=2(負值舍去)，

:.DM=BD=2

【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線

段成比例定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)；找出相似三角形，列相似比求解是解決本題的關

鍵.

2.(2022?湖北黃石?中考真題)如圖CD是G)O直徑，/是。O上異于C,。的一點，點2

是DC延長線上一點，連接AB、AC,AD,且NBAC=NADB.

(1)求證：直線AB是OO的切線;

(2)若BC=2OC,求tanNADB的值；

(3)在(2)的條件下，作NCAD的平分線AP交OO于尸，交CO于E,連接PC、PD,若

AB=RX,求AE-AP的值.

【答案】(1)見解析

若

(3)W?

【分析】(1)如圖所示，連接CU,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到NOAC+NOAD=

909,再證明NOAD=NBAC即可證明結論；

(2)先證明△BCA-△_54。,得到第=襄,令半徑。。=04=r，則BC=2r,OB=

ADIJA.

3r,利用勾股定理求出AB=R5r,解直角三角形即可答案；

(3)先求出CD=R5,在由△CAD中，器=當，AC2+AD2^CD2,解得AC=2,

AD=R2證明△CAP~Z\EAD,得到空=41，則AE?AP=AC?AD=4^2

AnAU

(1)

解：如圖所示，連接04,

.CD是0O直徑，

:.NCAD=90°,

:.ZOAC+ZOAD=90

又.OA=OD,

:.ZOAD=ZODA,

:ZBAC=NADB,

:.ZOADABAC,

ABAC+NOAC=90°,即NBAO=90°,

:.AB1OA,

又rOA為半徑，

直線AB是OO的切線；

(2)

解：:ABAC=ZADB,ZB=ZB,

BCABAD,

,AC_BC

''~AD~BA'

由BC=2O。知，令半徑OC=OA=r,則BC=2r,OB=3r,

在RtzXBAO中，AB=^/OB2-OA2-W2r,

在RtaCAD中，tanNADC=^=|^=^=［，

(3)

解：在(2)的條件下，AB=RZ=磊,

:.r-Vj,

:.CD=R3,

在RtaCAD中，器=1，AC2+AD2=CD2,

解得AC—2,AD=k!2,

?.AP平分NCAD,

:.ZCAP=ZEAD,

又：NAPC=NADE,

CAP-△EAD,

,AC__AP

''-AE~~AD'

:.AE-APAC-AD=2xR5=W2

【點睛】本題主要考查了圓切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判

定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等等，熟知相關知識是解題的關鍵.

3.（2022?湖北襄陽?中考真題）如圖，4B是半圓。的直徑，點C在半圓。上，點。為BC

的中點，連接NC,BC,AD,4D與8C相交于點G,過點。作直線?！陓|8C,交NC的延長

線于點E.

E

D

A

(1)求證：OE是。。的切線;

(2)若AC=B。，CG=2”,求陰影部分的面積.

【答案】⑴見解析

(2哼

【分析】(1)連接。。根據(jù)已知條件，由ODLBC,DE^BC,證明ODLOE即可；

(2)根據(jù)￡c=BD相等，再由(1)中CD=心可得，AC=CD=BD,從而得到

ZCAD=ZBAD=ZABC=30°,在比4406中，利用銳角三角函數(shù)求出/C、/G的長，從而

求出△C4G的面積，在瓦△48。中利用銳角三角函數(shù)求出4D的長，根據(jù)。川山?？傻?/p>

△ACGS^AED,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出S^EAD=爭，進而即

可陰影部分的面積.

(1)

證明：連接如圖所示，

?.?點。為BC的中點,

J.ODLBC

\DEWBC,

s.ODLDE.

.???！晔?。。的切線.

(2)

連接如圖所示,

E

cD

AOB

AC=BD

:.BD=AC

???點。為品的中點,

..CD=BD,

:.AC=CD=BD,

ACAD=ABAD=30°.

