第01講空間向量及其運(yùn)算（原卷版）

第1講空間向量及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識(shí)點(diǎn)詮釋：此定理可分解為以下兩個(gè)命題：（1）存在唯一實(shí)數(shù)，使得；（2）存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實(shí)數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點(diǎn)共線.注意：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法.證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)二：向量共面問題共面向量（1）定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量．（2）共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.（3）空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）.知識(shí)點(diǎn)三：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍、兩個(gè)向量垂直的定義和表示符號(hào)及向量的模的概念和表示符號(hào)等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定．（3）兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩向量的點(diǎn)乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時(shí)一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識(shí)點(diǎn)四：夾角問題1.定義：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖.根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個(gè)向量、的夾角的余弦.知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作.2.利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計(jì)算兩個(gè)方向向量的夾角得到.在求異面直線所成的角時(shí)，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角.知識(shí)點(diǎn)五：空間向量的長(zhǎng)度定義：在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；.利用向量求線段的長(zhǎng)度.將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題.一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解.【典型例題】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算【例1】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列命題中正確的是（）A．若，，則與所在直線平行B．向量、、共面即它們所在直線共面C．空間任意兩個(gè)向量共面D．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使【例2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）正六棱柱中，設(shè)，，，那么等于（）A． B． C． D．【例3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡(jiǎn)下列各式的結(jié)果為的是（）A． B．C．D．【例4】（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點(diǎn)，且，則（）A． B．C．D．【題型專練】1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題為真命題的是（）A．若兩個(gè)空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量B．若，則?的長(zhǎng)度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個(gè)非零向量與滿足，則.2.（2022·全國(guó)·高一）如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則=（）A． B．C． D．3.（2021·山西·長(zhǎng)治市上黨區(qū)第一中學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（）A． B．C． D．4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知為正方體且，，，則______．5.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）平行六面體中，若，，，那么______．6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，E為棱上任意一點(diǎn).只考慮以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)E的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，分別寫出：(1)的相等向量，的負(fù)向量；(2)用另外兩個(gè)向量的和或差表示；(3)用三個(gè)或三個(gè)以上向量的和表示（舉兩個(gè)例子）.題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用【例1】（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有（）A．若存在實(shí)數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使；C．若存在實(shí)數(shù)，，使則點(diǎn)，，A，共面；D．若點(diǎn)，，A，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使．【例2】（2022·全國(guó)·高二）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（）A．P∈ABB．P?ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上 D．以上都不對(duì)【例3】（2022·江蘇常州·高二期中）對(duì)于空間任意一點(diǎn)，若，則A，B，C，P四點(diǎn)（）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．與點(diǎn)位置有關(guān)【例4】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值為________.【題型專練】1．（2022·遼寧·本溪市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）下列命題中正確的是（）A．若∥，則∥B．是共線的必要條件C．三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面D．若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），則是三點(diǎn)共線的充要條件2.（2021·河南·范縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）下列命題不正確的是（）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有B．“”是“、共線”的充要條件C．若、共線，則與所在直線平行D．對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面．3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)（）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面D．無法判斷是否共面4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（）A．2 B． C．1 D．5.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，，三點(diǎn)不共線，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，則在下列各條件中，能得到點(diǎn)與A，，一定共面的是（）A． B．C． D．6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t＝______．題型三：空間向量的數(shù)量積【例1】已知單位正方體，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【例2】（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為（）A．1 B． C． D．【例3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，若E?F分別是AB?AD的中點(diǎn)，則___________，___________，___________，___________.【例4】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)與平面的位置關(guān)系是______；當(dāng)最小且最小時(shí)，______．【題型專練】1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）三棱錐中，，，，則______．2.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，求：（1）；（2）；（3）；（4）．3.（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．4.已知長(zhǎng)方體，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（）A．B．C．D．題型四：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角【例1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【例2】（2022·全國(guó)·高二）在正四面體中，、分別為棱、中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【題型專練】1．（2022·湖南·高二期末）如圖所示，平行六面體中，，，若線段，則（）A．30° B．45° C．60° D．90°2.已知空間四邊形中，，則______．3.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，若點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則______．4．（2022·全國(guó)·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平行六面體中，，，與AB、AD的夾角都為求：（1）的長(zhǎng)；（2）與AC所成的角的余弦值．題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長(zhǎng)度【例1】如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為_______.【例2】如圖，三棱錐各棱的棱長(zhǎng)都是，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，記，，．求的最小值．【題型專練】1．（2022·