考點10函數(shù)的零點問題（精講）-【考點通關(guān)】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分攻略（新高考地區(qū)專用）（解析版）

第10講函數(shù)的零點問題知識點1函數(shù)的零點1．零點的定義：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．2．零點的幾個等價關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點?函數(shù)y＝f(x)有零點．注：函數(shù)的零點不是函數(shù)y＝f(x)圖象與x軸的交點，而是y＝f(x)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù).【即學(xué)即練1】若函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)的零點是2，則函數(shù)g(x)＝ax2＋bx的零點是()A．2 B．2和0C．0 D．－2和0【解析】由條件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零點為0和2．故選B．知識點2函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．注：函數(shù)零點存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.【即學(xué)即練2】函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(2,x－1)的零點所在的區(qū)間是()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)【解析】函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(2,x－1)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且在(1，＋∞)上連續(xù)．因為f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，所以f(2)f(3)<0，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是(2,3)．【即學(xué)即練3】已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x12345f(x)－4－2147在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點的區(qū)間為()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)【解析】由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x＝2與x＝3這兩個數(shù)字對應(yīng)的函數(shù)值的符號不同，即f(2)·f(3)＜0，所以函數(shù)在(2,3)內(nèi)必有零點．故選B．【即學(xué)即練4】已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．當(dāng)2<a<3<b<4時，函數(shù)f(x)的零點x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________．【解析】對于函數(shù)y＝logax，當(dāng)x＝2時，可得y<1，當(dāng)x＝3時，可得y>1，如圖，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝logax，y＝－x＋b的圖象，判斷兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)在(2,3)內(nèi)，∴函數(shù)f(x)的零點x0∈(n，n＋1)時，n＝2．【即學(xué)即練5】(2022·西安模擬)函數(shù)y＝x3和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2存在公共點P(x0，y0)，則x0的范圍為()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)【解析】由題意知，f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2＝0有解，f(0)＝－4，f(1)＝－1，f(2)＝7，因為f(x)在R上連續(xù)且在R上單調(diào)遞增，有f(1)·f(2)<0，則解的范圍為(1,2)，故選B．【即學(xué)即練6】函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(－1)＝eq\f(1,e)－3<0，f(0)＝1>0，因此函數(shù)f(x)有且只有一個零點．故選B【即學(xué)即練7】函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零點個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【解析】由f(x)＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e．因此函數(shù)f(x)共有2個零點．故選C【即學(xué)即練8】函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】法一：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增且連續(xù)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有1個零點．故選B法二：設(shè)y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象如圖所示，在區(qū)間(0,1)內(nèi)，兩圖象的交點個數(shù)即為f(x)的零點個數(shù)．故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有1個零點．故選B【即學(xué)即練9】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0))(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(－∞，1]【解析】畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示．因為函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一個零點．當(dāng)x≤0時，f(x)有一個零點，需0<a≤1；當(dāng)x>0時，f(x)有一個零點，需－a<0，即a>0．綜上，0<a≤1．故選A知識點3二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法．【即學(xué)即練10】用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的唯一零點時，精確度為0．001，則結(jié)果計算的條件是()A．|a－b|<0．1 B．|a－b|<0．001C．|a－b|>0．001 D．|a－b|＝0．001【解析】精確度為0．001，應(yīng)滿足的條件為|a－b|<0．001，故選B．考點一判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間解題方略：1．確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0．若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點；(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．2．函數(shù)零點存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，不滿足條件時，一定要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析判斷．【例1-1】（2022·天津紅橋·一模）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【解析】函數(shù)是上的連續(xù)增函數(shù),,可得,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：C變式1：（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（

）A． B． C． D．【解析】因為、為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，且，，，，根據(jù)零點存在性定理知的零點在區(qū)間內(nèi).故選：B變式2：（2022·全國·高三專題練習(xí)）方程的實數(shù)根所在的區(qū)間為(

)A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，，，所以是方程的實數(shù)根所在一個區(qū)間.又在上單調(diào)遞增，故方程有唯一零點.故選：A.變式3：（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點的區(qū)間是，則的值為__________．【解析】函數(shù)的定義域為易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，由零點存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間必有1個零點，則故答案為：3變式4：（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷方程的一個根所在的區(qū)間為（

）-101230.3712.727.3920.0923456A． B． C． D．【解析】令，由表格中的數(shù)據(jù)可得:，，，，，由零點存在定理可知，方程的一根所在的區(qū)間為.故選：B.變式5：（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點橫坐標(biāo)所在的區(qū)間可能為（

