主成分理論介紹及舉例

吳海龍湖南大學(xué)化學(xué)生物傳感與計(jì)量學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室E-mail:hlwu@主成分分析

PrincipalComponentAnalysisChemometrics？Thechemicaldisciplinethatusesmathematical,statisticalandothermethodsemployingformallogic(i)todesignorselectoptimalmeasurementproceduresandexperiments,and(ii)toprovidemaximumrelevantchemicalinformationbyanalyzingchemicaldata.一次測(cè)量得到一個(gè)值例如：溫度、壓力、pH、單波長(zhǎng)的吸光度等單變量數(shù)據(jù)分析儀器的高性能化例如：UV-可見(jiàn)分光吸收光譜IR、NIR、熒光光譜GC、LC、MSNMR、等樣品-濃度數(shù)據(jù)樣品-變量-時(shí)間等等多變量數(shù)據(jù)分析過(guò)程測(cè)定-----得到數(shù)據(jù)-----數(shù)據(jù)解析------信息----結(jié)論=====================================單變量（矢量型數(shù)據(jù)）：平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、數(shù)據(jù)檢驗(yàn)、。。。。多變量（矩陣型數(shù)據(jù)）：主成分分析（抽象因子分析，數(shù)據(jù)簡(jiǎn)約）、聚類分析、方差分析、。。。。。。

變量組合：（矢量-矢量、矢量-矩陣、矩陣-矩陣）多元線性回歸、典型相關(guān)分析、主成分回歸、。。。偏最小二乘回歸

分析化學(xué)中常用方法定性分析：分類、判別定量分析：工作曲線法、多元校正、QSAR、。。。建模：Ys=XsB+E,如：Rs=CsS’+Es.已知：Rs、Cs，求：S.預(yù)測(cè)：Yu=XuB+E,如：Ru=CuS’+Es.已知：Ru、S，求：Cu.

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PrincipalComponentAnalysis

(PCA)主成分分析(PCA)對(duì)一個(gè)矩陣，利用其變量之間的共線性，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)約。這樣，可直觀顯示（圖示）可提取抽象因子有效克服因嚴(yán)重共線性引起的不穩(wěn)定算法帶來(lái)的計(jì)算誤差放大，即病態(tài)PCA例子#BTBmcTmc14826131224420963402451043818345329-3-56286-7-87265-9-98244-11-10mean351400B:苯，T:二甲苯；Bmc和Tmc為減去平均值后的值利用GC得到的8個(gè)樣品中苯和二甲苯的含量TmcvsBmcX矩陣中含有8個(gè)樣品和兩個(gè)變量方差協(xié)方差陣為：77.7176.2976.2980.86也即，它使用平均化的X矩陣XTX(列數(shù)-1)

特征矢量#特征值B的系數(shù)T的系數(shù)方差百分?jǐn)?shù)1155.590.69980.714498.12.980.7144-0.69981.9方差=/（樣品數(shù)-1）PCA

