新教材人教B版必修第四冊(cè)1112構(gòu)成空間幾何體的基本元素學(xué)案

11.1.2構(gòu)成空間幾何體的根本元素必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.構(gòu)成幾何體的根本元素是什么?2平面有哪些主要特點(diǎn)?怎樣表示一個(gè)平面?3.如何從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)理解空間幾何體的根本元素之間的關(guān)系?4.長方體中的點(diǎn)、線、面有怎樣的位置關(guān)系?1.空間中的點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系(1)空間中點(diǎn)與直線的關(guān)系點(diǎn)A在直線l上,記作A∈l;點(diǎn)A不在直線l上,記作A?l.(2)直線與直線的位置關(guān)系①直線a與直線b平行,記作a∥b;②直線a與直線b相交于點(diǎn)A,記作a∩b=A;③直線a與直線b異面.(3)異面直線的定義空間中的兩條直線,既不平行,也不相交,此時(shí)稱這兩條直線異面.(1)為何點(diǎn)與直線、平面的關(guān)系用“∈〞或“?〞表示?提示:由于直線與平面都看作是點(diǎn)構(gòu)成的集合,而點(diǎn)是元素,因此點(diǎn)與直線、平面的關(guān)系就是元素與集合間的關(guān)系,所以用“∈〞或“?〞表示.(2)如何從公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的角度對(duì)空間兩條直線分類?提示:兩直線QUOTE(3)如何以是否共面的角度對(duì)空間兩條直線分類?提示:兩直線QUOTE(1)直線l上的全部點(diǎn)都在平面α內(nèi),稱為直線l在平面α內(nèi)(或平面α過直線l),記作l?α.(2)直線m與平面α有且只有一個(gè)公共點(diǎn)B,稱為直線m與平面α相交,記作m∩α=B.(3)直線l與平面α沒有公共點(diǎn),稱為直線l與平面α平行,記作l∥α.(1)假如l是空間中的一條直線,α是空間中的一個(gè)平面,l∩α=?表示什么?提示:l∩α=?表示直線l與平面α平行.(2)“直線與平面不相交〞與“直線與平面沒有公共點(diǎn)〞是相同的意義嗎?提示:不是.前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種狀況,而后者僅指直線與平面平行.(3)如何從直線與平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的角度,將直線與平面的位置關(guān)系分類?提示:當(dāng)直線與平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0時(shí),直線與平面平行;當(dāng)直線與平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1時(shí),直線與平面相交;當(dāng)直線與平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為很多個(gè)時(shí),直線在平面內(nèi).(1)平面α與平面β有公共點(diǎn),稱為平面α與平面β相交,記作α∩β≠?.(2)假如α與β是空間中的兩個(gè)平面,當(dāng)α∩β=?時(shí),稱平面α與平面β平行,記作α∥β.(1)直線與平面垂直的定義一般地,假如直線l與平面α相交于一點(diǎn)A,且對(duì)平面α內(nèi)任意一條過點(diǎn)A的直線m,都有l(wèi)⊥m,那么稱直線l與平面α垂直(或l是平面α的一條垂線,α是直線l的一個(gè)垂面),記作l⊥α,其中點(diǎn)A稱為垂足.(2)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影給定空間中一個(gè)平面α及一個(gè)點(diǎn)A,過A可以作而且只可以作平面α的一條垂線.假如記垂足為B,那么稱B為A在平面α內(nèi)的射影(也稱為投影),線段AB為平面α的垂線段,AB的長為點(diǎn)A到平面α的距離.(3)直線到平面的距離當(dāng)直線與平面平行時(shí),直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線到這個(gè)平面的距離.(4)平面到平面的距離當(dāng)平面與平面平行時(shí),一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱為這兩平行平面之間的距離.(1)在什么條件下,才能求直線與平面的距離?提示:當(dāng)直線與平面平行時(shí),才能求直線與平面的距離.(2)在什么條件下,才能求平面與平面的距離?提示:當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí),才能求平面與平面的距離.1.辨析記憶(對(duì)的打“√〞,錯(cuò)的打“×〞)(1)假設(shè)直線l上有很多個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),那么l∥α. ()(2)假設(shè)平面α內(nèi)的任意直線與平面β均無交點(diǎn),那么α∥β. ()(3)假設(shè)兩個(gè)平面都平行于同一條直線,那么這兩個(gè)平面平行. ()提示:(1)×.假設(shè)直線l上有很多個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),那么l∥α或直線l與平面α相交.(2)√.由平面與平面平行的定義可知,此說法正確.(3)×.假設(shè)兩個(gè)平面都平行于同一條直線,那么這兩個(gè)平面平行或相交.2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)假設(shè)平面α和直線a,b滿意a∩α=A,b?α,那么a與b的位置關(guān)系肯定是 ()【解析】選D.當(dāng)A∈b時(shí)a與b相交,當(dāng)A?b時(shí)a與b異面.3.如圖,在正四棱柱(側(cè)面為矩形,底面為正方形的棱柱)ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是AB1,BC1的中點(diǎn),那么以下結(jié)論中不成立的是(1)EF與BB1垂直;(2)EF與BD垂直;(3)EF與CD異面;(4)EF與A1C1【解析】連接A1B(圖略),由于E,F分別是AB1,BC1的中點(diǎn),所以EF是△A1BC1的中位線,所以EF∥A1C1答案:(4)4.如圖,試用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示以下點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系:(1)點(diǎn)C與平面β:.

