高中數(shù)學(xué)人教A版選修23講義第一章11第二課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

eq\a\vs4\al(分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理)其次課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用選(抽)取與安排問題[典例]某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？[解]由題意9人中既會英語又會日語的“多面手〞有1人．那么可分三類：第一類：“多面手〞去參與英語時，選出只會日語的一人即可，有2種選法．其次類：“多面手〞去參與日語時，選出只會英語的一人即可，有6種選法．第三類：“多面手〞既不參與英語又不參與日語，那么需從只會日語和只會英語中各選一人，有2×6＝12種方法．故共有2＋6＋12＝20種選法．選(抽)取與安排問題的常見類型及其解法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．一般地，假設(shè)抽取是有挨次的就按分步進行；假設(shè)按對象特征抽取的，那么按分類進行．②間接法：去掉限制條件計算全部的抽取方法數(shù)，然后減去全部不符合條件的抽取方法數(shù)即可．[活學(xué)活用]1．有4位老師在同一班級的4個班級中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，那么支配監(jiān)考的方法種數(shù)是()A．11 B．10C．9 D．8解析：選C法一：設(shè)四個班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設(shè)a監(jiān)考的是B，那么剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當(dāng)a監(jiān)考C，D時，剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級也各有3種不同的方法．這樣，由分類加法計數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9種不同的支配方法．法二：讓a先選，可從B，C，D中選一個，即有3種選法．假設(shè)選的是B，那么b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9種不同支配方法．2．從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，假設(shè)其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，那么選派方案共有()A．280種 B．240種C．180種 D．96種解析：選B由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法．后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240種選派方案．用計數(shù)原理解決組數(shù)問題[典例]用0,1,2,3,4五個數(shù)字，(1)可以排出多少個三位數(shù)字的號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？[解](1)三位數(shù)字的號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125種．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，其次、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100種．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，那么有4×3＝12種排法；一類是末位數(shù)字不是0，那么末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18種排法．因而有12＋18＝30種排法，即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．組數(shù)問題的常見類型及解決原那么(1)常見的組數(shù)問題①組成的數(shù)為“奇數(shù)〞“偶數(shù)〞“被某數(shù)整除的數(shù)〞；②在某肯定范圍內(nèi)的數(shù)的問題；③各位數(shù)字和為某肯定值問題；④各位數(shù)字之間滿意某種關(guān)系問題等．(2)解決原那么①明確特別位置或特別數(shù)字，是我們采納“分類〞還是“分步〞的關(guān)鍵．一般按特別位置(末位或首位)由誰占據(jù)分類，分類中再按特別位置(或特別元素)優(yōu)先的策略分步完成；假如正面分類較多，可采納間接法求解．②要留意數(shù)字“0〞不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位．[活學(xué)活用]1．從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6解析：選B由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種狀況：奇偶奇，偶奇奇．假如是第一種奇偶奇的狀況，可以從個位開頭分析(3種狀況)，之后十位(2種狀況)，最終百位(2種狀況)，共12種；假如是其次種狀況偶奇奇：個位(3種狀況)，十位(2種狀況)，百位(不能是0，一種狀況)，共6種．因此總共有12＋6＝18種狀況．2．用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的：(1)銀行存折的四位密碼；(2)比2000大的4位偶數(shù)．解：(1)分步解決．第一步：選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有6種選取方法；其次步：選取左邊其次個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第三步：選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第四步：選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有3種選取方法．