■.AB是半圓0的直徑，

N4CB=/ADB=9。。,

在&ZUCG中，tanNCAD=雪,sinNCAD=案，

:.CA=-^-,AG,

tan5^7°sin300,

:CG=R3,

:.CA=RJXV5=6,AG=4>l~3,

.,.BD=CA=6,

=

AACC~CG,AC=6、3,

△zic(J2

Dr\

在放△48。中，tanNBA。=等，

AD~—=1=6d3.

tan3療V5

~3

:DE〃BC,

.?.△CAGS^EAD,

.5ACAG_/AG)2

??郎；=樂)’

即=￡,

SAEAD9,

.Q_2R3

-,0AEAD

-C—C_C一

.陰影部分一^AEAD^AACG

【點睛】本題主要考查了切線的判定定理、垂徑定理、圓周角定理以及相似三角形的性質(zhì),

解直角三角形，掌握以上知識是解題的關鍵.

4.(2022?遼寧鞍山?中考真題)如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為。O的直徑，點E

為。。上一點，EFIIAC交AB的延長線于點尸，CE與AB交于點D,連接BE,若NBCE=

,ABC.

(1)求證：EF是。。的切線.

(2)若BF=2,sinZBEC求。O的半徑.

O

【答案】(1)過程見解析

(2)3

【分析】⑴連接。瓦先根據(jù)圓周角定理及已知條件得出NZ8C=NBO瓦進而得出OE||BC,

再由EF||CA,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NF￡O=NZCS,然后根據(jù)直徑所對的是直角，即可

得出答案；

(2)先說明△FEO?△ACB,再設oO的半徑為八并表示FO,AB,BC,然后根據(jù)

對應邊成比例得出黑=籌，根據(jù)比例式求出半徑即可.

nCAn

(1)

證明：連接OE

/ABC=/BOE,

:.OE||BC,

：.AOED=￡BCD.

:EF||CA,

：.AFEC=AACE,

,"OED+/FEC=/BCD+/ACE,

即/斤￡O=N4C8.

■.AB是直徑，

Z^CB=90°,

J/FEO=90°,

:.FE1EO.

TE。是O。的半徑，

；.EF是。。的切線.

(2)

:EF||AC,

，△FEO-AACB.

:BF=2,sinZBEC=4

5

設。。的半徑為r,

:.FO=2+r,AB=2r,BC=%

5

.,EO_FO_

'BC~'ABf

.r_2+r

解得r=3,

二。O的半徑是3.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，解直角三角形，熟練掌握相關定理是解題的關

鍵.

5.(2022?遼寧朝陽?中考真題)如圖，/C是。。的直徑，弦BD交AC于點、E,點、F為BD

延長線上一點，ADAF=AB.

(1)求證：/尸是。。的切線；

(2)若。。的半徑為5,4D是的中線，且40=6,求/￡的長.

【答案】(1)見解析

(2《

卜分析】(1)由圓周角定理得//。。=90。，則//(券+/。/。=90。，從而說明OA_LAF,

即可證明結論；

(2)作DH_LAC于點”利用兼=器，求出N"的長，再利用直角

三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出AD=DE,利用等腰三角形的性質(zhì)可得答案.

(1)

證明：是直徑，

ZADC=90°,

AACD+/LDAC=90°,

■：AACD=AB,AB=^DAF,

：.￡DAF=￡ACD,

：./DAF+/n4c=90°,

:.OA1AF,

??,/c是直徑，

..//是。。的切線；

(2)

解：作DH_LAC于點”，

■.■QO的半徑為5,

:.AC=W,

-：NAHD=NADC=9Q。,ADAH=￡CAD,

：./\ADH-AACD,

.AD__AH

''AC~~ADf

:.AD2=AH-AC,

\AD=6,

:.AH=-=^,

105'

,二4。是環(huán)的中線，/EAF=90。,

：.AD=ED,

AE=2AH=當.

5

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三

角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出的長是解題的關鍵.

