新課標(biāo)理科數(shù)學(xué)第六章第四節(jié)絕對(duì)值不等式

第四節(jié)絕對(duì)值不等式1．絕對(duì)值三角不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤_______，當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，等號(hào)成立．定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么________________________，當(dāng)且僅當(dāng)______________時(shí)，等號(hào)成立．|a|＋|b|ab≥0|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥02．絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集分類解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a＜x＜a}??|x|>a{x|x＞a或x＜－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：1．|a＋b|與|a|－|b|，|a－b|與|a|－|b|、|a|＋|b|之間有什么關(guān)系？【提示】

|a＋b|≥|a|－|b|；||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．|x－a|±|x－b|表示的幾何意義是什么？【提示】

|x－a|±|x－b|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a、b的距離之和(差)．1．(教材改編題)設(shè)ab>0，下面四個(gè)不等式中，正確的是(

)①|(zhì)a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④【解析】

∵ab＞0，即a，b同號(hào)，則|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①④正確，②③錯(cuò)誤．【答案】

C2．(2013·肇慶統(tǒng)考)不等式|3x－4|≤4的解集是________．3．(2012·山東高考)若不等式|kx－4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，則實(shí)數(shù)k＝________．【解析】

由|kx－4|≤2?2≤kx≤6.∵不等式的解集為{x|1≤x≤3}，∴k＝2.【答案】

24．(2012·湖南高考)不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集為________．(2013·韶關(guān)質(zhì)檢)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，則|x－2y＋1|的最大值為________．【思路點(diǎn)撥】

(1)將|x－2y＋1|變形，設(shè)法用x－1與y－2表示，利用絕對(duì)值三角不等式求最大值；(2)由|x－1|≤1，|y－2|≤1分別求x、y的取值范圍，然后運(yùn)用不等式的性質(zhì)和絕對(duì)值的意義求解．【嘗試解答】

法一|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝3時(shí)，|x－2y＋1|取最大值5.法二∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，從而－6≤－2y≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0，∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值為5.【答案】

5

(2012·陜西高考)若存在實(shí)數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】

∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.【答案】

[－2，4](2012·課標(biāo)全國卷)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)當(dāng)a＝－3時(shí)，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】

(1)利用絕對(duì)值的定義，分零點(diǎn)區(qū)間討論去絕對(duì)值符號(hào)，分類討論求解．(2)求a的取值范圍，要利用解集關(guān)系，得關(guān)于a的不等式．【嘗試解答】

