第三章學(xué)案幾何概型

開始學(xué)點一學(xué)點二學(xué)點三學(xué)點四學(xué)點五學(xué)點六1.如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為

，簡稱為

.2.在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下：P(A)=

.3.均勻隨機數(shù)均勻隨機數(shù)就是在一定范圍內(nèi),

產(chǎn)生的數(shù),并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的機會一樣.幾何概率模型幾何概型隨機構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）/試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)子區(qū)域A的幾何度量返回4.［0,1］間隨機數(shù)的產(chǎn)生在計算器中應(yīng)用

可連續(xù)產(chǎn)生［0,1］范圍內(nèi)的均勻隨機數(shù).不同的計算器具體操作過程可能會不同.5.隨機模擬法的應(yīng)用隨機模擬法可用來求

（特別是

）的面積的近似值，或求

.隨機函數(shù)某些特殊圖形不規(guī)則圖形某些量(如π)的近似值返回學(xué)點一與長度有關(guān)的幾何概型的求法【分析】本題考查與長度有關(guān)的幾何概型的求法.某公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過(假設(shè)每一輛車帶走站上的所有乘客),乘客到達汽車站的時間是任意的,求乘客候車時間不超過3分鐘的概率.【解析】這是一個幾何概型問題.記A=“候車時間不超過3分鐘”.以x表示乘客到車站的時刻,以t表示乘客到車站后來到的第一輛汽車的時刻,作圖3-4-3.據(jù)題意,乘客必然在［t-5,t］內(nèi)來到車站,故Ω={x|t-5＜x≤t}.返回若乘客候車時間不超過3分鐘,必須t-3≤x≤t,所以A={x|t-3≤x≤t},據(jù)幾何概率公式得P(A)==0.6.【評析】(1)把所求問題歸結(jié)到x軸上的一個區(qū)間內(nèi)是解題的關(guān)鍵,然后尋找事件A發(fā)生的區(qū)域,從而求得μA

.(2)本題也可這樣理解:乘客在時間段(0,5］內(nèi)任意時刻到達,等待不超過3分鐘,則到達的時間在區(qū)間［2,5］內(nèi).圖3-4-3返回在兩端相距6m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,則燈與兩端距離都大于2m的概率是多少?解:燈掛在繩子上的每一個位置都是一個基本事件,即整個區(qū)域的幾何度量為μΩ=6m.記“燈與兩端距離都大于2m”為事件A,則把木桿三等分,當繩子掛在中間一段上時,事件A發(fā)生,即μA=2m.所以由幾何概型的概率公式,得P(A)＝.返回學(xué)點二與面積有關(guān)的幾何概型的求法1.甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時,假定它們在一晝夜的時間段中隨機地到達,試求這兩艘船中至少有一艘在停靠時必須等待的概率.【分析】本題考查與面積有關(guān)的幾何概型的求法.【解析】設(shè)A={兩艘船中至少有一艘?？繒r等待}.建立平面直角坐標系如圖3-4-4,x軸表示甲船到達的時間,y軸表示乙船到達的時間,則(x,y)表示的所有結(jié)果是以24為邊長的正方形.圖3-4-4返回事件A發(fā)生的條件是0＜x-y＜6或0＜y-x＜6,即圖中陰影部分,則μΩ=242,μA=242-182.∴P(A)=,即這兩艘船中至少有一艘在停靠時必須等待的概率是.【評析】(1)甲、乙兩船都是在0～54小時內(nèi)的任一時刻停靠,故每一個結(jié)果對應(yīng)兩個時間;分別用x,y軸上的數(shù)表示,則每一個結(jié)果(x,y)就對應(yīng)于圖中正方形內(nèi)的任一點.(2)找出事件A發(fā)生的條件,并把它在圖中的區(qū)域找出來,分別計算面積即可.(3)這一類問題我們稱為約會問題.返回2.設(shè)有一等邊三角形網(wǎng)格,其中各個最小等邊三角形的邊長都是cm,現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上,求硬幣落下后與格線沒有公共點的概率.【分析】考查幾何概型中與面積有關(guān)的問題.【解析】記A={硬幣落下后與格線沒有公共點},如圖3-4-5所示,在等邊三角形內(nèi)作小等邊三角形,使其三邊與原等邊三角形三邊距離都為1,則等邊三角形的邊長為,由幾何概型得概率為兩三角形面積的比,即由概率圖3-4-5返回的公式得P(A)=【評析】求出面積是解題關(guān)鍵.返回甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面,并約定先到者應(yīng)等候另一個人一刻鐘,過時即可離去,求兩人能夠會面的概率.解:按照約定,兩人在6點到7點之間任何時刻到達會面點是等可能的,因此是一個幾何概型,設(shè)甲、乙兩人到達的時間為x,y,則|x-y|≤15是能夠會面的先決條件.以x和y分別表示甲、乙兩人到達約會地點的時間,則兩人能夠會面的充要條件是|x-y|≤15.返回在平面上建立直角坐標系如圖,則(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形,而可能會面的時間用圖中的陰影部分表示.這是一個幾何概型問題,由等可能性知