(2)點(diǎn)A與平面α:

.(3)直線AB與平面α:

.(4)直線CD與平面α:

.(5)平面α與平面β:

.【解析】(1)C?β.(2)A?α.(3)AB∩α=B.(4)CD?α.(5)α∩β=BD.答案:(1)C?β(2)A?α(3)AB∩α=B(4)CD?α(5)α∩β=BD關(guān)鍵力量·合作學(xué)習(xí)類型一文字語言、數(shù)學(xué)語言、圖形語言間的相互轉(zhuǎn)化(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)1.點(diǎn)P在直線a上,直線a在平面α內(nèi)可記為 ()A.P∈a,a??a,a?α?a,a∈α D.P∈a,a∈α2.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1(1)AC∩BD=.

(2)平面AB1∩平面A1C1=(3)A1B1∩B1B∩B1C1=【解析】∈a,直線a在平面α內(nèi)可表示為a?α,故A正確.2.由圖形可知,AC∩BD=O,平面AB1∩平面A1C1=A1B1A1B1∩B1B∩B1C1=B1答案:(1)O(2)A1B1(3)B1三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí),首先認(rèn)真觀看圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語言表示,再用符號(hào)語言表示.(2)要留意符號(hào)語言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈〞或“?〞表示,直線與平面的位置關(guān)系只能用“?〞或“?〞表示.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如下圖,平面ABEF記作平面α,平面ABCD記作平面β,依據(jù)圖形填寫:(1)A∈α,Bα,Eα,Cα,Dα.

(2)α∩β=.

(3)A∈β,Bβ,Cβ,Dβ,

Eβ,Fβ.

(4)ABα,ABβ,CDα,

CDβ,BFα,BFβ.

【解析】依據(jù)圖形以及數(shù)學(xué)符號(hào)可知:(1)B∈α,E∈α,C?α,D?α;(2)α∩β=AB;(3)B∈β,C∈β,D∈β,E?β,F?β;(4)AB?α,AB?β,CD?α,CD?β,BF?α,BF?β.答案:(1)∈∈??(2)AB(3)∈∈∈??(4)??????類型二空間兩條直線位置關(guān)系的推斷(直觀想象)【典例】如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,CC1①直線DM與CC1是相交直線;②直線AM與NB是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的為(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上).

【思路導(dǎo)引】利用平行直線、相交直線、異面直線的定義推斷.【解析】①中直線DM與直線CC1在同一平面內(nèi),它們不平行,必相交.故結(jié)論正確.③④中的兩條直線既不相交也不平行,即均為異面直線,故結(jié)論正確.②中AM與BN是異面直線,故②①③④.答案:①③④空間兩條直線位置關(guān)系的推斷方法兩直線位置關(guān)系分為共面(平行和相交)和異面,其中共面時(shí)用平面幾何學(xué)問處理即可,現(xiàn)在關(guān)鍵是把握異面的理解與直觀想象,兩直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi),既不平行也不相交.1.假設(shè)a和b是異面直線,b和c是異面直線,那么a和c的位置關(guān)系是 ()A.a∥c C.a和c相交 D.a和c平行、相交或異面【解析】選D.如圖,在長方體ABCDA′B′C′D′中,令A(yù)′D′所在直線為a,AB所在直線為b,由題意,a和b是異面直線,b和c是異面直線.假設(shè)令B′C′所在直線為c,那么a和c平行.假設(shè)令C′C所在直線為c,那么a和c異面.假設(shè)令D′D所在直線為c,那么a和c相交.2.兩條直線沒有公共點(diǎn),那么兩條直線的位置關(guān)系為.