6.(2022?山東荷澤?中考真題)如圖，在△ABC中，以N3為直徑作。。交/C、2C于點D、

E,且。是NC的中點，過點。作DG，BC于點G,交加的延長線于點4

(1)求證：直線”G是OO的切線；

(2)若HA=3cosB求CG的長.

O

【答案】(1)見解析

(2千

【分析】⑴連接。。利用三角形中位線的定義和性質(zhì)可得ODIIBC,再利用平行線的性

質(zhì)即可證明；

(2)先通過平行線的性質(zhì)得出NHBG=NHOD,設。。=OA=OB=r,再通過解

直角三角形求出半徑長度，再利用三角形中位線定理和相似三角形的判定和性質(zhì)分別求出

BC,BG的長度，即可求解.

(1)

連接

DG1BC,

NBGH=90

1,。是ZC的中點，AB為直徑,

ODWBC,

,-,NBGH=NODH=90°,

??.直線"G是。。的切線;

（2）

由（1）得ODIIBC,

:.NHBG=NHOD,

O

vcosZHBG=-

5

???cosNHO。=《

o

設OD=OA=OB=r,

VHA=3,

.e*OH=3+r,

在HtaHOO中，ZHDO=90°,

???cosNHOD=^7=~^—=：

OH3+r5

解得r=2,

:.OD=OA=OB=ZOH=5,BH=7,

???。是4。的中點，45為直徑，

ABC=20D=4,

???NBGH=NODH=90°,

/.△ODH?△BGH,

—=—即￡==1

BHBG''7BG'

BGW

CG=BC—BG=4=3

一5=o

【點睛】本題考查了切線的判定，三角形中位線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

7.（2022?貴州黔西?中考真題）如圖，在△ABC中，AB-AC,以為直徑作OO,分

別交8。于點。交NC于點￡,DH1AC,垂足為連接?！瓴⒀娱L交歷1的延長線于

點F

⑴求證：oa是。。的切線;

⑵若E為/〃的中點，求篙的值.

rL)

【答案】⑴見解析

【分析】(1)連接。。，證明OD||AC,由DHLAC,可得DH_L。。，即可證明結論;

(2)連接/。和8￡,由圓周角定理可以得出NADB=NAEB=9。。,可以得出DH||BE,

OD\\AC,進而根據(jù)平行線分線段成比例推出BD=CD,CH=HE,根據(jù)￡為的中點，

可得出/￡=￡〃=caAE=<AC,根據(jù)OO〃AC且OD=《AC,可以得出△FAE

FOD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到篙=黑，將第。。代人即可求出答案.

rL)UJJ

(1)

連接OD,則OD=OB.

:.ZODB=NABC.

:AB=AC,

:.ZABC=Z.C.

:.ZODB=Z.C.

:.OD||AC.

:.ZDHC=NHDO.

:DH1AC,

:.ZDHC=ZHDO=90

:.DH1OD.

二?！笔?。。的切線.

(2)

連接AD和BE.

r/B是。。的直徑,

\OA=OB,ZADB=ZAEB=90°.

:OD||AC

OBBD_

?EF=7

:.CD=BD.

.?.0。44。且0。="。.

:OD||AE,

:.AAEF=AODF.

「NF=NF,

；△FAE-△FOD.

.FE__AE_

,?麗~'OD'

:Z.DHA=Z.BEA=90°

:.DH||BE

CHCD.

二證=說=7

:.CH=HE.

?「E為⑷/的中點,

.'.AE=EH=CH.

.'.AE=-3AC

,FE__AE_幺。_2

''FD~~~OD^AC

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定律，平行線分線段成比例，三角形相似的

判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是本題解題的關鍵.

8.（2022?貴州安順?中考真題）如圖，AB是。O的直徑，點E是劣弧BD上一點，ZPAD=

ZAED,且DE=T/2AE平分NBA。，AE與BD交于點F.

