總體與樣本直方圖條形圖及經(jīng)驗分布函數(shù)

總體與樣本直方圖條形圖及經(jīng)驗分布函數(shù)第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

前幾章我們學習了概率論的基本知識，從本章開始將學習數(shù)理統(tǒng)計的基本知識、理論和方法．數(shù)理統(tǒng)計是以對隨機現(xiàn)象觀測所取得的資料（數(shù)據(jù)）為出發(fā)點，以概率論為基礎來研究隨機現(xiàn)象的一門學科．概率論中，往往是在已知隨機變量分布的條件下，去研究它的性質(zhì)、特點和規(guī)律性，比如求隨機變量取某些特定值的概率、求隨機變量的數(shù)字特征、研究多個隨機變量之間的關系等．第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六第6章數(shù)理統(tǒng)計基礎

在數(shù)理統(tǒng)計中，我們所研究的隨機變量的分布往往是未知的，通過對隨機變量進行多次獨立重復的試驗和觀測，獲取數(shù)據(jù)，利用實際觀測數(shù)據(jù)研究隨機變量的分布，對其分布函數(shù)、數(shù)字特征等進行估計和推斷．本章作為數(shù)理統(tǒng)計基礎，學習總體、樣本、統(tǒng)計量與抽樣分布等有關概念，以及有關正態(tài)總體的重要的抽樣分布定理．第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

數(shù)理統(tǒng)計學是一門應用性很強的學科。它研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出正確的推斷和預測，為采取正確的決策和行動提供依據(jù)和建議。

數(shù)理統(tǒng)計不同于一般的資料統(tǒng)計，它更側重于應用隨機現(xiàn)象本身的規(guī)律性進行資料的收集、整理和分析。4第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六第6章數(shù)理統(tǒng)計基礎

【數(shù)理統(tǒng)計簡史】

相對于其它許多數(shù)學分支而言，數(shù)理統(tǒng)計是一個比較年輕的數(shù)學分支．多數(shù)人認為20世紀40年代克拉美（H.Carmer）的著作《統(tǒng)計學的數(shù)學方法》，使得1945年以前25年間英、美統(tǒng)計學家在統(tǒng)計學方面的工作與法、俄數(shù)學家在概率論方面的工作結合起來，從而形成數(shù)理統(tǒng)計這門學科．數(shù)理統(tǒng)計有很多分支，但其基本內(nèi)容為采集樣本和統(tǒng)計推斷兩大部分．發(fā)展到今天的現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學，已經(jīng)歷了各種歷史變遷．第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六1.近代統(tǒng)計學時期

18世紀末到19世紀，是近代統(tǒng)計學時期．這一時期的重大成就是大數(shù)定律和概率論被引入統(tǒng)計學．之后最小二乘法、誤差理論和正態(tài)分布理論等相繼成為統(tǒng)計學的重要內(nèi)容．這一時期有兩大學派：數(shù)理統(tǒng)計學派和社會統(tǒng)計學派．【數(shù)理統(tǒng)計簡史】第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六【數(shù)理統(tǒng)計簡史】

數(shù)理統(tǒng)計學派始于19世紀中葉，代表人物是比利時的凱特萊（A.Quetelet，1796-1874），著有《概率論書簡》《社會物理學》等，他主張用研究自然科學的方法研究社會現(xiàn)象，正式把概率論引入統(tǒng)計學，并最先用大數(shù)定律證明了社會生活中隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，提出了誤差理論．凱特萊的貢獻，使統(tǒng)計學的發(fā)展進入個了一個新的階段．第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