【解析】依據(jù)兩條直線的位置關(guān)系知:當(dāng)兩條直線沒有公共點(diǎn)時(shí),這兩條直線可能平行,也可能異面.答案:平行或異面類型三直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的推斷(直觀想象)角度1直線與平面的位置關(guān)系

【典例】1.以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 ()A.假設(shè)直線l平行于平面α,那么平面α內(nèi)存在直線與l平行B.假設(shè)直線l平行于平面α,那么平面α內(nèi)存在直線與l異面C.假設(shè)直線l平行于平面α,那么平面α內(nèi)存在直線與l垂直D.假設(shè)直線l平行于平面α,那么平面α內(nèi)存在直線與l相交2.以下說法中,正確的個(gè)數(shù)是 ()①假如兩條平行直線中的一條和一個(gè)平面相交,那么另一條直線也和這個(gè)平面相交;②經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線有一個(gè)平面與另一條直線平行;③兩條相交直線,其中一條與一個(gè)平面平行,那么另一條肯定與這個(gè)平面平行.A.0 B.1 3.如下圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是A1B1和BB1(1)AM所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系.(2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系.(3)AM所在的直線與平面CDD1C1(4)CN所在的直線與平面CDD1C1【思路導(dǎo)引】1.由直線l平行于平面α知直線l與平面α無公共點(diǎn),據(jù)此逐項(xiàng)推斷.2.依據(jù)直線與平面的三種位置關(guān)系的定義逐項(xiàng)推斷.3.依據(jù)直線與平面的三種位置關(guān)系的定義和正方體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行推斷.【解析】α,那么平面α內(nèi)的直線與l平行或異面,故A,B正確;在C中,假設(shè)直線l平行于平面α,那么平面α內(nèi)存在直線與l異面垂直,故C正確;在D中,假設(shè)直線l平行于平面α,那么平面α內(nèi)的直線與l平行或異面,故D錯(cuò)誤.2.選C.易知①正確,②正確.③中兩條相交直線中一條與平面平行,另一條可能平行于平面,也可能與平面相交,故③錯(cuò)誤.3.(1)AM所在的直線與平面ABCD相交.(2)CN所在的直線與平面ABCD相交.(3)AM所在的直線與平面CDD1C1(4)CN所在的直線與平面CDD1C1角度2平面與平面的位置關(guān)系

【典例】a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,α∩β=a,a∥b,那么下面結(jié)論不行能成立的是 ()??αC.b∥α,且b∥β D.b與α,β都相交【思路導(dǎo)引】借助正方體模型舉反例說明有關(guān)結(jié)論不成立,用排解法選出正確答案.【解析】選D.由a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,α∩β=a,a∥b,知:對(duì)于選項(xiàng)A,在正方體ABCDA1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1?平面ABCD,C1D1∥AB,此時(shí)有C1D1?平面ABB1A1,C1對(duì)于選項(xiàng)B,在正方體ABCDA1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1∥平面ABCD,且C1D1∥平面ABB1A1,所以b?α有可能成立,故排解B;對(duì)于選項(xiàng)C,在正方體ABCDA1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1∥平面ABCD,且C1D1∥平面ABB1A1,所以b∥α,且b(1)以正方體為模型,將線面化歸成正方體中的線面進(jìn)行推斷.(2)以身邊的物體作為模型推斷,如筆,墻角作為直線,桌面,墻面,地面作為平面.提示:在推斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí),三種情形都要考慮到,防止疏忽或遺漏.(1)平面與平面相交的推斷,主要是找出一個(gè)交點(diǎn).(2)平面與平面平行的推斷,主要是說明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn).1B1C1D1的六個(gè)外表與六個(gè)對(duì)角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B B.3個(gè) 【解析】選B.如下圖,結(jié)合圖形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1B1C1D1(1)與直線AB平行的直線,并用“∥〞表示;(2)與直線AA1異面的直線;(3)與直線AD垂直的平面,并用適宜的符號(hào)表示.【解析】如圖.(1)與直線AB平行的直線有A1B1,CD,C1D1,用符號(hào)表示為:AB∥A1B1,AB∥CD,AB∥C1D1;(2)與直線AA1異面的直線有CD,C1D1,BC,B1C1(3)與直線AD垂直的平面有平面ABB1A1,平面DCC1D1,用符號(hào)表示為:AD⊥平面ABB1A1,AD⊥平面DCC1D課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.假設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,那么它們的公共點(diǎn)有 () C.很多個(gè) 【解析】選D.假設(shè)兩個(gè)平面有公共點(diǎn),那么公共點(diǎn)有很多個(gè);假設(shè)兩個(gè)平面平行,那么它們的公共點(diǎn)有0個(gè).2.假設(shè)直線a不平行于平面α,那么以下結(jié)論成立的是 ()【解析】選D.由于直線a不平行于平面α,那么a在α內(nèi)或a與α相交,故A錯(cuò);當(dāng)a?α?xí)r,在平面α內(nèi)存在與a平行的直線,故B錯(cuò);由于α內(nèi)的直線也可能與a平行或異面,故C錯(cuò);由線面平行的定義知D正確.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)能正確表示點(diǎn)A在直線l上且直線l在平面α內(nèi)的是 ()【解析】選C.選項(xiàng)A只表示點(diǎn)A在直線l上;選項(xiàng)D表示直線l與平面α相交于點(diǎn)A;選項(xiàng)B中的直線l有局部在平行四邊形的外面,所以不能表示直線在平面α內(nèi).4.如下圖,用符號(hào)語言表示以下各概念:①點(diǎn)A,B在直線a上;