）A． B． C． D．【解析】函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交點橫坐標(biāo)，即為函數(shù)（）的零點，，因為，所以在上為增函數(shù)，且圖像連續(xù)，因為，，所以，所以的零點所在的區(qū)間為，所以函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交點橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為，故選：B考點二判斷函數(shù)零點個數(shù)解題方略：函數(shù)零點個數(shù)的判定方法(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．【例2-1】（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））函數(shù)的零點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】由于函數(shù)在上是增函數(shù)，且，故函數(shù)在上有唯一零點，也即在上有唯一零點.故選：B.變式1：（2022·新疆·三模（理））函數(shù)的零點個數(shù)為___________.【解析】當(dāng)時，令，解得，，此時有1個零點；當(dāng)時，，顯然單調(diào)遞增，又，由零點存在定理知此時有1個零點；綜上共有2個零點.故答案為：2.【例2-2】(2022·泉州模擬)函數(shù)y＝lg|x|－sinx的零點個數(shù)為________．【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，分別作出y＝lg|x|與y＝sinx的圖象，如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖象共有6個交點，故原函數(shù)有6個零點．變式1：（2022·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)則方程的解的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】令，得，則函數(shù)零點的個數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)．作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，可知兩個函數(shù)圖像的交點的個數(shù)為2，故方程的解的個數(shù)為2個．故選：C．變式2：（2022·山西·模擬預(yù)測（理））已知若，則在內(nèi)的零點個數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【解析】作出的圖像，則在內(nèi)的零點個數(shù)為曲線與直線在內(nèi)的交點個數(shù)9.故選：B.變式3：（2022·上海松江·二模）已知函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，．則當(dāng)時，方程實根的個數(shù)為_______．【解析】因為，所以的圖像關(guān)于對稱又是定義在R上的奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，所以是周期為8的周期函數(shù)分別作出在上的圖像，共2個交點；又剛好為的252個周期，易知在每個周期內(nèi)有兩個交點，在上共有504個交點，綜上，共有506個交點，即方程實根的個數(shù)為506.故答案為：506變式4：（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，則的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點共有（

）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖示，則的圖象上上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點，即為當(dāng)時，關(guān)于原點對稱的函數(shù)圖象，與的圖象的交點，由圖象可知，交點有2個，所以函數(shù)的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點共有2對．故選：．變式5：（2022·四川成都·模擬預(yù)測（文））函數(shù)定義在上的奇函數(shù)滿足在，則在上的零點至少有（

）個A．6 B．7C．12 D．13【解析】是奇函數(shù)，故，又由得周期為1，故，又，，因此，再由周期為1，總之，有，共13個零點，故選:D．考點三函數(shù)零點的應(yīng)用解題方略：1、函數(shù)零點應(yīng)用問題的求解策略(1)轉(zhuǎn)化：把已知函數(shù)零點的存在情況轉(zhuǎn)化為方程的解或兩函數(shù)圖象的交點的情況；(2)列式：根據(jù)函數(shù)零點存在定理或結(jié)合函數(shù)圖象列式；(3)結(jié)論：①求出參數(shù)的取值范圍或根據(jù)圖象得出參數(shù)的取值范圍；②求出函數(shù)的多個零點．2、已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．3、已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.（一）根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)(范圍)【例3-1】（2022·北京市大興區(qū)興華中學(xué)三模）已知，若函數(shù)有兩個不同的零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】，則是函數(shù)的一個零點由，解得要使得有兩個不同的零點，則故選：A變式1：（2022·山西·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】函數(shù)當(dāng)時，方程．可得．解得，函數(shù)有一個零點，則當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，即，在時有兩個解．設(shè)，其開口向上，對稱軸為：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，且，解得．故選：C．變式2：（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【解析】設(shè)，定義域為R,∴，故函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∵有唯一零點，∴，即．故選：D．變式3：（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】由得，令，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，，則的圖像如圖所示：即函數(shù)的最大值為，令，則，由二次函數(shù)的圖像可知，二次方程的一根必在內(nèi)，另一根或或上，當(dāng)時，，則另一根，不滿足題意，當(dāng)時，a＝0，則另一根，不滿足題意，當(dāng)時，由二次函數(shù)的圖像可知，解得，則實數(shù)的取值范圍是，故選：D.【例3-2】（2022·甘肅蘭州·模擬預(yù)測（文））函數(shù)有三個零點，且，則的取值范圍是______．【解析】設(shè)，因為函數(shù)有三個零點，且，所以的圖象與直線交點的橫坐標(biāo)分別為，且，作出的圖象如圖所示，由圖可知，且是方程的兩個實根，所以，因為滿足，即，因為，所以，所以，所以，即的取值范圍是，故答案為：變式1：（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在三個互不相同的實數(shù)，，，滿足，則的取值范圍是__________．【解析】如圖所示：記，在坐標(biāo)系內(nèi)作出和的圖像，三個交點的橫坐標(biāo)從左到右依次記為a、b、c，則有，且，所以，所以，即，所以.所以故答案為：【例3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，則實數(shù)m取值范圍為（

