2023年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)05 立體幾何與空間向量含解析

2023年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)查補易混易錯點05立體幾何與空間向量1．混淆“點A在直線a上”與“直線a在平面α內(nèi)”的數(shù)學(xué)符號關(guān)系，應(yīng)表示為A∈a，a?α.2．易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所有底面面積之和，易漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時，易漏掉體積公式中的系數(shù)eq\f(1,3).3.作幾何體的三視圖的過程中，可見的邊界輪廓線用實線表示，不可見的邊界輪廓線用虛線表示．這一點不能忽視，否則易出錯．4．不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中m?α的限制條件．5．注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．6．幾種角的范圍兩條異面直線所成的角：0°<θ≤90°；直線與平面所成的角：0°≤θ≤90°；平面與平面夾角：0°≤θ≤90°.7．用空間向量求角時易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，如求直線與平面所成的角時，易把直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值當(dāng)成線面角的余弦值，導(dǎo)致出錯．

1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考一模）蘇軾是北宋著名的文學(xué)家、書法家、畫家，在詩詞文書畫等方面都有很深的造詣．《蝶戀花春景》是蘇軾一首描寫春景的清新婉麗之作，表達了對春光流逝的嘆息詞的下闕寫到：“墻里秋千墻外道．墻外行人，墻里佳人笑．笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱．”假如將墻看作一個平面，秋千繩、秋千板、墻外的道路看作直線，那么道路和墻面平行，當(dāng)秋千靜止時，秋千板與墻面垂直，秋千繩與墻面平行．在佳人蕩秋千的過程中，下列說法中錯誤的是（

）A．秋千繩與墻面始終平行 B．秋千繩與道路始終垂直C．秋千板與墻面始終垂直 D．秋千板與道路始終垂直2．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·山東煙臺預(yù)測）已知m，n表示空間內(nèi)兩條不同的直線，則使成立的必要不充分條件是（

）A．存在平面，有， B．存在平面，有，C．存在直線，有， D．存在直線，有，4．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測）已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知空間四條直線a，b，m，n和兩個平面，滿足，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若且，則C．若且，則D．若且，則6．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考一模）攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖.通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑?園林建筑.如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊長為6，腰長為5的等腰三角形，則該屋頂?shù)捏w積約為（

）A． B． C． D．7．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．已知鱉臑的四個頂點均在表面積為的球面上，則該鱉臑體積的最大值為（

）．A． B． C．2 D．48．（2023·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一圓錐的高為4，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積之比為，則其內(nèi)切球的半徑是（

）A． B．1 C． D．9．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）一底面半徑為1的圓柱，被一個與底面成45°角的平面所截（如圖），為底面圓的中心，為截面的中心，為截面上距離底面最小的點，到圓柱底面的距離為1，為截面圖形弧上的一點，且，則點到底面的距離是（

）A． B． C． D．10．（2023·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，，，，二面角的大小為．若三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，則當(dāng)三棱錐的體積最大時，球O的體積為（

）A． B． C． D．11．（多選題）（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點P是正方體側(cè)面（包含邊界）上一點，下列說法正確的是（

）A．存在唯一一點P，使得B．存在唯一一點P，使得面C．存在唯一一點P，使得⊥D．存在唯一一點P，使得⊥面12．（多選題）（2023·山東濟寧二模）已知長方體中，點P，Q，M，N分別是棱AB，BC，，的中點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面13．（多選題）（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，若為正六棱臺，，，則下列說法正確的是（

）A．B．平面C．平面D．側(cè)棱與底面所成的角為14．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點、，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等15．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，若，則（

）A．B．與所成角為C．與平面所成角為D．與平面所成角的正切值為16．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知直線l過點，且直線l的一個方向向量為，則坐標(biāo)原點O到直線l的距離d為___________.17．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m），則該幾何體的體積為____m3.18．（2023·河北衡水中學(xué)預(yù)測）冰激凌是以飲用水、牛乳、奶粉、奶油（或植物油脂）、食糖等為主要原料，加入適量食品添加劑，經(jīng)混合、滅菌、均質(zhì)、老化、凝凍、硬化等工藝制成的體積膨脹的冷凍食品.如圖所示的冰激凌的下半部分可以看作一個圓臺，上半部分可以近似看作一個圓錐，若圓臺的上底面半徑、圓臺的高與圓錐的高都為4cm，圓臺的下底面半徑為3.6cm，則此圓錐的體積與圓臺的體積的比值為______.19．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在四棱錐Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.(1)證明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)若點P為四棱錐Q－ABCD的側(cè)面QCD內(nèi)（包含邊界）的一點，且四棱錐P－ABCD的體積為，求BP與平面ABCD所成角的正弦值的最小值.20．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點.(1)證明：；(2)再從條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值及點A到平面BPC的距離.①；②.查補易混易錯點05立體幾何與空間向量1．混淆“點A在直線a上”與“直線a在平面α內(nèi)”的數(shù)學(xué)符號關(guān)系，應(yīng)表示為A∈a，a?α.2．易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所有底面面積之和，易漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時，易漏掉體積公式中的系數(shù)eq\f(1,3).3.作幾何體的三視圖的過程中，可見的邊界輪廓線用實線表示，不可見的邊界輪廓線用虛線表示．這一點不能忽視，否則易出錯．4．不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中m?α的限制條件．5．注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．6．幾種角的范圍兩條異面直線所成的角：0°<θ≤90°；直線與平面所成的角：0°≤θ≤90°；平面與平面夾角：0°≤θ≤90°.7．用空間向量求角時易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，如求直線與平面所成的角時，易把直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值當(dāng)成線面角的余弦值，導(dǎo)致出錯．

