北京首都師大附中2017屆九年級10月月考數(shù)學(xué)試題(含答案)

首都師大附中2017-2018學(xué)年第一學(xué)期十月月考初三數(shù)學(xué)第I卷（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1．下列圖形是中心對稱圖形的是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】繞一點旋轉(zhuǎn)后與自身能重合的圖形是中心對稱圖形．2．將拋物線先向左平移個單位，再向上平移個單位后得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】平移：左右——（用于），上下——（用于）．3．如圖，點，，在⊙上，的延長線交于點，，，則的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵，，∴，∴，∴．4．代數(shù)式的最小值是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】．5．已知圓錐的母線長是，底面半徑是，則這個圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)母線為，底面半徑為，圓錐側(cè)面展開圖圓心角為，則，所以，．6．如圖，是等邊三角形，是的中點，以為旋轉(zhuǎn)中心，把順時針旋轉(zhuǎn)后，所成的圖形是（）．A． B． 【解析】∵，，∴，．16．閱讀下面材料：在學(xué)習(xí)《圓》這一章時，老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題：尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的切線．已知：為⊙外一點．求作：經(jīng)過點的⊙的切線．小敏的作法如下：如圖，（）連接，作線段的垂直平分線交于點．（）以點為圓心，的長為半徑作圓，交⊙于，兩點．（）作直線，．老師認為小敏的作法正確．請回答：連接，后，可證，其依據(jù)是____________________；由此可證明直線，都是⊙的切線，其依據(jù)是________________________________________．【答案】見解析．【解析】①直徑所對的圓周角是直角．②經(jīng)過半徑的外端并用垂直于半徑的直線是圓的切線．10．【答案】D【解析】∵，∴對稱軸，將關(guān)于對稱軸對稱，得，則此時圖象位于軸上方，∵時圖象位于軸下方，∴可知，圖象過，∴．二、填空題11．【答案】【解析】時，，時，，∴．12．【答案】且【解析】∵圖象與軸有兩個不同交點，∴且，∵，∴，∴，∴且．13．【答案】【解析】如圖：，，∴中，，．14．【答案】 【解析】∵，可化為，即方程的解為函數(shù)，，圖象交點的橫坐標，又∵交點為，，∴為，．15．【答案】 【解析】如圖：，，由垂徑定理可知：，設(shè)半徑為，在中，，∴．三、解答題（本題共72分，第17-26題，每小題5分，第27題7分，第28分7分，第9題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．解一元二次方程：【答案】，．【解析】，，．18．已知，求的值．【答案】．【解析】原式，當(dāng)，即時，原式．19．如圖，內(nèi)接于⊙，，，為⊙的直徑，，求弦的長．【答案】．【解析】∵⊙中是直徑，∴，∵中，，，∴，∴，在中，，，，∴，∴．20．如圖，在中，，在同一平面內(nèi)，將繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，求的度數(shù)．【答案】．【解析】∵，，∴，∵，∴，∴，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，．21．已知：如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為，，．以為旋轉(zhuǎn)中心，把逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．（）畫出．（）點的坐標為______________________________．（）求點旋轉(zhuǎn)到所經(jīng)過的路線長．【答案】（）見解析；（）；（）．【解析】（）如圖，走過的路線為弧，∵，∴，∵，∴．22．已知：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．（）求的取值范圍．（）若，是此方程的兩個根，且滿足，求的值．【答案】（）；（）．【解析】（）∵有實根，∴，∵，∴，∴．（），，∵、為方程的兩根，∴，，∴，，∴，（舍），∴．23．已知：二次函數(shù)中的和滿足下表：（）可求得的值為__________．（）求出這個二次函數(shù)的解析式．（）當(dāng)時，則的取值范圍為______________________________．【答案】（）；（）；（）．【解析】（）由表可知，，關(guān)于對稱軸對稱，∴．（）設(shè)頂點式，∵過，∴，∴．（）∵拋物線開口向上，對稱軸，∴時，當(dāng)時，有最大值，時，有最小值，∴．24．某商店從廠家以每件元的價格購進一批商品，該商店可自行定價，但物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價的．