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文檔簡(jiǎn)介

駛向成功的彼岸19.4.3角平分線角平分線的性質(zhì)是什么用紙剪一個(gè)角,把紙片對(duì)折,使角的兩邊疊合在一起,再把紙片展開(kāi),你看到了什么?角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等回顧思考?

角平分線的這條性質(zhì)是怎樣得到的呢?開(kāi)啟智慧定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.如圖,已知:OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE開(kāi)啟智慧如圖,已知:OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE證明:

因?yàn)镻D⊥OA,PE⊥OB(已知),所以∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定義).在△PDO和△PEO中,∠PDO=∠PEO(已證),∠1=∠2(已知),PO=PO(公共邊),∴△PDO≌△PEO(A.A.S)∴PD=PE于是就有定理:角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.四問(wèn)答

:1、如圖,在Rt△ABC

中,做完本題后,你對(duì)角平分線,又增加了什么認(rèn)識(shí)?

思考

角平分線的性質(zhì),為我們證明兩線段相等又提供了新的方法與途徑。ABCBD是∠B的平分線,DE⊥AB,垂足為E,EDE與DC

相等嗎?D答:DE=DC。∵BD是∠ABC的平分線(D在∠ABC的平分線上)

又∵DE⊥BA,垂足為E,∴DE=DC。為什么?DC⊥BC,垂足為C,

反過(guò)來(lái),到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢?已知:如圖,PD⊥OA,PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足,PD=PE.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.證明:PD⊥OA,PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足,在Rt

△PDO與Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=90°PD=PE(已知){OP=OP(公共邊)∴Rt△PDO≌△RtPEO∴∠1=∠2即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上于是就有定理:到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上思考分析命題:三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).如圖,設(shè)△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,∴△ABC的三條角平分線相交于一點(diǎn)P.基本想法是這樣的:我們知道,兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).要想證明三條直線相交于一點(diǎn),只要能證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.這時(shí)可以考慮前面剛剛學(xué)習(xí)的內(nèi)容.ABCPMNDEF∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).1、∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(________________________________)ACDEB12DC=DE角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等2、判斷題()∵如圖,AD平分∠BAC(已知)

BD=DC,

()角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等?!琳n時(shí)訓(xùn)練隨練習(xí)堂1.如圖,在直線l上找出一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等.提示:作∠AOB的平分線,交直線l于P就是所求的點(diǎn)練習(xí)1如圖,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F,求證:點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.練習(xí)2如圖,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F,求證:點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.證明:作FG⊥AE于G.FH⊥AD于HFP⊥CB于P,作射線AF∵CF平分∠ECB∴FG=FP(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等)同理可證:FH=FP∴FG=FH∴點(diǎn)F在∠EAD的平分線上(到角兩邊距離相等的點(diǎn)

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