P(A)=答:甲、乙兩人能夠會面的概率是.返回學(xué)點三與體積有關(guān)的幾何概型的求法在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子,從中隨機取出10毫升,則取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是多少?【分析】本題考查與體積有關(guān)的幾何概型.【解析】設(shè)A={取出10毫升種子,含有病種子},則μΩ=1000毫升,μA=10毫升,∴P(A)=,即取出種子中含麥銹病的種子的概率是0.01.返回【評析】(1)病種子在這1升種子中的分布可以看作是隨機的,有無限個結(jié)果,并且是等可能的,是幾何概型.取得的10毫升種子可看作構(gòu)成事件的區(qū)域,1升種子可看作是試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域.(2)要注意使用“幾何概型”的條件.返回如圖3-崇4-頭7所示,有一優(yōu)杯2升的乳水,其中表含有吩一個撞細菌,用一方個小喜杯從奔這杯妖水中痛取出0.射1升水,求小庭杯水買中含紅有這候個細諷菌的蝕概率.解:設(shè)A={小杯水中含有這個細菌}.則μΩ=2升,μA=0.1升,∴P(A)=圖3-4-7返回學(xué)點侮四陪與角國度有允關(guān)的預(yù)幾何跟概型俘的求蜓法如圖3-掌4-普8,在等瓜腰Rt肅△AB毒C中,過直紡角頂棍點C在∠AC孕B內(nèi)部滅作一掩射線CM,與線草段AB交于銷點M,求AM＜AC的概員率.【分析】考查仆與角孫度有玻關(guān)的龜幾何概型牽的求值法.圖3-4-8【解析】在AB上取AC′=AC,則∠ACC′==67.5°.設(shè)A={在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM,與線段AB交于點M,AM＜AC},則μΩ=90°,μA=67.5°.∴P(A)=

返回【評析】(犯1)射線CM隨機菌地落病在∠AC攝B內(nèi)部,故∠AC阿B為所緣瑞有試賤驗結(jié)沫果構(gòu)商成的麻區(qū)域,當射竹線CM落在然∠AC子C′內(nèi)部膠時AM＜AC,故∠AC嚷C′為構(gòu)考成事盜件的馳區(qū)域.(2懂)事件升區(qū)域木是角叫域,可用潔角度洽刻畫.返回若題輝目改續(xù)為:在等欲腰Rt忘△AB浮C中,在斜慶邊AB上取畫一點M,求AM＜AC的概兩率,答案徑一樣晴嗎?解:在AB上截取AC′=AC,AC′=設(shè)A={在斜邊AB上取一點M,AM＜AC},則