②直線a在平面α內(nèi);

③點(diǎn)D在直線b上,點(diǎn)C在平面α內(nèi).

【解析】依據(jù)點(diǎn)、線、面位置關(guān)系及其表示方法可知:①A∈a,B∈a,②a?α,③D∈b,C∈α.答案:①A∈a,B∈a②a?α③D∈b,C∈α5.假如在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線,這兩條直線相互平行,那么這兩個(gè)平面位置關(guān)系如何?試畫圖分析.【解析】這兩個(gè)平面平行(如圖①)或相交(如圖②).九構(gòu)成空間幾何體的根本元素(15分鐘30分)?平面α,P?m,Q∈m,那么 ()?α,Q∈α∈α,Q?α?α,Q?α∈α【解析】選D.由點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系可推斷P與α的關(guān)系不確定,Q∈α.2.直線a在平面γ外,那么 ()A.a∥γ C.a∩γ=A 【解析】γ外,其包括直線a與平面γ相交或平行兩層含義,故a與γ至多有一個(gè)公共點(diǎn).3.假如兩條直線a∥b,且a∥平面α,那么b和平面α的位置關(guān)系是 ()A.相交 B.b∥α?α∥α或b?α【解析】?α?xí)r,b∥α;b?α也有可能成立.1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線,其中與平面ABB1A1平行的直線共有【解析】如下圖,與平面ABB1A1平行的直線有6條:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1答案:65.以下說法:①假設(shè)直線a不與平面α相交,那么a∥α;②假設(shè)直線a∥b,直線b?α,那么a∥α;③假設(shè)直線a∥b,b?α,那么直線a就平行于平面α內(nèi)的很多條直線.其中說法正確的為.(填序號(hào))