⑴求證：PA是。0的切線;

(2)若tanNDAE=1，求EF的長;

(3)延長DE,AB交于點C,若OB=BC,求OO的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)1

(3)2

【分析】(1)根據(jù)AB是。O的直徑，可得NADB=9〃，即/DAB+NDBA=90,根

據(jù)同弧所對的圓周角相等，以及已知條件可得NPAD=0ABD,等量代換后即可得

ZPAB=90°,進而得證；

(2)連接OE,EB,根據(jù)角平分線的定義，以及等邊對等角可得ADIIOE,根據(jù)同弧所對

的圓周角相等可得NDAE=NDBE,由垂徑定理可得DE=EB=42進而可得

tanZEBF=手，即可求解.

(3)過點B作BGIIAD,根據(jù)平行線分線段成比例，求得DG=R2設。。的半徑為X,

則GB=：OE=黃，證明△CGB必CDA,可得AD=次在Rt△ADB中，AD2+

DB2=AB2,勾股定理建立方程，解方程即可求解.

(1)

證明：是。O的直徑，

.-.ZADB=90°,

：.ZDAB+ZDBA=90°,

vAD—AD,

Z.AED=XABD,

???ZPAD=NAED,

??.Z.PAD=Z.ABD,

???ZBAD+/PAD=ABAD-bZABD=90°f

即NPAB=90。，

??.PA是。。的切線，

⑵

如圖，連接OE,EB,

???AE平分NBAD,

:.Z.DAE=XBAEf

：.DE=BE=2

.\OE1BD

???OA=OE,

:.Z.OEA=Z.OAE,

??.XDAE=Z.AEO,

??.AD\\OE,

■:AB是。O的直徑，

???AD1DB,AE1EB,

即方=/8Eb=90。，

???DE=DE

ZDAE=NDBE,

tanZEBF=tanZDAE=—,

2，

EF_<2_

~EB一_7，

-EF=—EB=7；

(3)

如圖，過點B作BGIIAD,

由(2)可知ADIIOE,

??.OE\\BGf

AO=OB=BC,

??.DE=EG=GC,

設oo的半徑為X,則GB=TOE=(X,

AD\\BG,

CGBCDA,

.CG_GB_

??~CD~~ADf

Q

??AD=3GB='-x,

2，

???OE1DB,

???DB1GB,

DE=T2

DG=2DE=R2

在RtaDBG中，DB2=DG2-GB2=8-(jx)2,

在RtaADB中，AD2+DB2=AB2,

即?X)2+8-CX)2=(2X)2,

解得：x=2(負值舍去)，

??.O。的半徑為2.

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理的推論，平行線分線段成比例，相似三角形的

性質(zhì)與判定，解直角三角形，綜合運用以上知識是解題的關鍵.

9.(2022?山東棗莊?中考真題)如圖，在半徑為10c〃?的O。中，是。。的直徑，C￡＞是

過。O上一點C的直線，且ADLDC于點平分/84D,點E是BC的中點，=6cm.

⑴求證：CD是。。的切線;

(2)求ND的長.

【答案】(1)見解析

(2)AD

5

【分析】(1)連接oc,由NC平分/B4D,OA=OC,可得/ZX4C=/OC4,AD\\OC,根

據(jù)4DLOC,即可證明CD是。。的切線；

(2)由OE是A/BC的中位線，得/C=12,再證明AD4cs△C48,第=若，即爺=今,

ACAn/Zzu

從而得到AD=^.

o

(1)證明：連接。C,如圖:■.ADAC=

ACAO,：OA=OC,：.ACAO=AOCA,:"DAC=NOCA,：.AD\\OC,：AD1_DC,

-.COLDC,是。。的半徑，二CD是。。的切線;

(2)解：rE是8c的中點，且。4=08,是△N3C的中位線，AC=2OE,:OE=6,

：.AC=12,,.ZB是OO的直徑，：.AACB=90°=^ADC,又"AC=4CAB,

A――人ADAC口口AD12f36

.-.ADAC^ACAB,即方=)—=》

【點睛】本題考查圓的切線的判定定理，相似三角形的判定及性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟

練應用圓的相關性質(zhì)，轉化圓中的角和線段.