據(jù)市場調(diào)查，該商品的售價與銷售量的關(guān)系是：若每件售價元，則可賣出件．如果商店計劃要獲利元，則每件商品的售價應(yīng)定為多少元？需要賣出這種商品多少件？【答案】 【解析】設(shè)每件商品的售價定為元，，，，，∵，∴，（件），答：售價定為時，賣出件．25．已知：如圖，內(nèi)接于⊙，于，，過點的直線與的延長線交于點，，．（）求證：是⊙的切線．（）若為⊙上一動點，連接交直線于點，問：是否存在點，使得的值最小，若存在求的最小值，若不存在，說明理由．【答案】（）見解析；（）見解析．【解析】（）連結(jié)，∵，∴，又∵，∴為等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，又∵為半徑，∴為⊙切線．（）將點關(guān)于直線對稱到點，由垂徑定理可知在⊙上，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∵中，，，∴，∴，在中，，∴在中，，∴，∴，∴最小值為．26．有這樣一個問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小慧根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究．下面是小慧的探究過程，請補充完成：（）函數(shù)的自變量的取值范圍是__________．（）列出與的幾組對應(yīng)值．請直接寫出的值，__________．（）請在平面直角坐標系中，描出以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象．（）結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)．①__________________________________________________．②__________________________________________________．【答案】（）；（）；（）圖象不過第三象限，與直線沒有交點；（）見解析．【解析】（）分母不為，則，．（）令，則，∴．（）從交點個數(shù)，增減性，過象限等角度來寫．27．在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于，兩點（點在點左側(cè)），且點的橫坐標為．（）求的值．（）設(shè)拋物線的頂點關(guān)于原點的對稱點為，求點的坐標．（）將拋物線在，兩點之間的部分（包括，兩點），先向下平移個單位，再向左平移個單位，平移后的圖象記為圖象，若圖象與直線無交點，求的取值范圍．【答案】（）；（）；（）見解析．【解析】（）∵圖象過，∴．（），頂點，與關(guān)于原點對稱，∴．（）令，則，，，，∴，，將圖象向下平移個單位后，，，∵，，∴直線解析為，令，則，∴，由圖可知，，∴時，圖象與直線無交點．28．（）如圖，在四邊形中，，，，點是邊上一點，把射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，與邊交于點，請你補全圖形，求，，的數(shù)量關(guān)系．（）如圖，在菱形中，點是邊上任意一點，把射線繞點順時針旋，與邊交于點，連結(jié)，請你補全圖形并畫出輔助線，直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系是__________．（）如圖，正方形的邊長是，點，分別在，上，若的周長為，則的面積最小值為____________________．解：（）____________________．（）____________________．（）____________________．【答案】（）；（）；（）．【解析】（）連延長線上截取，連結(jié)，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，，∵，，∴，∴，∴，連結(jié)，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．（）證明同（）．（）延長至，使，連結(jié)，∵，，∴≌（），∴，∵，，∴，又∵，∴，∴≌（），設(shè)，，，則，∵，∴，∴，整理得：，∴，即，又∵，∵，∴最小值29．在平面直角坐標系中，點在直線上，以為圓心，為半徑的圓與軸的另一個交點為．給出如下定義：若線段，⊙和直線上分別存在點，點和點，使得四邊形是矩形（點，，，順時針排列），則稱矩形為直線的“理想矩形”．例如，下圖中的矩形為直線的“理想矩形”．（）若點，四邊形為直線的“理想矩形”，則點的坐標為____________________．（）若點，求直線的“理想矩形”的面積．（）若點，直線的“理想矩形”面積的最大值為__________，此時點的坐標為________________________________________．解：（）____________________．（）____________________．（）______________________________，______________________________．【答案】（）；（）；（） ．【解析】（）四邊形中，，，，是順時針排列，且分別落在線段，⊙和直線上，∴．（）連結(jié)，過點作軸于點，∵在上，∴直線，設(shè)與軸交于點，∵，∴，在軸上截取，連