方差協(xié)方差矩陣夾角余弦 cos(ij)=(xikxjk)/(

xik2

xjk2)相關(guān)系數(shù)cos(ij)=[(xik-mi)(xjk-mj)]/(

(xik-mi)2(xjk-mj)2)其中mi和mj分別表示第i和第j個(gè)樣本的均值.PCA計(jì)算特征矢量t=x1p1+x2p2(p12+p22)=1p=(p1,p2)t約束條件極大極小化，使用Lagrange乘子法,I為2x2的單位陣PC肅A得到船特征勾值：(蛇77趨.7旺1-怒15轎5.墨59禍)伶p1+白76種.2崇9p2=076發(fā).2麻9p1+劉(裳80央.8培6-累15怪5.胃59杜)件p2=0p1=0仰.6適99顏8府p2=0叉.7梁14茅4理p1=0身.7耍14引4古p2=-額0.響69苗98La蘆md章a:1腥215劫5.槍58摟76底2膽.9扒83同8Ei脊ge鼻nv納ec描to侵r:0.迫69恢98議0介.7詢14國(guó)40.壤71綁44鏟-赤0.焦69療98特征逐矢量1和2特征糖值與重特征鐵矢量特征饞值與懂特征衡矢量傷相關(guān)紐奉連，去表示姨方差旨的程夸度特征籃矢量朋是根私據(jù)方砌差最硬大化晶原理糞進(jìn)行么原始天數(shù)據(jù)夜的變庭量的曾線性朋組合得到棉的特遣征矢套量的泉方差茶比前猜一個(gè)金特征蓮矢量陰的更征小，睛也就會(huì)是依夏次遞承減此時(shí)庭，特詠征矢冶量相壞互正志交，喂也就樓是無(wú)廚相關(guān)他性PC屈A的術(shù)組語(yǔ)特征仇矢量賤又可抱以叫慶做規(guī)載荷朋軸、挪主成成分、猜潛變曲量、說(shuō)抽象挑因子所謂墊得分珍就是巧原始拜數(shù)據(jù)足在主請(qǐng)成分稠軸上啟的投悼影，需也就刮是下錘一個(gè)燃圖中貍第一長(zhǎng)主成辛分上較的圈PC宋1和PC球2的表識(shí)示PC予A的優(yōu)胡點(diǎn)它能躁找到常表現(xiàn)揉原始遲數(shù)據(jù)雪陣最刺重要挑的變爸量的窄組合通過(guò)幸表示殿最大觀的方琴差，規(guī)能有忌效的月直觀難反映忽樣本廊之間頸的關(guān)壁系能從鄙最初動(dòng)的幾畏個(gè)主威成分母的得殃分來(lái)竭近似障反映傍原始廊的數(shù)斑據(jù)陣用PC掩1對(duì)X陣近醫(yī)似#Ba巾pp嚴(yán)ro子xTa下pp咽ro定xBm煌cTm扣cSc葬or抽e1.耽12參.3孔6提1更2.攔62欄13牧12抗1前7.返672.仙7.瘦41辦7.金56蘿9賊6皺1漆0.高583.究7.質(zhì)45浪7.由60倡5非10譜10沖.6孔44.站3.盒47第3.條54貍3夸4置4雨.9絡(luò)65.窗-縣3.洗97喉-4榴.0弦5簽-張3茶-雨5漆-5拾.6廢76.務(wù)-歷7.莊43愚-7她.5拘8誦-舒7尤-楚8譯-間10摸.6黨17.獵-膊8.旋91掉-9棕.0澇9次-策9觀-電9互-楊12服.7繼38.耕-1按0.撇39紐奉-1跳0.杜60注-卻11暢-恭10款-固14姻.8取4用PC榮1對(duì)X陣近次似(崗77弄.7味1-擠15掀5.睜59山)借p1+傻76勉.2趨9p2=076陜.2拳9p1+跳(牢80凝.8講6-曾15舒5.饒59牧)李p2=0p1=0簽.6榮99剖8考p2=0爐.7墨14鼓4凳p1=0待.7已14增4幫p2=-仗0.寨69僑98計(jì)算此得分第的方電法例：13看x核0銳.6根99印8+裹12平x許0蹈.7扶14看4=犬17泡.6辣7利用PC旋1對(duì)X做近槍似例：17霸.6界7呀x城0.概69丙98航=1伶2.矛36X殘差例：12璃.3縣6-什13踏=-雁0.襲64X殘差#Br釘es身idTr摔es肉idBm型cTm針c1.縱-問(wèn)0.廊64斗0.連62膨13暖122.清-亭1.庭59幫1.凍56稀9訂63觀2.欺45惕-黎2.千40偽5罵1當(dāng)04.群0.始47灑-袍0.驕46嗚3符45.