1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考一模）蘇軾是北宋著名的文學(xué)家、書法家、畫家，在詩詞文書畫等方面都有很深的造詣．《蝶戀花春景》是蘇軾一首描寫春景的清新婉麗之作，表達了對春光流逝的嘆息詞的下闕寫到：“墻里秋千墻外道．墻外行人，墻里佳人笑．笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱．”假如將墻看作一個平面，秋千繩、秋千板、墻外的道路看作直線，那么道路和墻面平行，當(dāng)秋千靜止時，秋千板與墻面垂直，秋千繩與墻面平行．在佳人蕩秋千的過程中，下列說法中錯誤的是（

）A．秋千繩與墻面始終平行 B．秋千繩與道路始終垂直C．秋千板與墻面始終垂直 D．秋千板與道路始終垂直【答案】B【解析】顯然，在蕩秋千的過程中，秋千繩與墻面始終平行，但與道路所成的角在變化，則秋千繩與道路的位置關(guān)系在發(fā)生變化，而秋千板始終與墻面垂直，故也與道路始終垂直．故選：B.2．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐的半徑為r，母線長為l，則，由題意知，，解得：，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：A.3．（2023·山東煙臺預(yù)測）已知m，n表示空間內(nèi)兩條不同的直線，則使成立的必要不充分條件是（

）A．存在平面，有， B．存在平面，有，C．存在直線，有， D．存在直線，有，【答案】A【解析】對A，若，，則直線m，n可以平行，也可以相交，還可以異面；若，則存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的必要不充分條件，故A正確；對B，若，，則；若，則存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的充分必要條件，故B錯誤；對C，若，，則直線；若，則不存在直線，有，，即存在直線，有，是使成立的既不充分又不必要條件，故C錯誤；對D，若，，則；若，則存在直線，有，，即存在直線，有，是使成立的充分必要條件，故D錯誤.故選：A.4．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測）已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三視圖可知幾何體為圓錐與半球的組合體，半球表面積，圓錐母線長，所以圓錐側(cè)面積，所以該幾何體表面積為.故選：D5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知空間四條直線a，b，m，n和兩個平面，滿足，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若且，則C．若且，則D．若且，則【答案】C【解析】對于A：a可能在平面內(nèi)，所以A錯誤；對于B：a與m可能平行，從而與可能相交，所以B錯誤；對于C：且，，，，，，所以C正確；對于D：如圖，由正方形沿一條對角線折疊形成，其中形成的兩個平面設(shè)為，折痕設(shè)為，在平面的對角線設(shè)為，在內(nèi)的對角線設(shè)為，同時作，此時，易知，則，但此時與不垂直，所以D錯誤.故選：C.6．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考一模）攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖.通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑?園林建筑.如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊長為6，腰長為5的等腰三角形，則該屋頂?shù)捏w積約為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示為該圓錐軸截面，由題知該圓錐的底面半徑為3m，高為，所以該屋頂?shù)捏w積約為.故選:D.7．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．已知鱉臑的四個頂點均在表面積為的球面上，則該鱉臑體積的最大值為（

）．A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】把鱉臑放到長方體中，如下圖所示：設(shè)該長方體的長、寬、高分別為，顯然該長方體的對角線長為，所以有，顯然該鱉臑體積為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：B8．（2023·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一圓錐的高為4，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積之比為，則其內(nèi)切球的半徑是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐體積為，底面半徑為R，其內(nèi)切球體積為，半徑為r，由題意可得,則①，又∽可得，即，兩邊平方得②，將①代人②化簡整理得，則，故選B9．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）一底面半徑為1的圓柱，被一個與底面成45°角的平面所截（如圖），為底面圓的中心，為截面的中心，為截面上距離底面最小的點，到圓柱底面的距離為1，為截面圖形弧上的一點，且，則點到底面的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓柱半徑為1，截面與底邊所成角為，作于，則，.截面橢圓是以為中心，為長軸端點的橢圓，其長軸長為，短軸長為2，所以橢圓的方程為，作于，因為，直線的方程為，所以設(shè)，又因為在橢圓上，解得：，所以，，過作，則，，由于均平行于底面，故點到底面的距離是.故選：C.10．（2023·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，，，，二面角的大小為．若三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，則當(dāng)三棱錐的體積最大時，球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為H，連接AH，考慮到二面角P-AB-C的大小為，則點H與點C在直線AB的兩側(cè)．因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以為二面角的平面角的補角，所以，又，所以，從而三棱錐的高為1．又的面積，所以當(dāng)時，的面積最大，最大值為，所以當(dāng)時，三棱錐的體積最大，因此點C和點P在圖中兩全等長方體構(gòu)成的大長方體的體對角線的頂點上．以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz．因為球O的球心O與的外接圓的圓心的連線垂直平面，為為斜邊的直角三角形，所以其外接圓的圓心為的中點，所以球O的球心O在底面ABC內(nèi)的射影為線段AC的中點，于是設(shè)．又，，由，得，解得，則球O的半徑，所以球O的體積．故選：D.11．（多選題）（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點P是正方體側(cè)面（包含邊界）上一點，下列說法正確的是（