社會統(tǒng)計學派始于19世紀末，首創(chuàng)人物是德國的克尼斯（K.G.A.Knies），他認為統(tǒng)計學是一個社會科學，是研究社會現(xiàn)象變動原因和規(guī)律性的實質(zhì)性科學．各國專家學者在社會經(jīng)濟統(tǒng)計指標的設定與計算、指數(shù)的編制、統(tǒng)計調(diào)查的組織和實施、經(jīng)濟社會發(fā)展評價和預測等方面取得了一系列的重要成果．德國統(tǒng)計學家恩格爾（C.L.E.Engel，1821-1896）提出的“恩格爾”系數(shù)，美國經(jīng)濟學家?guī)炱澞暮陀?jīng)濟學家斯通等人研究的國民收入和國內(nèi)生產(chǎn)總值的核算方法等，都是偉大的貢獻．【數(shù)理統(tǒng)計簡史】第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六18世紀到19世紀初期，高斯從描述天文觀測的誤差而引進正態(tài)分布，并使用最小二乘法作為估計方法，是近代數(shù)理統(tǒng)計學發(fā)展初期的重大事件，對社會發(fā)展有很大的影響．【數(shù)理統(tǒng)計簡史】第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六用正態(tài)分布描述觀測數(shù)據(jù)的應用是如此普遍，以至在19世紀相當長的時期內(nèi)，包括高爾頓（Galton）在內(nèi)的一些學者，認為這個分布可用于描述幾乎是一切常見的數(shù)據(jù)．直到現(xiàn)在，有關正態(tài)分布的統(tǒng)計方法，仍占據(jù)著常用統(tǒng)計方法中很重要的一部分．最小二乘法方面的工作，在20世紀初以來，經(jīng)過一些學者的發(fā)展，如今成了數(shù)理統(tǒng)計學中的主要方法．【數(shù)理統(tǒng)計簡史】第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六2.現(xiàn)代統(tǒng)計學時期從19世紀末到現(xiàn)在，是現(xiàn)代統(tǒng)計學時期．這一時期的顯著特點是數(shù)理統(tǒng)計學由于同自然科學、工程技術科學緊密結合并被廣泛應用于各個領域而獲得迅速發(fā)展．各種新的統(tǒng)計理論和方法、尤其是推斷統(tǒng)計理論與方法得以大量涌現(xiàn)．【數(shù)理統(tǒng)計簡史】第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

例如英國統(tǒng)計學家卡爾.皮爾遜（K.Pearson，1857-1936）的2分布理論，統(tǒng)計學家戈賽特（W.S.Gosset，1876-1937）的小樣本t分布理論，統(tǒng)計學家費歇爾（R.A.Fisher，1890-1962）的F分布理論和試驗設計方法，波蘭統(tǒng)計學家尼曼（J.Neyman）和英國統(tǒng)計學家皮爾遜（E.S.Pearson，1895-1980）的置信區(qū)間理論和假設檢驗理論，以及非參數(shù)統(tǒng)計法、序貫抽樣法、多元統(tǒng)計分析法、時間序列跟蹤預測法都應運而生，并逐步成為現(xiàn)代統(tǒng)計學的主要內(nèi)容．【數(shù)理統(tǒng)計簡史】第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

現(xiàn)代統(tǒng)計學時期是數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展的輝煌時期，數(shù)理統(tǒng)計不僅在理論上取得重大進展，其方法在生物、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學、社會、經(jīng)濟、工業(yè)和科技等方面得到愈來愈廣泛的應用．另外，計算機的應用對統(tǒng)計學的產(chǎn)生了巨大的影響，需要大量計算的統(tǒng)計方法，有了計算機，這一切都不成問題．【數(shù)理統(tǒng)計簡史】第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六第6章數(shù)理統(tǒng)計基礎【質(zhì)量控制問題】

某食鹽廠用包裝機包裝的食鹽，每袋重量500g，通常在包裝機正常的情況下，袋裝食鹽的重量X服從正態(tài)分布，均值為500g，標準差為25g．為進行生產(chǎn)質(zhì)量控制，他們每天從當天的產(chǎn)品中隨機抽出30袋進行嚴格稱重，以檢驗包裝機工作是否正常．某日，該廠隨機抽取30袋鹽的重量分別為：

從這些數(shù)據(jù)看，包裝機的工作正常嗎？475500485454504439492501463461464494512451434511513490521514449467499484508478479499529480第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六6.1總體和樣本6.1.1總體與個體

總體或母體指我們研究對象的全體構成的集合，個體指總體中包含的每個成員．例如，在研究某高校學生生活消費狀況時，該校全體學生就是一個總體，其中每一個學生是一個個體；在人口普查中，總體是某地區(qū)的全體人口，個體就是該地區(qū)的每一個人．第6章數(shù)理統(tǒng)計基礎第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六6.1.1總體與個體

我們研究總體時，所關心的往往是總體某方面的特性，這些特性又常?？梢杂靡粋€或多個數(shù)量指標來反映．例如，在研究某高校學生生活消費狀況時，關心的可能是學生們每月的生活消費額，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時，關心的可能是這些燈泡的壽命和光亮度等．這時總體指一個或多個數(shù)量指標，這些數(shù)量指標對我們來說是不了解或者說是未知的，我們可以用一個或多個隨機變量來表示它們．第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

因此，總體可以是一維隨機變量，也可以是多維隨機變量．例如，在研究某高校學生生活消費狀況時，可以用X表示月生活消費額，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時，可以分別用X，Y表示燈泡的壽命和光亮度，那么，對上面兩個問題的研究就轉化為對總體X和總體(X，Y)的研究了．