刃-草0.融97鞏0.督95喜-3送-56.之-儲(chǔ)0.繡43突0.澡42佳-7狡-87.女0.元09抹0.些09燥-9覽-98.林0.毒61伯-蚊0.菊60鴨-粥11胸1所0PC柿1對(duì)X陣的投貢獻(xiàn)T(S詢PC艙1X肉0.影71邀44豪=)12滋.6辟23遵67.搏56眨167.叔60削343.復(fù)54悲13-4趕.0座51爺6-7暗.5懇82箱5-9襖.0你92扇7-1功0.只60繼30B(S狹PC披1X裂0.穴69膛98敗=)12移.3肉65播67.雞40蒜717.凱44曾803.屢46伍89-3啦.9雙68海8-7煩.4耐27咱5-8議.9蠟06娛9-1跑0.笨38修63PC敬1的得生分Sc蓋or支es17莫.6書70該210共.5咐84夫610看.6盡43租04.糞95蜓70-5炮.6蒸71真4-1睛0.秩61辜38-1也2.音72沸78-1法4.笑84運(yùn)18PC竊2對(duì)X陣的貢獻(xiàn)T(S畝PC怕2*瓦（-舍0.擋69薪98伴）=讀)-0浴.6毀22剪5-1移.5軋61歷12.咐39邀750.配45浴91-0劑.9躺48竟8-0桃.4鑒18渣20.滿09策200.到60掩21B(S得PC姜2*瞇0.揚(yáng)71病44道=)0.裝63鍋551.墨59常37-2澡.4鹿47略5-0灑.4革68茶60.琴96者860.瞧42好69-0抵.0還93修9-0陰.6排14測(cè)7PC才2的得臘分Sc荒or第es0.語(yǔ)88環(huán)962.謎23菌08-3湖.4踩26歲0-0拼.6禍56只01.嘉35哀580.闖59夾76-0蛋.1粉31補(bǔ)4-0伏.8仰60芳4得分陳的平岸方和(n放-1心)求xLa謀md解a1攻=別PC稿1得分叫的平測(cè)方和(n鬼-1引)駕xLa強(qiáng)md揉a2磨=斗PC銹2得分饑的平扯方和La題md逼a反映夢(mèng)的是脆相應(yīng)建主成領(lǐng)分的枕方差豎大小常用就的PC析A在該酬情況廢下，嗚特征蝦值就行是得湖分的優(yōu)平方第和例：(1殃7.詞67胡)2+(澇10蠻.5析8)2+(輛10藝.6果4)2+(堆4.史96蕩)2+(-席5.辨67位)2+(祖-1京0.加61闖)2+(劉-1羊2.規(guī)73拾)2+(軟-1償4.煎84申)2=1壓08半9得分革與載灘荷與枝上例島相同PC床A如果侍對(duì)X不進(jìn)遭行預(yù)懂處理吸，則預(yù)：得分迷與載乓荷與婆前例尖不同PC門A在實(shí)條際計(jì)嚇?biāo)阒邪櫍琍C醋A的計(jì)畝算常歌采用NI獻(xiàn)PA魔LS產(chǎn)(革No防nl降in畝ea同r框It哪er富at堤iv禽e圓Pa誘rt捆ia黨l辟Le皮as吹t鋪Sq男ua規(guī)re橫s)方法NI攔PA具LS方法萍并不澤是計(jì)踢算所沖有的置因子辭，僅鳴僅計(jì)斑算最嘩初的k個(gè)主骨成分以上默為8x免2的矩鵝陣，蔽可變死為2x卻2的矩衛(wèi)陣==課==謠==膠==齡==澇==夏==車==砍==席==超==趁=在實(shí)紛際應(yīng)敢用中獻(xiàn)，夏對(duì)于貫一個(gè)己矩陣旺，Xmx鋒n其每怕一維葛的變遞量都委大于2,即m>貪2,旅n>雄2怎么仆辦？Si傳ng姨le師v決al恒ue攀d嶼ec唱om掙po雖si冊(cè)ti囑on主成膨分分持析投堂影的宮數(shù)學(xué)悄意義因?yàn)閄=US嚴(yán)Vt即XV=US亦即XV=X[v1,v2,.貪..圈,vA]==US可見(jiàn)遷矩陣US=T(亦稱泉非標(biāo)郊準(zhǔn)化醬的得黨分矩爬陣)的每異一個(gè)凝元素均實(shí)際嘆是每延一個(gè)竄樣本傘向量xit(i=1濃,2派,.扛..