函數(shù)模型的應(yīng)用舉例指數(shù)型對(duì)數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例

第2課時(shí)指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例招聘啟事豬氏集團(tuán)因業(yè)務(wù)發(fā)展需要，特招聘旗下餐飲公司經(jīng)理一名.要求30周歲以下,經(jīng)面試合格,即可錄用，待遇豐厚.聯(lián)系人：豬悟能聯(lián)系電話：86868866面試中…

“天棚大酒店”自2012年1月1日營(yíng)業(yè)以來，生意蒸蒸日上.第一個(gè)月的營(yíng)業(yè)額就達(dá)到了100萬元，第二個(gè)月比第一個(gè)月增長(zhǎng)了百分之五.照此增長(zhǎng)，第三個(gè)月的營(yíng)業(yè)額為多少?第x個(gè)月的營(yíng)業(yè)額是多少？面試題目100（1+0.05）2100（1+0.05）x-1這是指數(shù)函數(shù)模型，今天我們將學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)模型！1.能夠利用指數(shù)(或?qū)?shù))函數(shù)模型解決實(shí)際問題.（重點(diǎn)）2.能夠收集數(shù)據(jù)信息，建立擬合函數(shù)解決實(shí)際問題.(難點(diǎn)）3.進(jìn)一步熟悉運(yùn)用函數(shù)概念建立函數(shù)模型的過程和方法，對(duì)給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析評(píng)價(jià).（易混點(diǎn)）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查．在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問題可以用指數(shù)函數(shù)模型表示，通常可以表示為y＝N·(1＋p)x(其中N為原來的基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)的形式．另外，指數(shù)方程常利用對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，指數(shù)、對(duì)數(shù)在很多問題中可轉(zhuǎn)化應(yīng)用．1.指數(shù)函數(shù)模型(1)表達(dá)形式：___________(2)條件：a,b,c為常數(shù)，a≠0,b>0,b≠1.2.對(duì)數(shù)函數(shù)模型(1)表達(dá)形式：_____________.(2)條件：m,n,a為常數(shù)，m≠0,a>0,a≠1.f(x)=abx+c.f(x)=mlogax+n例1.按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，試計(jì)算5期后的本利和是多少？思路分析：復(fù)利是計(jì)算利率的一個(gè)方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再計(jì)算下一期的利息，設(shè)本金為a，每期利率為r，本利和為y,存期為x,則復(fù)利函數(shù)式為y=a(1+r)x.類型一：指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用解：1期后本利和為：2期后本利和為：……

x期后，本利和為：將a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式：

由計(jì)算器算得：y≈1117.68（元）其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，y0表示t＝0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率.例2.人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：類型二：對(duì)數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用（2）如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億?年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)／萬人55196563005748258796602666145662828645636599467207下表是1950～1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：（1）如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符.解:（1）設(shè)1951～1959年的人口增長(zhǎng)率分別為于是,1951～1959年期間,我國(guó)人口的年均增長(zhǎng)率為由可得1951的人口增長(zhǎng)率為同理可得，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,并作出函數(shù)的圖象.令則我國(guó)在1950～1959年期間的人口增長(zhǎng)模型為驗(yàn)證其準(zhǔn)確性由圖可以看出,所得模型與1950～1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合.所以,如果按上表的增長(zhǎng)趨勢(shì),那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國(guó)的人口就已達(dá)到13億.由此可以看到,如果不實(shí)行計(jì)劃生育,而是讓人口自然增長(zhǎng),今天我國(guó)將面臨難以承受的人口壓力.（2）將y=130000代入由計(jì)算器可得科學(xué)研究表明：在海拔x(km)處的大氣壓強(qiáng)是y(105Pa)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=cekx

（c,k為常量）在海拔5(km)處的大氣壓強(qiáng)為0.5683(105Pa)，在海拔5.5(km)處的大氣壓強(qiáng)為0.5366(105Pa)，（1）問海拔6.712(km)處的大氣壓強(qiáng)約為多少？（精確到0.0001)（2）海拔為h千米處的大氣壓強(qiáng)為0.5066(105Pa)，求該處的海拔h.【變式練習(xí)】解：(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=cekx

，得：把x=6.712代入上述函數(shù)關(guān)系式，得≈0.4668(105Pa)答：海拔6.712(km)處的大氣壓強(qiáng)約為0.4668(105Pa).(2)由1.01·e-0.115h=0.5066答:該處的海拔約為6km.解得h≈6(km)【提升總結(jié)】對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的解題思路有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)關(guān)系式，要求根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)關(guān)系式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入關(guān)系式求值，然后根據(jù)值回答其實(shí)際意義.例3某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表身高(cm)體重(kg)607080901001101201301401501601706.137.909.9912.1515.0217.5026.8620.9231.1138.8547.2555.05⑴根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式．類型三：數(shù)據(jù)擬合函數(shù)的應(yīng)用⑵若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這一地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？分析：(1)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)描點(diǎn)畫出圖象（如下）(2)觀察這個(gè)圖象，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)的連線是一條向上彎曲的曲線，根據(jù)這些點(diǎn)的分布情況，我們可以考慮用函數(shù)y=a?bx來近似反映.解：⑴將已知數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)，畫出圖象；如果取其中的兩組數(shù)據(jù)（70，7.90）,（160，47.25）根據(jù)圖象，選擇函數(shù)進(jìn)行擬合．代入函數(shù)由計(jì)算器得從而函數(shù)模型為將已知數(shù)據(jù)代入所得函數(shù)關(guān)系式，或作出所得函數(shù)的圖象，可知此函數(shù)能較好地反映該地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系．所以，該地區(qū)未成年男性體重關(guān)于身高的函數(shù)關(guān)系式可以選為⑵將x=175代入得由計(jì)算器計(jì)算得y≈63.98，所以，這個(gè)男生偏胖．由于函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的步驟⑴能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格,繪出散點(diǎn)圖.⑵通過觀察散點(diǎn)圖,畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線．如果所有實(shí)際點(diǎn)都落到了擬合直線或曲線上，一“點(diǎn)”不漏，那么這將是個(gè)十分完美的事情，但在實(shí)際應(yīng)用中，這種情況幾乎是不可能發(fā)生的．【提升總結(jié)】因此，使實(shí)際點(diǎn)盡可能均勻分布在直線或曲線兩側(cè)，使兩側(cè)的點(diǎn)大致相等，得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了．⑶根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí)，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式．⑷利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，為決策和管理提供依據(jù)．1.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)……現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是()A.y=2xB.y=2x-1C.y=2xD.y=2x+1【解析】分裂一次后由2個(gè)變成2×2=22(個(gè))，分裂兩次后4×2=23(個(gè))，……,分裂x次后y=2x+1(個(gè)).DC

3.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的專家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)單位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量.(1)當(dāng)燕子靜止時(shí)的耗氧量是

個(gè)單位.(2)當(dāng)一只兩歲燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是

個(gè)單位.

【解析】(1)由題意，當(dāng)燕子靜止時(shí)，它的速度v=0，所以，0=，解得：O=10個(gè)單位.(2)由耗氧量是O=80得：1015（2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型.1.利用給定函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型