μΩ=AB,μA=,∴P(A)=故不一樣.返回學(xué)點脂五僑用隨添機數(shù)捐模擬只法估侍算幾蚊何概持率取一核根長桐度為3級m的繩釘子,拉直供后在母任意純位置窗剪斷,用隨廈機模牌擬法鮮估算該剪得買兩段墾的長圣都不卡小于1儀m的概你率有燙多大?【分析】在任穴意位舅置剪刺斷繩至子,則剪螺斷位壁置到番一端撕點的酸距離奶取遍赤［0,捏3］內(nèi)推的任需意實妻數(shù),并且鋪每一森個實滲數(shù)被榨取到堂的可笨能性弄相等,因此餐在任工意位賞置剪智斷繩糟子的縣所有咱結(jié)果(即基療本事炒件)對應(yīng)瞇［0,綢3］上肌的均的勻隨斃機數(shù),其中杜［1,頑2］上婦的均棗勻隨烏機數(shù)吐就表勁示剪予斷位頓置與怎端點青的距芝離在概［1,匹2］內(nèi),也就南是剪就得兩熄段的熟長都依不小乳于1蠶m,這樣持取得其的［1,重2］內(nèi)礎(chǔ)的隨或機數(shù)擦個數(shù)睡與［0,盛3］內(nèi)快的隨乳機數(shù)塞個數(shù)揭之比塵就是虹事件A發(fā)生逃的頻肌率.返回【解析】記事告件A={剪得腳兩段谷的長往都不蹈小于1熟m}英.(1紛)利用桑計算寸器或籍計算調(diào)機產(chǎn)皮生一披組0到1區(qū)間停的均賣勻隨睡機數(shù)a1=R挑AN隆D.(2林)經(jīng)過撐伸縮棍變換,a=窯a1*3俱.(3脾)統(tǒng)計蓮出試廚驗總層次數(shù)N和［1,絹2］內(nèi)揮的隨滔機數(shù)下個數(shù)N1.(4梳)計算袖頻率fn(A)=N1/N即為諸概率P(A)的近距似值.【評析】用隨笨機模宣擬法謙估算句幾何頃概率段的關(guān)紅鍵是倍把事厲件A及基伶本事淺件空扛間對梢應(yīng)的藥區(qū)域漁轉(zhuǎn)化繩為隨扯機數(shù)侍的范橫圍.返回甲、岸乙兩袍輛貨芬車停橫靠站以臺卸醋貨的號時間紛分別剝是6小時輩和4小時,用隨很機模紛擬法半估算劑有一偉輛貨仁車?；趴空景着_時超必須耕等待極一段跑時間瘡的概紀率.解:記事潑件A“有一窩輛貨命車停兇靠站晌臺時紋必須姻等待昌一段糠時間另”.(1濾)利用嫂計算兆器或皮計算攀機產(chǎn)諸生兩狗組0到1區(qū)間泰的均規(guī)勻隨濱機數(shù),x1=R釋AN侮D,y1=R擾AN礙D.返回(2壟)經(jīng)過茂伸縮挨變換,x=名x1*2恒4,y=像y1*2善4得到閃兩組胡［0,粗24］上裕的均掌勻隨直機數(shù).(3重)統(tǒng)計容出試討驗總滅次數(shù)N和滿桐足條男件-4沈≤x-會y≤6的點(x,段y)的個仆數(shù)N1.(4擋)計算爛頻率fn(A)=,即為甩概率P(A)的近成似值.返回學(xué)點捐六恥用隨渠機數(shù)小模擬奶法近題似計顛算不釋規(guī)則寧圖形今的面堂積利用蠟隨機喜模擬虧的方仇法近闖似計銀算圖仍形(如圖3-裂4-竭9所示)中陰毛影部機分的容面積:y=做x2+1與y=6所圍糊成區(qū)版域的凳面積.【分析】在坐標系中畫出矩形(x=,x=-,y=1和y=6所圍成的部分),用隨機模擬的方法可以得到陰影部分的面積的近似值.圖3-4-9返回【解析】(1太)利用乏計算填器或慨計算論機產(chǎn)斃生兩忽組0至1之間編的均項勻隨效機數(shù),a1=R晃AN見D,b1=R撇AN敘D;(2布)進行婆平移份和伸婦縮變示換,a=(a1-0淡.5廊)*卸2,b=5違*b1+1線;(3脅)數(shù)出至落在遭陰影毀內(nèi)的嫌樣本碌點數(shù)N1,總試野驗次撐數(shù)為N,用幾垂何概動型公峽式計嚴算陰驅(qū)影部溫分的腳面積艱為S=.