殖,n老)對(duì)荷湖載矩將陣V中的澇每一短相互梳正交闖的荷改載矢講量上挪的投史影坐愈標(biāo)（縱內(nèi)積羞本質(zhì)墾上就桑是投債影）輔，它吊反映頃了樣蛋本與相樣本捉之間亞的相條互關(guān)餐系;同理滑可得扇，荷夏載矩鼠陣的扯每一樣個(gè)元厲素實(shí)渴際是緊每一絮個(gè)變老量向靠量xj(j=1誤,2脅,.事..禿,d忍)對(duì)得次分矩梳陣中元的每眾一相恒互正花交的子得分塌矢量遵上的素投影善坐標(biāo)曲，它煎反映塵了變?cè)柿颗c檢變量勤之間匆的相盟互關(guān)的系。主成牢分分吃析數(shù)賤學(xué)幾幻玉何意序義=投影主成級(jí)分分迫析的捧數(shù)學(xué)蒜與幾奇何意擁義示誦意圖2燙Pr止in省ci犁pa傷l籠Co鑼mp辱on宰en柔t(yī)達(dá)Re頭gr養(yǎng)es轎si弓on揪(膊PC燒R)La嶄mb裳er瀉t-嗎Be壟er央L昌awEmx碑nYmx予nPC談R方法青是采免用多級(jí)元統(tǒng)棄計(jì)中務(wù)的成檔分分騎析方天法，耕先對(duì)唇混合尤物量驗(yàn)測(cè)矩旁陣Y矩陣玩直接另進(jìn)行倒分解趣，然后凝只取娛其中彎的主選成分英來(lái)進(jìn)肥行回池歸分愁析，故嘩有主右成分洪回歸去之稱擇。方法劃模型C=病P疼YY=鍵Y0+EY0=U*S*Vt*Y0+=V*(S*)-1Ut*P=合CY0+=C憂V*(S*)-1Ut*C未知=P踩Y未知C，Y分別也是濃治度矩南陣和滾混合餅物測(cè)耳量矩翻陣Y0表示枯只含癥混合問(wèn)物的巾量測(cè)柄值和尸一部距分植藍(lán)入誤拋差矩瞎陣Y0+是Y0的廣挨義逆P是回輛歸系懷數(shù)矩港陣U，Vt分別揉為標(biāo)制準(zhǔn)列優(yōu)正交恩和行段正交厭矩陣盆，即Sc兔or嶼es和Lo詞ad膨in貓gsE為誤趙差矩其陣U*，S*，Vt*分別恒為U，S，Vt的前n個(gè)特銜征值惡和特筑征矢供量作蜻為主蠶成分批，其碼余作豈為誤極差丟后棄PC務(wù)R籠Ad餃va錘nt艇ag鹿esDo駕es灶n剝ot浪r臉eq紗ui授re塵w罪av綢el頸en踏gt素h扒se眨le宰ct深io銜n.剛A廳ny賴n搬um誤be鋒r尖ca將n捆be震u仁se再d;填u池su騾al戰(zhàn)ly誼t終he裕w芹ho甩le姓s勵(lì)pe述ct葛ru睜m,閣o糊r搜la碑rg伶e葉re鋒gi齡on呀s.La巨r(nóng)g牛er光n練um管be留r憂of僵w譯av態(tài)el憤en短gt液hs牙g悶iv災(zāi)es勻a倉(cāng)ve構(gòu)ra拋gi節(jié)ng更e啞ff聾ec少t,望m詢ak宏in若g唉mo遺de泄l使le怖ss窄s覽us乎ce慮pt感ib規(guī)le袖t患o(jì)多sp暗ec居tr蝦al倆n適oi回se怨.PC仇A庸da膛ta似c寒om撒pr泛es搞si傅on洞a破ll坐ow守s拘us鬼in疊g晝in財(cái)ve律rs酷e鋸re間gr恭es希si憂on獎(jiǎng)t電o帽ca鋪lc律ul傘at溝e播mo理de慰l厭co漫ef賤fi鳴ci猛en篩ts鵝;但ca撞n著ca假li騙br惰at健e姑on繩ly旋f仿or層c掠on隆st休it爽ue歇nt拌s概of咳i鳳nt環(huán)er嶺es附t.Ca庸n藥be命u貴se某d去fo忌r憑ve里ry屯c付om偵pl浩ex私m毫ix就tu壟re鼓s脫si呆nc穗e咬on屆ly尾k浪no咱wl號(hào)ed嚇ge或o碎f佳co惜ns炮ti轉(zhuǎn)tu拾en攻ts頁(yè)o朗f撞in宴te先re炭st請(qǐng)i粗s卻re眼qu狗ir溫ed細(xì).Ca芝n蛇so瓜me奏ti些me小s零be照u蓋se指d宅to榨p釣re棋di孕ct賀s射am柜pl剖es游w蜘it備h樂(lè)co訂ns潔ti晃tu宅en代ts萬(wàn)(把co蛛nt倉(cāng)am脫in亞an線ts王)涌no禍t曾pr乏es蹄en寫t辣in陡t伶he佳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