）A． B．C． D．【解析】由題意得：，則，問題轉(zhuǎn)化為y＝m和有2個交點，而，在和上，遞增，在上，遞減，當(dāng)x趨于正無窮大時，無限接近于0，且，，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：觀察圖象得：函數(shù)和的圖象有2個不同的交點時，實數(shù).故選：D．根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)范圍【例3-4】（2022·北京·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不斷，則“”是“在上存在零點”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)不斷，由，可知中可能有兩正一負(fù)、兩負(fù)一正、一正一負(fù)一零和，所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點；由在區(qū)間上有零點且連續(xù)不斷，不能推出“”，如函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且時，則，，則，所以“”是“在區(qū)間上存在零點”的充分不必要條件.故選：A.【例3-5】（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實根，那么的最小值為________．【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，所以的最小值為5．故答案為：5.變式1：(2022·蘇州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝x·2x－kx－2在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點，則實數(shù)k的取值范圍是________．【解析】令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－eq\f(2,x)，即y＝k與φ(x)＝2x－eq\f(2,x)，x∈(1,2)的圖象有交點，又φ(x)＝2x－eq\f(2,x)在(1,2)上單調(diào)遞增，且φ(1)＝0，φ(2)＝3．∴0<k<3．[答案](0,3)變式2：若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的兩個零點分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是________．【解析】依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象分析可知，m需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,f－1·f0<0，,f1·f2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,m－2－m＋2m＋12m＋1<0，,m－2＋m＋2m＋1[4m－2＋2m＋2m＋1]<0，))解得eq\f(1,4)<m<eq\f(1,2)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))變式3：（2022·安徽省含山中學(xué)三模（文））若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)m的最小值是_________．【解析】，記，因為，所以，令，則所以在上單調(diào)減，所以，故實數(shù)m的最小值是．故答案為：變式4：（2022·廣東潮州·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)的兩個零點分別在區(qū)間和內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】先作出的圖像，令，在區(qū)間內(nèi)時，，，得到，所以，；在區(qū)間內(nèi)時，，，得到，解得，所以，；綜上，得故選A探究函數(shù)多個零點(方程根)問題【例3-6】（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（文））已知函數(shù)，則的所有零點之和為（

）A． B． C． D．【解析】時，由得，時，由得或，所以四個零點和為．故選：D．變式1：（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測（理））函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【解析】令，得，圖象關(guān)于對稱，在上遞減.，令，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以圖象關(guān)于對稱，，在上遞增，所以與有兩個交點，兩個交點關(guān)于對稱，所以函數(shù)的所有零點之和為.故選：B變式2：（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為（

）A． B．C． D．【解析】因為，令，即，當(dāng)時顯然不成立，當(dāng)時，作出和的圖象，如圖，它們關(guān)于點對稱，由圖象可知它們在上有4個交點，且關(guān)于點對稱，每對稱的兩個點的橫坐標(biāo)和為，所以4個點的橫坐標(biāo)之和為．故選：C．變式3：（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的所有零點之和為0，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時，易得的零點為，當(dāng)時，，∵當(dāng)時，，∴的圖象在上關(guān)于直線對稱.又，當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故單調(diào)遞減，且，.因為的所有零點之和為0，故在內(nèi)有2個不同的零點，且，解得.故實數(shù)a的取值范圍為．故選：A．比較零點大小【例3-7】（2022·江西·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，，的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．【解析】由已知條件得的零點可以看成與的交點的橫坐標(biāo)，的零點可以看成與的交點的橫坐標(biāo)，的零點可以看成與的交點的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系分別畫出，，，的函數(shù)圖象，如下圖所示,可知，故選：.變式1：（2022·四川·樹德中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【解析】令、，則、，在同一坐標(biāo)系中分別繪出函數(shù)、、的圖像，因為函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，所以，，解方程組，因為函數(shù)與互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關(guān)于對稱，則，，，A、B、D錯誤，因為，所以在上單調(diào)遞增，因為，，所以，因為點在直線上，所以，，故C正確，故選：C．變式2：（2022·山東濰坊·高三期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．【解析】在同一坐標(biāo)系中分別畫出，，，的圖象，與的交點的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點的橫坐標(biāo)為，從圖象可以看出．故選：B變式3：（2022·湖南·衡陽市八中高三階段練習(xí)）已知，則下列關(guān)系不可能成立的是（

）A． B． C． D．【解析】依題意，令，則，，，令，，和，則a，b，c可分別視為函數(shù)，，的圖象與直線交點的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，和的圖像，如圖，觀察圖象得：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然不可能，所以不可能成立的是.故選：D變式4：（2022·河北石家莊·模擬預(yù)測）若，則下列不等關(guān)系一定不成立的是（