【解析】對(duì)于①,直線a不與平面α相交包括兩種狀況:a∥α或a?α,所以a和α不肯定平行,所以①②,由于直線a∥b,b?α,那么只能說明a和b無公共點(diǎn),但a可能在平面α內(nèi),所以a不肯定平行于α,所以②③,由于a∥b,b?α,所以a?α或a∥α,所以a與平面α內(nèi)的很多條直線平行,所以③說法正確.答案:③6.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1(1)與直線B1C1(2)與直線B1C1(3)與直線B1C1(4)與平面BCC1B1平行的平面有哪幾個(gè)?(5)與平面BCC1B1垂直的平面有哪幾個(gè)?【解析】(1)與直線B1C1不平行也不相交的直線:直線AA1、直線DD1(2)與直線B1C1平行的平面:平面ADD1A(3)與直線B1C1垂直的平面:平面ABB1A1、平面CC1D(4)與平面BCC1B1平行的平面:平面ADD1A1(5)與平面BCC1B1垂直的平面:平面ABB1A1、平面A1B1C1D1、平面CDD1(30分鐘60分)一、單項(xiàng)選擇題(每題5分,共20分)1.假如一條直線與兩條異面直線中的一條相交,那么它與另一條直線之間的位置關(guān)系是 ()D.可能平行、可能相交、可能異面【解析】選D.可以利用長方體的棱所在的直線找到平行,相交,異面的狀況.l外兩點(diǎn)可以作l的平行線條數(shù)為 ()A.1條 B.2條 【解析】1B1C1D1令A(yù)1B1所在直線為直線l,過l外的兩點(diǎn)A、B可以作一條直線與l平行,過l外的兩點(diǎn)B、C不能作直線與l平行.3.如圖,模塊①～⑤均由4個(gè)棱長為1的小正方體構(gòu)成,模塊⑥由15個(gè)棱長為1的小正方體構(gòu)成.現(xiàn)從模塊①～⑤中選出三個(gè)放到模塊⑥上,使得模塊⑥成為一個(gè)棱長為3的大正方體,那么以下選擇方案中,能夠完成任務(wù)的為 ()A.模塊①,②,⑤ B.模塊①,③,⑤C.模塊②,④,⑤ D.模塊③,④,⑤【解析】⑤放入⑥中的空缺局部,然后在上層放入①②可得棱長為3的大正方體.l1,l2,l3,l4,滿意l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,那么以下結(jié)論肯定正確的選項(xiàng)是 ()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定【解析】選D.如圖,構(gòu)建長方體ABCDA1B1C1D1記l1=DD1,l2=DC,l3=DA.假設(shè)取l4=AA1,滿意l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此時(shí)l1∥l4l4=C1D,那么l1與l4相交;假設(shè)取l4=BA,那么l1與l4異面;假設(shè)取l4=C1D1,那么l1與l4相交且垂直,因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定.二、多項(xiàng)選擇題(每題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.關(guān)于直線與平面,以下說法中,正確的選項(xiàng)是 ()A.假設(shè)一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都與另一個(gè)平面無公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面平行D.假設(shè)一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的任何平面都與平面平行【解析】AB.明顯AB選項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)C中,兩點(diǎn)所在直線與平面平行時(shí)可以;對(duì)于選項(xiàng)D中,經(jīng)過這條直線的平面與平面可能相交.6.平面α與平面β平行,且a?α,以下四種說法中正確的選項(xiàng)是 ()【解析】選BD.如圖,在長方體ABCDA′B′C′D′中,平面ABCD∥平面A′B′C′D′,A′D′?平面A′B′C′D′,AB?平面ABCD,A′D′與AB不平行,且A′D′與AB垂直,所以A、C錯(cuò).三、填空題(每題5分,共10分)7.以下說法:(1)假設(shè)兩個(gè)平面α∥β,a?α,b?β,那么a∥b;(2)假設(shè)兩個(gè)平面α∥β,a?α,b?β,那么a與b是異面直線;(3)假設(shè)兩個(gè)平面α∥β,a?α,b?β,那么a與b平行或異面;(4)假設(shè)兩個(gè)平面α∩β=b,a?α,那么a與β肯定相交.其中正確的序號(hào)是.(將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)

【解析】由于在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線沒有公共點(diǎn),所以可能平行,也可能異面,所以(3)正確;(4)中a與β也可能平行.答案:(3)8.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,設(shè)AB=3,BC=2,AA1=1,那么點(diǎn)B到面ADD1A1的距離為,直線AC與面A1B1C1D1的距離為,面ABB1A1與面DCC1D【解析】在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB⊥面ADD1A所以點(diǎn)B到面ADD1A1即點(diǎn)B到面ADD1A1∥面A1B1C1D那么直線AC上任意一點(diǎn)到面A1B1C1D1由AA1⊥面A1B1C1D1,所以點(diǎn)A到面A1B1C1D1的距離為AA1=1,所以直線AC與面A1B1C1面ABB1A1與面DCC1D1平行,且BC與面ABB1A1、面DCC1D所以線段BC為面ABB1A1與面DCC1D1故面ABB1A1與面DCC1D1答案:312四、解答題(每題10分,共20分)9.如圖,在正方體ABCDA′B′C′D′中,P是A′D的中點(diǎn),Q是B′D′的中點(diǎn),推斷直線PQ與平面AA′B′B的位置關(guān)系,并利用定義證明.【解析】直線PQ與平