10.(2022?山東濟寧?中考真題)如圖，在矩形4BCD中，以48的中點。為圓心，以。/

為半徑作半圓，連接交半圓于點及在觥上取點尸，使曜=叁，連接DF.

(1)求證：與半圓相切；

(2)如果48=10,BF=6,求矩形48CD的面積.

【答案】(1)見解析

陪

【分析】(1)連接。尸，證明△DAOmZ\DFOfSAS),可得/DAO=NDFO,根據(jù)矩

形的性質(zhì)可得NDAO=9(T,進而即可得證；

(2)連接AF,根據(jù)題意證明△AO。?△尸BA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得DO,進而

勾股定理A。，根據(jù)矩形的面積公式即可求解.

(1)

證明：連接。尸.

VAE^EF,

Z.DOA=NFOD.

???AO=FO,DO=DO,

??.△DAO=△DFOfSASJ

??.ADAO=NDFO.

???四邊形ABC。是矩形，

??.ZDAO=9(T

ZDFO=9(T.

廠與半圓相切.

解：連接AF,

VAO=FO,ADOA=ZDOF,

???DO1AF,

???AB為半圓的直徑，

??.NAFB=9(T,

???BF1AF,

DO||BF.Z.AOD=Z.ABF.

vZOAD=NAFB=9(Ty

AODFBA

.AO__DO

**BF~~ABf

.56_DO

10，

??.DO

3，

在Ht4AoD中，AD=、DO2-AO2=?審-52=與

矩形ABCD的面積為與x10=掌

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)，掌握

以上知識是解題的關鍵.

11.(2022?青海西寧?中考真題)如圖，在中，NC=90。，點。在N3上，以

3D為直徑的＜30與/C相切于點E,交3。于點￡連接。fOE交于點M.

(1)求證：四邊形EMFC是矩形；

(2)若AEOO的半徑為2,求比0的長.

【答案】(1)詳見解析

(2毋

【分析】(1)利用直徑所對的圓周角是直角及鄰補角互補，可求出NCFD=9〃，由。O

與NC相切于點￡,利用圓的切線垂直于過切點的半徑可得出OE_LAC,進而可得出

Z.OEC^Z.AEO^9(T,結合再利用三個角都是直角的四邊形是矩形，即可證出四邊形

EMFC是矩形.

(2)在Rt△AOE中，利用勾股定理可求出OA的長，進而可得出AB的長，由

NAEO=NC=90°,利用“同位角相等，兩直線平行”可得出OE〃BC,進而可得出

△AEO-AACB利用相似三角形的性質(zhì)可求出AC的長，結合CE=AC-AE,可

求出CE的長，再利用矩形的對邊相等，即可求出FM的長.

(1)

.AD是OO的直徑，

:.ZBFD=9。。，

:.NCFD=90°,

二。0與NC相切于點及

:.OE1AC,

:.ZOEC=NAEO=90°,

又；.NC=90°,

--.ZC=/CFD=NOEC=90°,

，四邊形EMFC是矩形.

(2)

解：在Ht△AOE中NAEO=9療AE=J三OE=OB=2,

:.OA2AE2+OE2,

:.OA=>/AE2+OE2=、H32+22=3,

AB=OA+OB=3+2=5,

:.ZAEO=NC=90。，

..OE//BC,

△AEO—△ACBt

AE_AO??V?_3

~AC一AB"即就一?

..AC=等,

:.CE^AC-AE=也一/=當

33

.?.四邊形囪"C是矩形，

R石

:.FM=CE=—.

3

【點睛】本題考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的

判定與性質(zhì)，解題的關鍵是：（I）根據(jù)各角之間的關系，找出四邊形麗c的三個角均為

直角.（2）利用勾股定理及相似三角形的性質(zhì)，求出ZC的長度.

12.（2022?遼寧大連?中考真題）是G）O的直徑，C是。。上一點，ODJ.BC,垂足為

D,過點/作0。的切線，與DO的延長線相交于點E.

⑴如圖1,求證NB=NE；

（2）如圖2,連接AD,若。。的半徑為2,OE=3,求AD的長.