(1)當(dāng)a＝－3時(shí)，不等式f(x)≥3化為|x－3|＋|x－2|≥3. (*)若x≤2時(shí)，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1.若2＜x＜3時(shí)，由(*)式知，解集為?.若x≥3時(shí)，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.綜上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}．(2豬)原不誼等式禾等價(jià)您于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|駐(畫**顫)當(dāng)1≤x≤2時(shí)，(*償*)式化象為4－x－(2－x)≥|x＋a|，解之縱得－2－a≤x≤2－a.由條嫌件，[1，2]是f(x)≤|x－4|的解器集的觸子集掉，∴－2－a≤1且2≤2－a，則嗓－3≤a≤0，故滿伶足條對(duì)件的筍實(shí)數(shù)a的取殺值范土圍是[－3，0]．1．求解購本題西要注躁意兩蟻點(diǎn)：(1勤)要求察的不鳳等式究的解脖集是甘各類呈情形綱的并似集，秩零點(diǎn)歲分段窮法操詢作程坐序是栽：找謀零點(diǎn)罷，分易區(qū)間仙，分筆段討旨論．(2榆)對(duì)于(*晨*)式，饞恰當(dāng)殼運(yùn)用挽條件甚，簡(jiǎn)或化了趙分類款討論失，優(yōu)球化解生題過罪程．2．求解扒該類梁?jiǎn)栴}漂的關(guān)潛鍵是員去絕扯對(duì)值決符號(hào)轎，本桃題中仿運(yùn)用幻玉零點(diǎn)伴分段鋸法去谷絕對(duì)豪值，亦此外檔還常喉利用勻絕對(duì)萌值的貍幾何幣意義剪求解無．(1占)(2辰01逼2·江西顏高考)在實(shí)小數(shù)范畢圍內(nèi)字，不遣等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解沖集是__壘__代__延__．(2帶)不等烈式x＋|2x－1|＜3的解番集是__場(chǎng)__叨__魄__．若f(x)＝x2－x＋c(c為常霸數(shù))，|x－a|＜1，求嶼證：|f(x)－f(a)|＜2(屠1＋|a|)．【思路氣點(diǎn)撥】利用秘絕對(duì)頭值不江等式略的性什質(zhì)進(jìn)頃行放混縮．【嘗試竊解答】|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)公|＝|x－a||x＋a－1|＝|x－a||鏟(x－a)＋(2a－1)撤|，∵|x－a|＜1，∴|x－a||督(x－a)＋(2a－1)恢|＜|(x－a)＋(2a－1)餅|≤|x－a|＋|2a－1|＜1＋|2a|＋1＝2(岡1＋|a|)．故不搏等式|f(x)－f(a)|＜2(廣1＋|a|)成立杠．含絕校對(duì)值西不等筋式的曬證明證主要晚分兩森類：糠一類孤是比尤較簡(jiǎn)蔑單的側(cè)不等山式可伍以通葡過平及方法卡或換劉元法斜等去共掉絕午對(duì)值畝轉(zhuǎn)化先為常銅見的肌不等闖式的覺證明膚，另蔥一類研是利測(cè)用絕粥對(duì)值隸三角鼻不等謝式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通雜過適賞當(dāng)?shù)木吞砑悠?、拆路?xiàng)證掛明，不但一躲定注廈意放距縮要以適當(dāng)貓．(2燦01湊3·清遠(yuǎn)績(jī)調(diào)研)已知均函數(shù)f(x)＝|x－a|.(1險(xiǎn))若不將等式f(x)≤3的解普集為{x|－1≤x≤5}，求料實(shí)數(shù)a的值謠；(2踐)在(1參)的條慕件下伴，若f(x)＋f(x＋5)≥m對(duì)一鹿切實(shí)紹數(shù)x恒成容立，屑求實(shí)棒數(shù)m的取奸值范肝圍．【思路胃點(diǎn)撥】(1種)由|x－a|≤3求不謹(jǐn)?shù)仁洁]的解添集，山與已吧知比百較，血求參禽數(shù)a的值春；(2欲)利用帝絕對(duì)明值不幼等式言的性隙質(zhì)或蠶函數(shù)化的單食調(diào)性厭，求y＝f(x)＋f(x＋5)的最悼小值對(duì)，得梢參數(shù)分不等閥式求捆解．1．第(2拆)問求燥解的強(qiáng)關(guān)鍵芬是轉(zhuǎn)埋化為睜求f(x)＋f(x＋5)的最罩小值毀，法許一是隱運(yùn)用蓬分類使討論熱思想東，利機(jī)用函岔數(shù)的今單調(diào)脖性；艦法二逮是利主用絕畜對(duì)值率不等腹式的位性質(zhì)(應(yīng)注擋意等永號(hào)成蚊立的雕條件)．2．將絕緒對(duì)值益不等鐘式與娃函數(shù)恰以及熊不等棵式恒害成立知交匯繩、滲陽透，巖解題衰時(shí)強(qiáng)眉化函倦數(shù)、春數(shù)形貓結(jié)合北與轉(zhuǎn)膚化化惡歸思萌想方萍法的羅靈活往應(yīng)用伍，這攻是命狐題的關(guān)新動(dòng)蜜向．已知役函數(shù)f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4.(1摔)若函葛數(shù)f(x)的值狂不大揚(yáng)于1，求x的取助值范態(tài)圍；(2啦)若不紫等式f(x)－g(x)≥m＋1對(duì)任跟意x∈R恒成邊立，廈求實(shí)顫數(shù)m的最刊大值抵．【解】(1赤)依題聰意，f(x)≤1，即|x－3|≤3.∴－3≤x－3≤3，∴0≤x≤6，因此狹實(shí)數(shù)x的取革值范私圍是[0，6]．(2深)f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6≥|(x－3)－(x＋1)買|－6＝－2，∴f(x)－g(x)的最巷小值返為－2，要使f(x)－g(x)≥m＋1的解棉集為R.應(yīng)有m＋1≤－2，∴m≤－3，故實(shí)微數(shù)m的最增大值麥?zhǔn)牵?.一種責(zé)方法零點(diǎn)恒分段巖討論里法是信求解瓣絕對(duì)理值不乳等式蘆的基型本方丸法．絹其操乓作程厘序是鉤：找浸零點(diǎn)放、分檢區(qū)間屋、分抵段討界論．三個(gè)運(yùn)轉(zhuǎn)化1.轟|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．2．|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)．3．對(duì)于廳不等楊式f(x)＜a有解記、無苗解，它可轉(zhuǎn)蕉化為破最值假問題尸，即(1)f(x)＜a有解?f(x)mi河n＜a；(2島)f(x)＜a無解?f(x)mi施n≥a.三種肚思想(1遵)數(shù)形公結(jié)合奪思想寬；(2嫌)等價(jià)獵轉(zhuǎn)化貍思想泄；(3網(wǎng))分類囑討論纖思想委．從近尤兩年杰新課塊標(biāo)命稻題看桶，含付絕對(duì)恭值不曾等式元的解臣法是取選考勻內(nèi)容4－5考查堂的熱襪