2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 2-3 函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性 課件（62張）

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性必備知識·夯實雙基關(guān)鍵能力·題型突破【課標標準】

1.了解函數(shù)奇偶性的含義.2.結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性與對稱性及其幾何意義．必備知識·夯實雙基知識梳理1.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x都有__________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)都有___________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)圖象特征關(guān)于________對稱關(guān)于________對稱f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y軸原點2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有____________，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個___________，那么這個________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正數(shù)最小正數(shù)[常用結(jié)論]1．函數(shù)奇偶性的五個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有意義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(4)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(5)只有f(x)＝0(定義域是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．

夯實雙基1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝x2在x∈(0，＋∞)時是偶函數(shù)．(

)(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)＝0.(

)(3)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．(

)(4)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱．(

)××√√

答案：BC解析：由奇函數(shù)的定義可知BC為奇函數(shù)．故選BC.3．(教材改編)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集是______________．

答案：D

5．(易錯)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則f(x)的解析式為____________________．

解析：當(dāng)x<0時，則－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)＝－x(1－x)，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)．關(guān)鍵能力·題型突破題型一函數(shù)的奇偶性角度一

判斷下列函數(shù)的奇偶性例1(1)f(x)＝x4＋3x2，x∈(－2，2]；解析：因為函數(shù)f(x)＝x4＋3x2，x∈(－2，2]的定義域為(－2，2]，不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f(x)＝x4＋3x2，x∈(－2，2]既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．(2)f(x)＝2x2＋|x|；解析：∵函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－x)＝2(－x)2＋|－x|＝2x2＋|x|＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．

解析：函數(shù)f(x)的定義域為R，定義域關(guān)于原點對稱．①當(dāng)x＝0時，－x＝0，所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)；②當(dāng)x>0時，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；③當(dāng)x<0時，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．綜上，可知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．題后師說判斷函數(shù)奇偶性的方法鞏固訓(xùn)練1(1)(多選)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是(

)A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2|x|答案：BD解析：由偶函數(shù)的定義可知B、D為偶函數(shù)．故選BD.

答案：D

答案：C解析：設(shè)x<0，則－x>0，則f(x)＝g(x)＋1，f(－x)＝log2(1－x)．又f(x)是奇函數(shù)，則有f(－x)＝－f(x)，即log2(1－x)＝－[g(x)＋1]，則g(x)＝－log2(1－x)－1，則g(－3)＝－log2(1＋3)－1＝－2－1＝－3.故選C.

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題后師說利用函數(shù)的奇偶性可解決以下三類問題(1)求解析式(或函數(shù)值)：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出．(2)求參數(shù)：根據(jù)f(－x)±f(x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，再求出參數(shù)的值．在解答選擇題、填空題時，一般選用特值法，如函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(在x＝0處有定義)，則用f(0)＝0求解等．(3)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象．

答案：A解析：因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故選A.(2)[2023·遼寧葫蘆島模擬]已知函數(shù)f(x)＝x2(aex－e－x)是奇函數(shù)，則a＝________．1解析：由題知，f(x)的定義域為R，因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝(－x)2(ae－x－ex)＝－x2(aex－e－x)＝－f(x)，所以ae－x－ex＝－aex＋e－x，所以(a－1)e－x＝(1－a)ex恒成立，所以a＝1.

答案：A

題后師說(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值，求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進而解決問題．

題型三函數(shù)的對稱性例4[2023·遼寧撫順模擬]已知函數(shù)y＝f(2x－1)是R上的奇函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)圖象與函數(shù)y＝g(x)關(guān)于y＝－x對稱，則g(x)＋g(－x)＝(

)A．0

B．－1

C．2

D．1答案：C解析：函數(shù)y＝f(2x－1)是R上的奇函數(shù)，則－f(－2x－1)＝f(2x－1)．設(shè)2x－1＝t，則f(t)＝－f(－2－t)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(－1，0)對稱，函數(shù)y＝f(x)圖象與函數(shù)y＝g(x)關(guān)于y＝－x對稱，所以函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于點(0，1)對稱，所以g(x)＋g(－x)＝2.故選C.題后師說(1)求解與函數(shù)的對稱性有關(guān)的問題時，應(yīng)根據(jù)題目特征和對稱性的定義，求出函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心．(2)注意一個函數(shù)圖象自身的對稱性和兩個函數(shù)圖象之間對稱性的區(qū)別，同時也要注意不要混淆對稱性和周期性常用結(jié)論．

答案：C解析：因為定義域為R的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)成中心對稱，且當(dāng)x≥1時，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，則f(3)＝－f(－1)＝7.故f(3)＝32＋3m＋n＝7，即3m＋n＝－2.故選C.專題突破?函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用微專題1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性例1(1)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A．a(chǎn)<b<c

B．c<b<aC．b<a<c

D．b<c<a答案：C解析：易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數(shù)，因為奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(0)＝0.所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.故選C.

答案：C

題后師說(1)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，進而利用單調(diào)性比較大?。?2)解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))，利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“f”脫掉，得到具體的不等式(組)．

答案：B

(2)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(2x＋1)為偶函數(shù)且f(4x＋2)為奇函數(shù)，則下列選項正確的是(

)A．函數(shù)f(x)的周期為2B．函數(shù)f(x)的周期為3C．f(2024)＝0D．f(2023)＝0答案：C解析：因為f(2x＋1)為偶函數(shù)，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)＝f(－x＋2)，因為f(4x＋2)為奇函數(shù)，所以f(4x＋2)＝－f(－4x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以f(x)＝－f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，即函數(shù)f(x)的周期為4，故A、B不正確；又f(0＋2)＝－f(0＋2)，即f(2)＝0，所以f(0)＝f(2)＝0，所以f(2024)＝f(506×4)＝f(0)＝0，故C正確；f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)的值不確定，故D不正確．故選C.題后師說周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．微專題3函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性的結(jié)合例3[2023·黑龍江哈爾濱六中模擬](多選)已知函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，若函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對稱，若f(－2)＝0，則下列結(jié)論正確的是(

)A．f(x)是偶函數(shù)B．f(2022)＝0C．f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱D．f(－2)>f(－1)答案：ABC解析：對于選項A：由函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對稱，根據(jù)函數(shù)的圖象變換，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝0對稱，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以A正確；對于選項B：由函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，因為f(－2)＝0，可得f(2)＝0，則f(2022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝0，所以B正確；又因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，即f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)＝－f(－x)，可得f(x＋2)＋f(－x)＝0，所以函數(shù)f(x)關(guān)于點(1，0)成中心對稱，所以C正確；所以f(－1)＝f(1)＝0，所以f(－2)＝f(－1)，所以D錯誤．故選ABC.題后師說函數(shù)的奇偶性與對稱性之間的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，同時牢記圖象平移的規(guī)律．

答案：A

題后師說周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合，解決此類問