【答案】（1）見解析

Q拜

【分析】(1)證明NODE=NOAE=90。，ZDOB=ZAOE,即可得出NB=NE；

(2)證明AODB?AOAE,求出。D,由勾股定理求出。民由垂徑定理求出2C,進而

利用勾股定理求出/C,AD.

(1)

解：OD1BC,

:.NODB=90。，

AE是。。的切線，

:.Z.OAE=90。，

在AODB和AOAE中，ZODB=ZOAE=90°,NDOB=NAOE,

NB=NE；

(2)

解：如圖，連接/C.

???O。的半徑為2,

OA=OB=2,AB=4,

???在AODB和AOAE中，

NODB=NOAE=90°,NDOB=NAOE,

:.AODB?AOAE,

ODOBOD2

---=----即-a-n-----

OAOE'123'

■-OD=:

在RtAODB中，由勾股定理得：OD?+DB2=OB2,

:.DB=>/OB2-OD2=Y22_(乎=除

■：OD1BC,OD經(jīng)過OO的圓心,

:.CD=DB=半

3，

:.BC=2DB=號.

?「AB是。。的直徑，C是。。上一點，

:.ZACB=90°,

在RtAACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

：.AC='JAB2-BC2=^42-（—）2=-.

在RtAACD中，由勾股定理得：AC2+CD2AD2,

:.AD=、AC2+CD2=%2+（季）2=咚

【點睛】本題考查切線的定義、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性

質(zhì)等，綜合性較強，熟練掌握上述知識點，通過證明AODB?AOAE求出OD的長度是

解題的關鍵.

13.（2022?青海?中考真題）如圖，48是。。的直徑，NC是。O的弦，4D平分NC42交。O

于點。，過點。作O。的切線斯，交43的延長線于點E,交的延長線于點F

（1）求證：AF1EF-,

（2）若CF=7,AC=2,AB=4,求BE的長.

【答案】（1）見解析

⑵2

【分析】（1）連接O。，根據(jù)AD平分NCAB,可得NCAD=ZOAD,從而得到NCAD=

ZODA,可得ODIIAF,再由切線的性質(zhì)，即可求解；

（2）由△ODE可得=OD;AF,設BE為x,可得OE=OB+

BE=2+x,即可求解.

（1）

證明：連接OD,

F.

「A。平分NCAB,

:.ACAD=ZOAD,

:OA=OD,

:.ZOAD=ZODA,

..ACAD=ZODA,

:.OD||AF,

?「EF為OO的切線，

:.OD1EFf

:.AF1EF.

（2）

解：由（1）得：OD\\AF,

，△ODE?匕AFE,

\AC=2,CF=7,

AF=3,

:AB=4,

:.OD=2,OB=2,

:.OE:AE=OD:AF,

設BE為x,

:.OE=OB+BE=2+x,

.2+x_2

''4+x~'3'

解得：x=2,

即BE的長為2.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)，相

似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

14.（2022?廣西柳州?中考真題）如圖，已知4g是OO的直徑，點￡是。。上異于8的

點，點尸是EB的中點，連接AF,BF,過點尸作尸交/￡的延長線于點C,交

的延長線于點，N/OC的平分線。G交/廠于點G,交FB于點、H.

⑴求證：CD是OO的切線；

(2)求sinZF/fG的值；

(3)若GH=W2HB=2,求00的直徑.

【答案】⑴見解析

(3)00的直徑為6y/~5

【分析】(1)連接?！晗茸C明。niNC,則/。網(wǎng)＞=NC=90°,根據(jù)切線的判定定理可得

出結論.

(2)先證NDFB=NO”,AADG=AFDG,根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩

個內(nèi)角之和得出/尸GH=AFHG=45°,從而可求出sin/FHG的值.

(3)先在△GF”中求出FH的值為4,根據(jù)等積法可得益=篇=2,再證凡

L)DriD

根據(jù)對應邊成比例可得盥=需=2,又由