第02講空間向量基本定理（5大考點(diǎn)8種解題方法）（原卷版）

第02講空間向量基本定理（5大考點(diǎn)8種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、空間向量基本定理如果空間中的三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空間中不共面的三個(gè)向量a，b，c組成的集合{a，b，c}，常稱為空間向量的一組基底.此時(shí)，a，b，c都稱為基向量；如果p=xa+yb+zc，則稱xa+yb+zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.二、空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示.正交分解：把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.三、用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題1.用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立技巧方法技巧方法1.空間中，任一向量都可以用一組基底表示，且只要基底確定，則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時(shí)，一般要結(jié)合圖形，運(yùn)用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則，逐步向基向量過(guò)渡，直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時(shí)，通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底，例如，在正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體中，一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量作為基底.4.正交基底的三個(gè)向量共起點(diǎn).考點(diǎn)考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：空間向量基底概念及辨析一、單選題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，且是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，是不共面的三個(gè)向量，下列能構(gòu)成一組基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，二、判斷題3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量是空間的一組基，則向量也是空間的一組基；()三、解答題4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）空間向量，，不共面是否可以推出其中任意兩個(gè)向量均不平行？5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量、、可以構(gòu)成空間向量的一組基底，則這三個(gè)向量中哪一個(gè)向量可以與向量和向量構(gòu)成空間向量的另一組基底？考點(diǎn)二：用空間基底表示向量一、單選題1．（2022·福建·柘榮縣第一中學(xué)高二期中）如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇省揚(yáng)州市教育局高二期末）如圖，平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，且，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點(diǎn)，且，則（

）A． B．=C．= D．=4．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）在四面體中，，，，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．5．（2022·江蘇南通·高二期中）如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，M為OA中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2022·廣東廣州·高二期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，、、分別是棱、、上的點(diǎn)，且滿足，，，則（

）A． B．C． D．三、解答題7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AM的長(zhǎng)為3，且，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)，，，用、、表示向量，并求BN的長(zhǎng)．考點(diǎn)三：用空間向量基本定理及其應(yīng)用1.已知矩形，為平面外一點(diǎn)，且平面，，分別為，上的點(diǎn)，且，，，則的值為()A． B． C． D．2.如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且使，用向量表示向量為（）A．B．C．D．3.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有______.①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若非零向量，，滿足，，則有；③若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面；④若向量，，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底.4.已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若x，則x+y+z=_____.5.如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知，，，點(diǎn)M，N分別是BC'，B'C'的中點(diǎn)，試用基底表示向量.考點(diǎn)四：空間三向量共面或四點(diǎn)共面1.如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求證:向量共面.2.已知，，三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)，若點(diǎn)滿足.（1）判斷，，三個(gè)向量是否共面；（2）判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi).考點(diǎn)五：利用空間向量基本定理解決幾種常見(jiàn)問(wèn)題題型一：平行問(wèn)題1.已知，，，分別是空間四邊形的邊，，，的中點(diǎn).（1）求證：，，，四點(diǎn)共面；（2）求證：平面；（3）設(shè)是和的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)，有.題型二：垂直問(wèn)題2.在所有棱長(zhǎng)均為2的三棱柱中，，求證：（1）；（2）平面.題型三：夾角問(wèn)題3.已知平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.題型四：求長(zhǎng)度4.如圖，在平行六面體中，兩兩夾角為60°，長(zhǎng)度分別為2，3，1，點(diǎn)P在線段BC上，且，記.（1）試用表示；（2）求模.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·遼寧高二期中）已知，如圖，在平行六面體中，，則用向量可表示向量為（）A． B．C． D．2．（2020·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)高二期中）在平行六面體中與交于點(diǎn)則（）A． B．C． D．3．（2020·安徽淮北·高二期中（理））設(shè)，，是不共面的三個(gè)單位向量，則下列向量組不能作為空間的基底的一組是（）A． B．C． D．4．（2021·江西豐城九中（理））如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．5．（2020·蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中）在平形六面體，其中，，，，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．二、多選題6．（2019·山東濟(jì)南一中高二期中）已知平行六面體，則下列四式中其中正確的有（）A． B．C． D．7．（2020·河北省晉州市第二中學(xué)高二期中）有以下命題：①如果向量，與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么，的關(guān)系是不共線；②，，，為空間四點(diǎn)，且向量，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則點(diǎn)，，，一定共面；③已知向量，，是空間的一個(gè)基底，則向量，，也是空間的一個(gè)基底.其中正確的命題是（）A．② B．① C．③ D．①②③8．（2020·南平市第八中學(xué)高二期中）給出下列命題，其中錯(cuò)誤的有（）A．若空間向量、、，滿足，，則B．若空間向量、、，滿足，，則C．在空間中，一個(gè)基底就是一個(gè)基向量D．任意三個(gè)不共線的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底9．（2020·江蘇常州高級(jí)中學(xué)高二期中）下列條件中，使點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)一定共面的是（）A． B．C． D．10．（2020·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)高二期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．若為空間的一組基底，則三點(diǎn)共線B．若為四棱柱，則C．若則四點(diǎn)共面D．若為正四面體為的重心，則三、填空題11．（2019·海南中學(xué)高二期中）若，則直線與平面的位置關(guān)系為_(kāi)___．12．（2020·黑龍江雙鴨山一中高二期中（理））在正方體中，給出以下向量表達(dá)式：①；②；③；④.其中能夠化簡(jiǎn)為向量的是______________（填序號(hào)）.13．（2020·珠海市第二中學(xué)高二期中）如下圖，四棱錐中，四邊形為平行四邊形，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，，，，用基底表示向量_______.14．（2020·天津南開(kāi)中學(xué)高二期中）在正四面體中，是上的點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)_________．15．（2020·山東省淄博第四中學(xué)）正三棱柱中，，，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與成角的大小為_(kāi)______．16．（2020·唐山市第十一中學(xué)高二期中）如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是__________．17．（2019·江蘇高二期中）已知四棱柱的底面是矩形，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2，，則對(duì)角線的長(zhǎng)為_(kāi)_______.18．（2019·邢臺(tái)市第八中學(xué)）如圖，已知平面平面，，，，，，，，且，，，則_________________.19．（2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）空間向量，，，，，，且，，若點(diǎn)P滿足，且，，，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的空間區(qū)域的體積為_(kāi)_________.四、解答題20．（2020·山東省濟(jì)南回民中學(xué)高二期中）如圖所示，在三棱錐中，兩兩垂直，且，E為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求直線與所成角的余弦值．21．（2019·吉林扶余市第一中學(xué)高二期中（理））如圖，在正四棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，.（1）若，求；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系﹐寫(xiě)出，，，的坐標(biāo)，并求異面直線與所成角的余弦值.22．（2021·福建省廈