6.1.1總體與個體第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

根據(jù)總體中包含個體的數(shù)量，可以將總體分為有限總體和無限總體，當總體中包含個體的數(shù)量很大時，我們可以把有限總體看成是無限總體．例如，某廠某天生產(chǎn)的燈泡可以看作是有限總體，而該廠生產(chǎn)的全部燈泡就可以看作為無限總體，因為它包含過去和將來生產(chǎn)的燈泡的全部．6.1.1總體與個體第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六6.1.2樣本與抽樣實際應用中，為了研究總體的特性，總是從總體中抽出部分個體進行觀察和試驗，根據(jù)觀察或試驗得到的數(shù)據(jù)推斷總體的性質(zhì)．我們把從總體中抽出的部分個體稱為樣本，把樣本中包含個體的數(shù)量稱為樣本容量，把對樣本的觀察或試驗的過程稱為抽樣，把觀察或試驗得到的數(shù)據(jù)稱為樣本觀測值（觀測數(shù)據(jù)），簡稱樣本值．第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

例如，在質(zhì)量檢驗中，隨機抽出n件產(chǎn)品，測得的數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn，就稱它們是樣本觀測值．在抽樣前，不知道樣本觀測值究竟取何值，應該把它們看作為隨機變量，記作X1，X2，...，Xn，稱其為容量為n的樣本.

（在不會混淆的情況下，有時我們也將觀測數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn稱為樣本，如“質(zhì)量控制問題”中的30個數(shù)據(jù)，也可以說成是一個容量為30的樣本）．6.1.2

樣本與抽樣第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

在應用中，我們從總體中抽出的個體必須具有代表性，樣本中個體之間要具有相互獨立性，為保證這兩點，一般采用簡單隨機抽樣．

定義6.1

一種抽樣方法若滿足下面兩點，稱其為簡單隨機抽樣：

(1)總體中每個個體被抽到的機會是均等的；

(2)樣本中的個體相互獨立．由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本．如果沒有特殊說明,以后所說樣本均指簡單隨機樣本．6.1.2

樣本與抽樣第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

設X1，X2，...，Xn是從總體X中抽出的簡單隨機樣本，由定義可知，X1，X2，...，Xn有下面兩個特性：

(1)代表性：X1，X2，...，Xn均與X同分布，即若X

F(x)，則對每一個Xi都有Xi

F(xi)，i=1，2，…，n(2)獨立性：X1，X2，...，Xn相互獨立.由這兩個特性可知，若X的分布函數(shù)為F(x)，則X1，X2，...，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)為

F(x1,x2,…,xn)=F(x1)F(x2)…F(xn)若X具有概率密度為f(x)，則X1，X2，...，Xn的聯(lián)合概率密度為f(x1,x2,…,xn)=f(x1)f(x2)…f(xn)6.1.2

樣本與抽樣往往是未知或不完全知道的，是需要通過樣本來進行研究和推斷的．第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六【例6.1】設總體X服從均值為1/2的指數(shù)分布，X1，X2，X3，X4為來自X的樣本，求X1，X2，X3，X4的聯(lián)合概率密度和聯(lián)合分布函數(shù)．

解：X的概率密度為其分布函數(shù)為則X1，X2，X3，X4的聯(lián)合概率密度為：6.1.2

樣本與抽樣第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六6.1.2

樣本與抽樣由于X的分布函數(shù)為X1，X2，X3，X4的聯(lián)合分布函數(shù)為

第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六【例6.2】已知總體X的分布為P{X=i}=1/4，i=0,1,2,3,抽取n=36的簡單隨機樣本X1,X2,...,X36,求大于50.4小于64.8的概率．

解：總體X的均值和方差分別為

6.1.2

樣本與抽樣第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六由于X1，X2，...，X36均與總體X同分布，且相互獨立，所以，Y的均值和方差分別為

又因為n=36較大，依中心極限定理，近似服從正態(tài)分布，所以

6.1.2

樣本與抽樣第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六6.1

總體和樣本

6.1.3直方圖與經(jīng)驗分布函數(shù)如前所述，數(shù)理統(tǒng)計所研究的實際問題（總體）的分布一般來說是未知的，需要通過樣本來推斷．但如果對總體一無所知，那么，做出推斷的可信度一般也極為有限．在很多情況下，我們往往可以通過具體的應用背景或以往的經(jīng)驗，再通過觀察樣本觀測值的分布情況，對總體的分布形式有個大致了解．觀察樣本觀測值的分布規(guī)律，了解總體X的概率密度和分布函數(shù)，常用直方圖和經(jīng)驗分布函數(shù).第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六1.直方圖直方圖是對一組數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn的分布情況的圖形描述．將數(shù)據(jù)的取值范圍分成若干區(qū)間（一般是等間隔的），在等間隔的情況，每個區(qū)間的長度稱為組距．考察這些數(shù)據(jù)落入每一個小區(qū)間的頻數(shù)和頻率，在每一個區(qū)間上畫一個矩形，它的寬度是組距，高度可以是頻數(shù)、頻率或頻率/組距，所得直方圖分別稱為頻數(shù)直方圖、頻率直方圖和密度直方圖．6.1.3直方圖與經(jīng)驗分布函數(shù)圖6-1密度直方圖第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六如果數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn是來自連續(xù)總體X的樣本觀測值，其密度直方圖中，每一個矩形的面積恰好是觀測數(shù)據(jù)落入對應區(qū)間的頻率，這種密度直方圖可以用來估計總體的概率密度（用密度直方圖的頂部折線估計X的概率密度曲線）．組距對直方圖的形態(tài)有很大的影響，組距太小或太大，直方圖反映概率密度的形態(tài)就不夠準確．6.1.3