由分步乘法計數(shù)原理知，可組成不同的四位密碼共有6×5×4×3＝360(個)．(2)法一：按個位是0,2,4分為三類：第一類：個位是0的有4×4×3＝48(個)；其次類：個位是2的有3×4×3＝36(個)；第三類：個位是4的有3×4×3＝36(個)；那么由分類加法計數(shù)原理得比2000大的4位偶數(shù)有N＝48＋36＋36＝120(個)．法二：按千位是2,3,4,5分四類：第一類：千位是2的有2×4×3＝24(個)；其次類：千位是3的有3×4×3＝36(個)；第三類：千位是4的有2×4×3＝24(個)；第四類：千位是5的有3×4×3＝36(個)．那么由分類加法計數(shù)原理得比2000大的4位偶數(shù)有N＝24＋36＋24＋36＝120(個)．法三：間接法：用0,1,2,3,4,5可以組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)分兩類：第一類：個數(shù)是0的有5×4×3＝60(個)；其次類：個數(shù)是2或4的有2×4×4×3＝96(個)．共有60＋96＝156(個)．其中比2000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(個)，所以符合條件的四位偶數(shù)共有156－36＝120(個).用計數(shù)原理解決涂色(種植)問題[典例]如下圖，要給“優(yōu)〞、“化〞、“指〞、“導(dǎo)〞四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用屢次，但相鄰區(qū)域必需涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？[解]優(yōu)、化、指、導(dǎo)四個區(qū)域依次涂色，分四步．第1步，涂“優(yōu)〞區(qū)域，有3種選擇．第2步，涂“化〞區(qū)域，有2種選擇．第3步，涂“指〞區(qū)域，由于它與“優(yōu)〞、“化〞區(qū)域顏色不同，有1種選擇．第4步，涂“導(dǎo)〞區(qū)域，由于它與“化〞“指〞區(qū)域顏色不同，有1種選擇．所以依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(種)．求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；(2)以顏色(種植作物)為主分類爭論，適用于“區(qū)域、點、線段〞問題，用分類加法計數(shù)原理分析；(3)對于涂色(立方體)問題將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題．[活學(xué)活用]如下圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有四種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，那么不同的種法種數(shù)為()A．96 B．84C．60 D．48解析：選B依次種A，B，C，D4塊，當(dāng)C與A種同一種花時，有4×3×1×3＝36種種法；當(dāng)C與A所種的花不同時，有4×3×2×2＝48種種法．由分類加法計數(shù)原理知，不同的種法種數(shù)為36＋48＝84.層級一學(xué)業(yè)水平達標1.由數(shù)字1,2,3組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為()A．15 B．12C．10 D．5解析：選D分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個；其次類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個；第三類組成3位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個．由分類加法計數(shù)原理知共有偶數(shù)5個．2．三人踢毽子，相互傳遞，每人每次只能踢一下．由甲開頭踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，那么不同的傳遞方式共有()A．4種 B．5種C．6種 D．12種解析：選C假設(shè)甲先傳給乙，那么有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有6種不同的傳法．3．假設(shè)三角形的三邊長均為正整數(shù)，其中一邊長為4，另外兩邊長分別為b，c，且滿意b≤4≤c，那么這樣的三角形有()A．10個 B．14個C．15個 D．21個解析：選A當(dāng)b＝1時，c＝4；當(dāng)b＝2時，c＝4,5；當(dāng)b＝3時，c＝4,5,6；當(dāng)b＝4時，c＝4,5,6,7.故共有10個這樣的三角形．4．集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，那么在直角坐標系中，第一、二象限不同點的個數(shù)為()A．18 B．16C．14 D．10解析：選C分兩類：一是以集合M中的元素為橫坐標，以集合N中的元素為縱坐標有3×2＝6個不同的點，二是以集合N中的元素為橫坐標，以集合M中的元素為縱坐標有4×2＝8個不同的點，故由分類加法計數(shù)原理得共有6＋8＝14個不同的點．5.有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，那么不同的涂色方法共有()A．4320種 B．2880種C．1440種 D．720種解析：選A第1個區(qū)域有6種不同的涂色方法，第2個區(qū)域有5種不同的涂色方法，第3個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第4個區(qū)域有3種不同的涂色方法，第5個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第6個區(qū)域有3種不同的涂色方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×5×4×3×4×3＝4320種不同的涂色方法．