）A． B． C． D．【解析】由，得．由，得，，作函數(shù)，，的圖象，再作直線．變換m的值發(fā)現(xiàn)：，，均能夠成立，D不可能成立.故選：D．考點四解嵌套函數(shù)的零點問題解題方略：函數(shù)的零點是命題的熱點，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯．對于嵌套函數(shù)的零點，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解．對于復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點個數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點個數(shù)為.【例4-1】函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ln－x－1，x<－1，,2x＋1，x≥－1，))若函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】設(shè)t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，則a＝f(t)．在同一坐標(biāo)系內(nèi)作y＝a，y＝f(t)的圖象(如圖)．當(dāng)a≥－1時，y＝a與y＝f(t)的圖象有兩個交點．設(shè)交點的橫坐標(biāo)為t1，t2(不妨設(shè)t2>t1)，則t1<－1，t2≥－1．當(dāng)t1<－1時，t1＝f(x)有一解；當(dāng)t2≥－1時，t2＝f(x)有兩解．綜上，當(dāng)a≥－1時，函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個不同的零點．[答案][－1，＋∞)變式1：（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x<0，,4x3－6x2＋1，x≥0，))其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零點個數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．3【解析】當(dāng)x≥0時，f(x)＝4x3－6x2＋1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝12x2－12x，當(dāng)0<x<1時，f(x)單調(diào)遞減，x>1時，f(x)單調(diào)遞增，可得f(x)在x＝1處取得最小值，最小值為－1，且f(0)＝1，作出函數(shù)f(x)的圖象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或eq\f(1,3)，當(dāng)t＝eq\f(1,3)，即f(x)＝eq\f(1,3)時，g(x)有三個零點；當(dāng)t＝3時，可得f(x)＝3有一個實根，即g(x)有一個零點，綜上，g(x)共有四個零點．變式2：（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且關(guān)于x的方程有3個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍為______．【解析】因為函數(shù)，作出函數(shù)圖象如圖所示，因為關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)根，所以令，根據(jù)圖象可得，有兩個不同的實數(shù)根，且，，，記，則有，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．變式3：（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程恰有個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，可得，因為最多有兩個實根，若恰有個不同實數(shù)根，則恰有三個實根，作出的圖象，如圖由或可得：或或，且，由即，，由可得，由即，，由可得，由即，，由恒成立，綜上所述：，實數(shù)的取值范圍為，故選：A.變式4：（2022·遼寧·大連二十四中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程的所有實根之和為4，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】令，當(dāng)時，方程為，即，作出函數(shù)及的圖象，由圖象可知方程的根為或，即或，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得所有根的和為5，不合題意，故BD錯誤；當(dāng)時，方程為，即，由圖象可知方程的根，即，結(jié)合函數(shù)的圖象，可得方程有四個根，所有根的和為4，滿足題意，故A錯誤.故選：C.變式5：（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則方程f(f(x))+3=0的解的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】作出函數(shù)的圖象，時，（時取等號），上遞增，上遞減，上遞增，由圖象可知有三個解，不妨設(shè)，由于，因此，于是有3個解，有1個解，有一個解，共5個解．故選：C．考點五用二分法求函數(shù)零點【例5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知方程的根在區(qū)間上，第一次用二分法求其近似解時，其根所在區(qū)間應(yīng)為__________．【解析】令，其在定義域上單調(diào)遞增，且，，，由f（2.5）f（3）＜0知根所在區(qū)間為．故答案為：．變式1：（2022·全國·高三專題練習(xí)）用“二分法”求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點時，取的中點，則的下一個有零點的區(qū)間是__________．【解析】，，，，因此，的下一個有零點的區(qū)間是.故答案為：.變式2：（2022·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個零點，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個零點的近似解（精確到0.1）為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）A． B． C． D．【解析】由題意可知：，，又因為函數(shù)在上連續(xù)，所以函數(shù)在區(qū)間上有零點，約為故選：C.變式3：（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：x10.50.750.6250.56250.63210.27760.0897那么函數(shù)的一個零點近似值（精確度為0.1）為（

）A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89【解析】根據(jù)給的數(shù)據(jù)知道方程的根在區(qū)間內(nèi)，所以近似解為0.57故選：B變式4：（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖是函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸有4個不同的公共點.給出的下列四個區(qū)間之中，存在不能用二分法求出的零點，該零點所在的區(qū)間是（

）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]【解析】結(jié)合圖象可得：ABD選項每個區(qū)間的兩個端點函數(shù)值異號，可以用二分法求出零點，C選項區(qū)間兩個端點函數(shù)值同號，不能用二分法求零點.故選：C一、單選題1．（2021·天津·高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】最多有2個根，所以至少有4個根，由可得，由可得，（