）A．存在唯一一點P，使得B．存在唯一一點P，使得面C．存在唯一一點P，使得⊥D．存在唯一一點P，使得⊥面【答案】AD【解析】如圖建系，令，則，對于A，，若，則，解得：故滿足要求，與重合，存在唯一一點P，使得，A對.對于B，因為，，因為，平面，所以平面，又平面，則，，解得：，故點軌跡為線段，滿足條件的有無數(shù)個，B錯，對于C，，在線段上，滿足條件的有無數(shù)個，C錯.對于D，由B選項可知：平面，而面，又與共線，故重合，D對.故選：AD.12．（多選題）（2023·山東濟寧二模）已知長方體中，點P，Q，M，N分別是棱AB，BC，，的中點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】ABC【解析】A選項：如圖1，若平面，則，又因為平面，平面，則，連接，又，所以平面，平面，則，只有當(dāng)時，才成立，故A不正確；B選項：如圖2，連接AC，因為點P，Q分別是棱AB，BC的中點，所以，平面，平面，所以平面，若平面，則平面平面，又平面平面，平面平面，所以，顯然不正確，故B不正確；C選項：如圖3，若平面，平面，則，又易知平面，平面，則，又，所以平面，平面則，顯然不正確，故C不正確；D選項：如圖4，連接AC，CN，因為點P，Q分別是棱AB，BC的中點，所以，平面，平面，所以平面，因為Q，N分別是BC，的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，所以平面，且，因此平面平面，平面，所以平面，故D正確．故選:ABC.13．（多選題）（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，若為正六棱臺，，，則下列說法正確的是（

）A．B．平面C．平面D．側(cè)棱與底面所成的角為【答案】BCD【解析】對于A選項，因為與平行，與異面，故A錯誤；對于B選項，連接，,因為六棱臺是正六棱臺，所以平面,平面,故,又因為底面是正六邊形，所以,平面，平面,所以平面，即平面，故B正確；對于C選項，設(shè)與交于點，因為，，所以，，又，所以，即，又，所以是平行四邊形，，平面,平面,所以平面，故C正確；對于D選項，平面,平面為側(cè)棱與底面所成的角，在中,，所以，故D正確.故選：BCD14．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點、，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等【答案】ABC【解析】對于A選項，連接、，因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，平面，，所以平面，因為平面，因此，A選項正確；對于B選項，因為平面平面，平面，所以平面，B選項正確；對于C選項，因為的面積為，點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，C選項正確；對于D選項，設(shè)，取的中點，連接、，由A選項可知，平面，即平面，平面，則，因為且，故四邊形為平行四邊形，則且，因為、分別為、的中點，故且，所以四邊形為平行四邊形，平面，平面，所以，故四邊形為矩形，所以，平面，所以平面，平面，，，所以，D選項錯誤.故選：ABC.15．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，若，則（

）A．B．與所成角為C．與平面所成角為D．與平面所成角的正切值為【答案】ACD【解析】選項A，因為底面，面，所以,因為四邊形是正方形，所以，又，平面，所以平面，又面，所以，選項A正確．選項B，因為平面，又面，所以，故選項B錯誤．選項C，因為底面，面，所以,因為四邊形是正方形，所以，又，平面,所以平面,所以與平面所成角為，易知，故選項C正確．選項D，如圖，取中點，連，因為底面，面，所以,雙四邊形是正方形，所以，又，所以平面,面，所以，又，所以，，所以面，所以與平面所成角為，不妨設(shè)，易知,在，，故選項D正確．故選：ACD16．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知直線l過點，且直線l的一個方向向量為，則坐標(biāo)原點O到直線l的距離d為___________.【答案】【解析】由題知，直線過點，且直線的方向向量為，點，所以，所以點到的距離為17．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m），則該幾何體的體積為____m3.【答案】【解析】由三視圖可得該幾何體為三棱錐，如圖所示，其中棱錐的高為，底面三角形的底邊長為，高為，則該幾何體的體積為.18．（2023·河北衡水中學(xué)預(yù)測）冰激凌是以飲用水、牛乳、奶粉、奶油（或植物油脂）、食糖等為主要原料，加入適量食品添加劑，經(jīng)混合、滅菌、均質(zhì)、老化、凝凍、硬化等工藝制成的體積膨脹的冷凍食品.如圖所示的冰激凌的下半部分可以看作一個圓臺，上半部分可以近似看作一個圓錐，若圓臺的上底面半徑、圓臺的高與圓錐的高都為4cm，圓臺的下底面半徑為3.6cm，則此圓錐的體積與圓