6.如下圖為一電路圖，那么從A到B共有________條不同的單支線路可通電．解析：按上、中、下三條線路可分為三類：上線路中有3條，中線路中有1條，下線路中有2×2＝4(條)．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3＋1＋4＝8(條)．答案：87．古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬〞和地支的“子、寅、辰、午、申、戌〞相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸〞和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥〞相配，共可配成______組．解析：分兩類：第一類，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬〞和地支的“子、寅、辰、午、申、戌〞相配，那么有5×6＝30組不同的結(jié)果；同理，其次類也有30組不同的結(jié)果，共可得到30＋30＝60組．答案：608．4名同學(xué)分別報名參與學(xué)校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，那么不同的報法有______種．解析：由于每個同學(xué)報哪個運動隊沒有限制，因此，每個同學(xué)都有3種報名方法，4個同學(xué)全部選完，才算完成這件事，故共有3×3×3×3＝81種不同的報法．答案：819．一個口袋內(nèi)裝有5個小球，另一個口袋內(nèi)裝有4個小球，全部這些小球的顏色互不相同．(1)從兩個口袋內(nèi)任取1個小球，有多少種不同的取法？(2)從兩個口袋內(nèi)各取1個小球，有多少種不同的取法？解：(1)從兩個口袋內(nèi)任取1個小球，有兩類方案：第一類，從第一個口袋內(nèi)任取1個小球，有5種方法；其次類，從其次個口袋內(nèi)任取1個小球，有4種方法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法的種數(shù)是5＋4＝9.(2)從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，可以分成兩個步驟來完成：第一步，從第一個口袋內(nèi)任取1個小球，有5種方法；其次步，從其次個口袋內(nèi)任取1個小球，有4種方法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，不同取法的種數(shù)是5×4＝20.10．假設(shè)直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0,1,2,3,5這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，那么方程所表示的不同直線共有多少條？解：分兩類完成．第1類，當(dāng)A或B中有一個為0時，表示的直線為x＝0或y＝0，共2條．第2類，當(dāng)A，B不為0時，直線Ax＋By＝0被確定需分兩步完成．第1步，確定A的值，有4種不同的方法；第2步，確定B的值，有3種不同的方法．由分步乘法計數(shù)原理知，共可確定4×3＝12條直線．由分類加法計數(shù)原理知，方程所表示的不同直線共有2＋12＝14條．層級二應(yīng)試力量達標1.用0,1,2,3,4,5六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，比3542大的四位數(shù)的個數(shù)是()A．360 B．240C．120 D．60解析：選C由于3542是能排出的四位數(shù)中千位為3的最大的數(shù)，所以比3542大的四位數(shù)的千位只能是4或5，所以共有2×5×4×3＝120個比3542大的四位數(shù)．2．要把3張不同的電影票分給10個人，每人最多一張，那么有不同的分法種數(shù)是()A．2160 B．720C．240 D．120解析：選B可分三步：第一步，任取一張電影票分給一人，有10種不同分法；其次步，從剩下的兩張中任取一張，由于一人已得電影票，不能再參與，故有9種不同分法．第三步，前面兩人已得電影票，不再參與，因而剩余最終一張有8種不同分法．所以不同的分法種數(shù)是10×9×8＝720種．ABCDA，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，那么不同的涂色方法共有()A．12種 B．24種C．48種 D．72種解析：選D先涂C，有4種涂法，涂D有3種涂法，涂A有3種涂法，涂B有2種涂法．由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×3×2＝72種涂法．4．4位同學(xué)參與某種形式的競賽，競賽規(guī)定：每位同學(xué)必需從甲、乙兩道題中任選一題作答，答對甲題得100分，答錯得－100分；答對乙題得90分，答錯得－90分．假設(shè)4位同學(xué)的總得分為0，那么這4位同學(xué)不同的得分狀況的種數(shù)是()A．48 B．36C．24 D．18解析：選B分兩類：第一類，都選甲題，那么兩人正確兩人錯誤，全部可能的狀況有6種；其次類，都選乙題，那么兩人正確兩人錯誤，全部可能的狀況有6種；第三種，假設(shè)兩人選甲題，兩人選乙題，并且一對一錯，那么全部的狀況有6×2×2＝24(種)．綜上，這4位同學(xué)不同的得分狀況的種數(shù)為6＋6＋24＝36.5.現(xiàn)將如下圖的5個小正方形涂上紅、黃兩種顏色，其中3個涂紅色，2個涂黃色，假設(shè)恰有兩個相鄰的小正方形涂紅色，那么不同的涂法共有________種．解析：依據(jù)題意可以分為四種狀況：假如左端的兩個相鄰的小正方形涂紅色，那么第三個涂黃色，第四個可以涂紅色或黃色，第五個涂剩余的顏色，故有2種；同理右端的兩個相鄰的小正方形涂紅色也有2種狀況；假如其次、三個涂紅色，那么第一個涂黃色，第四個涂黃色，第五個涂紅色，僅有一種狀況，同理第三、四個涂紅色，也有一種，故不同的涂法有6種．答案：66．成都市的出租車車牌號規(guī)定為“川A·T××××〞的格式，其中后四位為數(shù)字，那么成都市最多可以有________輛出租車．解