多做灶幾次突試驗,得到鄉(xiāng)豐的面碰積會摘更精南確.【評析】要記住公式.其中N為總的試驗次數(shù),N1為落在不規(guī)則圖形內(nèi)的試驗次數(shù).返回利用核隨機鈴方法穿計算側(cè)如圖3-罩4-苗10中陰萌影部焦分(曲線y=2x與x軸,x=±巷1圍成怨的部鋸分)的面渾積.解:(犁1)利用榨計算謝機產(chǎn)冊生兩瓶組［0,埋1］上展的均算勻隨圾機數(shù),a1=R污AN綠D,b1=R跑AN歸D.(2根)進行屯平移滋和伸炎縮變訓(xùn)換,a=(a1-0謊.5鋒)*床2,b=b1*2材,得到妙一組匹［-1打,1］上少的均歇勻隨廉機數(shù)浙和一既組［0,汽2］上續(xù)的均量勻隨京機數(shù).圖3-4-10返回(3)統(tǒng)計試驗總數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點數(shù)N1(滿足條件b<2a的點(a,b)數(shù)).(4)計算頻率,即為點落在陰影部分的概率的近似值.(5)用幾何概率公式求得點落在陰影部分的概率為P=.∴.∴,即為陰影部分面積的近似值.返回(1孟)幾何蠟概型始的兩反個特邊點:一是墓無限悠性,即在頭一次棉試驗集中,基本停事件紹的個膨數(shù)可脊以是女無限取的;二是叮等可犁能性,即每秀一基捎本事頃件發(fā)攪生的岔可能黑性是廟均等鬧的.因此,用幾肅何概董型求在解的娘概率灣問題捧和古剃典概造型的改思路遣是相致同的,同屬莫于“斃比例乓解法頂”.即隨編機事鏈件A的概債率可戴以用校“事百件A包含先的基能本事竹件所棟占的噸圖形厘面積(體積熱、長菜度)”與“劣試驗價的基望本事掃件空檢間所坦占總仙面積(總體喚積、灘長度)”之比呈來表尸示.(2親)基本會事件場的“掏等可粘能性箱”的叔判斷嗽很容宴易被富忽略,從而欄導(dǎo)致趟各種耳錯誤.1.如何褲理解竿幾何匆概型?返回2.隨機刪數(shù)是趨如何盒產(chǎn)生上的?如何普理解與隨機制模擬久試驗?(1佛)隨機脊數(shù)的縫產(chǎn)生利用痛計算圓器或物計算插機產(chǎn)袋生［0,等1］上謙的均屠勻隨欺機數(shù)x1=R桌AN干D,然后暫利用煉伸縮艇和平刺移變嬸換,x=揀x1*(b-騙a)+a,就可獄以得攝到［a,禍b］內(nèi)的朽均勻循隨機足數(shù),試驗爛的結(jié)唱果是摧［a,質(zhì)b］上的霞任何蟻一個斗實數(shù),并且美任何站一個齡實數(shù)愛都是猛等可腸能出失現(xiàn)的.(2劣)隨機籠模擬忽試驗用頻任率估晝計概砍率時,需做早大量視的重瞞復(fù)試哲驗,費時月費力,并且訪有些舉試驗峽具有浙破壞勸性,有些偉試驗帥無法冰進行,因而頃隨機像模擬桌試驗威就成海為一齒種重鋤要的鳥方法,它可投以在般短時氏間內(nèi)團多次孩重復(fù).用計鞋算器像或計鈴算機礦模擬胸試驗,首先蛛需要踩把實爽際問混題轉(zhuǎn)沾化為壇可返回以用狀隨機廉數(shù)來殼模擬創(chuàng)試驗汽結(jié)果哄的概雷率模陵型,也就廣是怎脈樣用蛛隨機后數(shù)刻奮畫影饅響隨嶺機事雹件結(jié)姜果的示量.我們懇可以慚從以柔下幾脖個方咸面考呢慮:①由炎影響家隨機及事件損結(jié)果滑的量渣的個玻數(shù)確搜定需備要產(chǎn)臉生的飛隨機變數(shù)組況數(shù).如長嘉度型司、角詳度型(