直方圖與經(jīng)驗分布函數(shù)第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六6.1.3

直方圖與經(jīng)驗分布函數(shù)

一個合適的分組是希望密度直方圖的形態(tài)接近總體的概率密度函數(shù)的形態(tài)．手工計算常取組數(shù)等于左右，一些統(tǒng)計軟件會根據(jù)樣本容量和樣本的取值范圍自動確定一個合適的分組方式，畫出各種漂亮的直方圖．第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六【實驗6-1】從某高校一年學生的“高等數(shù)學”課程考試成績中，隨機抽取60名學生的成績?nèi)缦拢涸嚴肊xcel的“數(shù)據(jù)分析”功能作學生成績的密度直方圖，并通過直方圖了解學生成績的分布情況．7669717769718369858586777495668766516873776266739379638787548057727258767276697181756674606779638878857258906170776880796.1.3直方圖與經(jīng)驗分布函數(shù)第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

實驗步驟：(1)確定分組個數(shù)：因為，取分組個數(shù)為8．數(shù)據(jù)的最小值為51，最大值為95，為分組方便起見，考慮范圍從50到100，分為8個組，組距取50/8=6.25，分點分別為：50，56.25，62.5，68.75，75，81.25，87.5，93.75，100。整理學生成績數(shù)據(jù)，在“組上限”欄中填入各組的上限值，如圖6-2左所示．第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

圖6-2數(shù)據(jù)整理與“直方圖”對話框第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

(2)在Excel主菜單中選擇“工具”“數(shù)據(jù)分析”，打開“數(shù)據(jù)分析”對話框，在“分析工具”列表中選擇“直方圖”選項，單擊“確定”按鈕．

(3)在打開的“直方圖”對話框中，依次輸入（或用鼠標拖動選擇）“輸入?yún)^(qū)域”、“接收區(qū)域”和“輸出區(qū)域”，如圖6-2右所示，單擊“確定”按鈕．得到頻率分布的結果如圖6-3左所示．第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

圖6-3計算各組頻率與密度第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

(4)計算密度：在單元格區(qū)域J2:J9中依次輸入組域名：50-56.25、56.25-62.5、62.5-68.75、68.75-75、75-81.25、81.25-87.5、87.5-93.75、93.75-100，然后在“密度”列的單元格K2中輸入公式：=I2/60/6.25，并將公式復制到K3~K9中，如圖6-3右所示．第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

(5)畫密度直方圖：選中單元格區(qū)域J1:K9，單擊“圖表向?qū)А卑粹o，打開“圖表向?qū)А睂υ捒颍凇皥D表類型”選擇中，取默認的“柱形圖”向?qū)?，直接單擊“完成”按鈕，即可得到密度柱形圖，如圖6-4所示．圖6-4密度柱形圖第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

右鍵單擊圖中條形，在快捷菜單中選擇“數(shù)據(jù)系列格式”，打開“數(shù)據(jù)系列格式”對話框，在其中的“選項”選項卡中，修改“分類間距”為0，如圖6-5（左）所示，單擊“確定”按鈕，即可加寬條形，得到密度直方圖，進一步修改圖形，得到密度直方圖，如圖6-5（右）所示．第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

圖6-5密度直方圖從學生成績的密度直方圖可以看到，學生成績在平均分附近比較密集，較低或較高分數(shù)學生比較少，學生成績的分布呈近似“鐘形”對稱，即成績分布近似正態(tài)分布．第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六類似的方法可以畫出學生成績的頻數(shù)直方圖和頻率直方圖，由于三種直方圖只是高度相差一定的倍數(shù)，所以在研究總體分布的形態(tài)時，三種直方圖具有同樣的作用．第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期六

分布函數(shù)是隨機變量的一個重要特征，既然總體可以用隨機變量來表示，而樣本又可對總體的信息進行提取。因此，怎樣用樣本(X1,…,Xn)估計總體X的分布函數(shù)F(x)?任意給定自變量x，則

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